1.4.1 充分条件与必要条件 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.1 充分条件与必要条件 【基础巩固】 1．使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，因此只有B是其必要条件． 2．下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【答案】D 【解析】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 3．下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】A 【解析】对于A中，平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以A正确； 对于B中，三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形， 三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以B错误； 对于C中，例如：当时，满足，但， 所以是的充分条件，所以C错误； 对于D中，若，满足，但不成立，所以D错误． 故选：A. 4．已知集合，集合，其中，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若“”是“”的充分条件，则，则，解得，故实数的取值范围是. 5．（多选）已知条件，条件，且是的必要条件，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设，, 因为是的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得. 综上，的取值为，，. 6．已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为“”是“”的充分条件，所以，所以，即实数的取值范围是. 7．当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的_________ 条件（填“充分”或“必要”）. 【答案】必要 【解析】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件. 8．已知：.若是的一个必要条件，求使恒成立的实数的取值范围. 【答案】见解析 【解析】由，得. 因为是的一个必要条件， 所以， 所以，解得. 则使恒成立的实数的取值范围是. 【能力提升】 9．已知，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为“”是“”的必要条件，∴，又，， ∴，解得.故实数的取值范围是. 10．设，，已知，且“”是“”的充分条件，则的值为_______. 【答案】 【解析】因为“”是“”的充分条件， 所以，又，所以 ①当时，则， 所以； ②当时，则， 所以； ③当时，则， 所以. 综上，①当，即时，； 当，即时，； 当，即时，. 11．已知集合，.设，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】见解析 【解析】因为是的充分条件，所以， 又， 所以当时，无实数根， 则，解得； 当时，有两个相等的实数根， 则，则，符合题意； 当时，有两个相等的实数根， 则，则， 此时为，解得，则，不合题意； 当时，有两个实数根和， 此时且，解得，符合题意； 综上，的取值范围为或. 【素养提升】 12．（多选）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．“整数属于同一‘类’”是“”的充分条件 D．“整数属于同一‘类’”是“”的必要条件 【答案】BCD 【解析】对A，因为，由可得， 所以，A错； 对B， ， B对； 对C，D，若整数属于同一“类”，则整数被除所得余数相同，从而被除所得余数为，即； 若，则被除所得余数为，则整数被除所得余数相同. 故“整数属于同一‘类’”是“”的充分条件， “整数属于同一‘类’”是“”的必要条件，故C，D对. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 充分条件与必要条件 【基础巩固】 1．使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 3．下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 4．已知集合，集合，其中，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知条件，条件，且是的必要条件，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是__________. 7．当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的_________条件（填“充分”或“必要”）. 8．已知：.若是的一个必要条件，求使恒成立的实数的取值范围. 【能力提升】 9．已知，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．设，，已知，且“”是“”的充分条件，则的值为_________. 11．已知集合，.设，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【素养提升】 12．（多选）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．“整数属于同一‘类’”是“”的充分条件 D．“整数属于同一‘类’”是“”的必要条件 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$