专题05 函数的应用（一）（三大题型）（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题05 函数的应用（一）（三大题型） 【题型1：利用二次函数模型解决实际问题】 【题型2：分段函数模型的应用】 【题型3：分式型函数模型的应用】 【题型1：利用二次函数模型解决实际问题】 1．如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．    (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 2．某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 3．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数及利润函数的最大值； (2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值． 4．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 5．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元 (1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式； (2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润． 6．对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. (1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； (2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 【题型2：分段函数模型的应用】 1．某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（其中即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）. (1)直接写出y与x之间的函数关系式： (2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？ 2．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米． (1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？ (2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？ 3．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 4．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 5．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 6．某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 7．某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. (1)试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； (2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 8．某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 9．春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． (1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 10．某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 11．某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 12．我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完． (1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （注：年利润=年销售收入固定成本变动成本） 13．某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润. (1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； (2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 【题型3：分式型函数模型的应用】 1．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 2．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 3．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则： （1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式； （2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析. 4．两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 1．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 2．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 (1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ (2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 3．已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 4．2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 5．近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完. (1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； (2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 6．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值． 7．某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 8．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？ 9．某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. (1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； (2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 10．某企业生产某款网红玩具，该企业每售出x（单位：千件）此款玩具的销售额为（单位：千元），，且生产成本总投入为（单位：千元）.经市场调研分析，该款玩具投放市场后可以全部销售完. (1)求该企业生产销售该款玩具的利润y（千元）关于产量x（千件）的函数关系式? (2)当产量为多少千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大? 11．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的应用（一）（三大题型） 【题型1：利用二次函数模型解决实际问题】 【题型2：分段函数模型的应用】 【题型3：分式型函数模型的应用】 【题型1：利用二次函数模型解决实际问题】 1．如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．    (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，当时， 【分析】（1）利用相似得到矩形边长，再求解面积解析式即可. （2）利用二次函数性质分析解析式，求解最值即可. 【详解】（1）如图，作，交于，交于，    因为，，所以，， 由得到，所以， 所以，故，解得， 所以， （2）设，由二次函数性质得当时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 当时，在上单调递减，当时，， 综上当时，，当时，. 2．某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【答案】(1) (2)第三年 【分析】（1）根据题意，即可得出函数； （2）由，得出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得， . （2）当时，开始盈利， 即，整理可得， 解得. 又，所以，即从第三年开始盈利. 3．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数及利润函数的最大值； (2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值． 【答案】(1)利润函数，最大值为（元） (2)当台时，每台产品的利润取到最大值1900元 【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值； （2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意知， ， 易得的对称轴为， 所以当或时，取得最大值为（元）． 所以利润函数，最大值为（元）； （2）依题意，得 （元）. 当且仅当时等号成立，即时，等号成立． 所以当台时，每台产品的利润取得最大值元． 4．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 5．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元 (1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式； (2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)38万部时，最大利润为7170万元. 【分析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果； （2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润. 【详解】（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元）， 故利润，而， 故， 整理得，； （2）时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为； 时，， 其中，在上单调递减，在上单调递增，因为 ，故 时，取得最小值 故在 时，y取得最大值 而， 故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元. 6．对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. (1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； (2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 【答案】(1) (2)当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元. 【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解； （2）当，时，求得万元；当，时，结合基本不等式，即可求. 【详解】（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元， 利润为，解得， 则. （2）当，，，对称轴为， 则函数在，上单调递增，故当时，， 当，时， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元. 【题型2：分段函数模型的应用】 1．某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（其中即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）. (1)直接写出y与x之间的函数关系式： (2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？ 【答案】(1) (2)65元 ；6250元 【分析】（1）由题意可直接得到y与x之间的函数关系式： （2）根据（1）的结果，求出月利润的表达式，结合二次函数性质，求得答案. 【详解】（1）由题意可得； （2）由题意得， 即， 当时，取最大值6250， 当时，取最大值6125， 故当销售价格65元时才能使月利润最大，最大月利润是6250元. 2．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米． (1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？ (2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)15米； (2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米. 【分析】（1）设篱笆的一面的长为 x 米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可； （2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可． 【详解】（1）设篱笆的一面AB的长为 x 米，则， 由题意得，， 解得， ， ， ， 所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米； （2）由题意得， 时， S 取得最大值，此时，， 所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米． 3．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 4．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)50；2200 【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润； （2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 当时，， 当时，， 所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时，，开口向下， 所以当时，； 当时， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 因为， 所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200. 5．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 6．某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元 【分析】（1）根据可得的解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式可求的最大值. 【详解】（1）由已知得，， ∵， ∴， 整理得，. （2）当时，，对称轴为直线， ∴. 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故， ∵，∴的最大值为390， ∴当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元． 7．某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. (1)试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； (2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意列出分段函数式，根据函数单调性即可求解最值； （2）根据关于的函数关系式，得到不等式，即可求解. 【详解】（1）由题知，， 即， 所以在上递减，此时， 且在上递减，此时， 综上，该函数的最大值为. （2）由（1）知，， 则令，解得， 所以此时； 令，解得， 综上，的取值范围为. 8．某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为千件时，年利润最大，最大值为万元 【分析】（1）根据题意，分段求出年利润即可求解； （2）对每一段函数求出最大值，再进行比较即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 所以当时，利润取最大值， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时利润取最大值， 因为，所以该企业年产量为千件时，所获得的利润最大，为万元. 9．春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． (1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当游客量为60万台时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）当时，由函数单调性求出最大值，当时，由基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故； （2）当时， ，故当万人时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 10．某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，分和两种情况，得到解析式； （2）当时，，每天利润为0元，当时，换元得到，，分和两情况，结合基本不等式和函数单调性，得到最大值，进而得到结论. 【详解】（1）， 因为， 故当时，， 当时，， 所以； （2）m为小于24的正整数， 当时，，每天利润为0元， 当时，， 令，则， 则， 当，即时，， 当且仅当，即，时，等号成立， 当，即时，在上单调递减， 故当，即时，取得最大值， 综上，当时，日产量为万件，可获得最大利润， 当时，日产量为万件，可获得最大利润. 11．某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本2万元即可求解. （2）根据条件列不等式，解不等式时要注意. 【详解】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得， 故. 所以利润表示为月产量的函数为. （2）当时，，令，解得； 当时，，令，解得，所以， 所以月产量的取值范围是． 12．我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完． (1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （注：年利润=年销售收入固定成本变动成本） 【答案】(1) (2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【分析】（1）根据题意，分和两种情况，求出的解析式，从而得解； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分别求得两段解析式的最大值，从而比较得解. 【详解】（1）因为每件机器零件的批发价为元，所以万件机器零件的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时，， 所以.； （2）当时，， 所以在上单调递增，所以； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 因为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 13．某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润. (1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； (2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 【答案】(1) (2)70个，640万元 【分析】（1）利润=销售额-另投入成本-固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. 【详解】（1）根据题意得 当时，， 当时， ， 所以 （2）当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为450， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为640， 所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元. 【题型3：分式型函数模型的应用】 1．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 2．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 （2） 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 3．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则： （1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式； （2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析. 【答案】（1），，，；（2）分析见解析 【分析】（1）根据题意并利用常见函数的模型即可列出关系式. （2）作出的图像，由图像可得出公司的赢利与亏损. 【详解】解：（1）由题意，得，，， . （2）画出的图象如图.    由图象可知，当时，该公司亏损； 当时，公司不赔不赚；当时，公司盈利. 【点睛】本题考查了常见函数的模型：一次函数、反比例函数的应用，属于基础题. 4．两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 1．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果； （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果； （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）由题意可知，解得； （2）当时，， 当时，， 综上所述，； （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 且， 综上所述，当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 2．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 (1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ (2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 【答案】(1) (2)，最小面积为48平方米 【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围. （2）令，将式子化成对勾函数后求最值. 【详解】（1）解：设的长为米（） 是矩形 由，得 ，解得或 即的取值范围为 （2）令，（），则 当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米 3．已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)，400万元． (2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 【分析】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润； （2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润. 【详解】（1）当时，； 当时，； 综上， 当台时，万元， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元． （2）当时，， 故当台时，取得最大值，最大值为500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当台时，取得最大值，最大值为820万元； 因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 4．2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)答案见解析； (2)年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【详解】（1）由题意可得当时，， 当时， （2）由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 因为，，所以： ， 即 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 5．近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完. (1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； (2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为10（千件）时工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）当时，利用二次函数的性质得到当时，万元，当时，利用基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以 （2）若，即， 当时，万元； 若， 当且仅当时，即时，万元， 因为， 所以2024年年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 6．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值． 【答案】(1) (2)当时，有最小值分钟 【分析】（1）解不等式即可； （2）分、两种情况求出分段函数的表达式，再求各段上的最小值，最后得出在整个定义域上最小值. 【详解】（1）由已知可得， 当时，不符合题意； 当时，由不等式组，解得； 所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. （2）当时，； 当时，， 所以， 当时，函数单调递减，此时； 当，函数在上单调递减、在上单调递增， 此时； 且，可知当时，有最小值分钟. 7．某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元 【分析】（1）分别讨论和时单株年利润的计算公式，由此可得的表达式； （2）分别讨论和时的最大值，由此确定出结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，，对称轴且开口向上， 又因为，所以由此二次函数性质可知时有最大值， 所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以； 显然， 所以单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元. 8．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1). (2)当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方、基本不等式求最值，比较大小即可得解. 【详解】（1）当时，. 当时，. 所以. （2）当时,，当时，万元. 当时,万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，所以当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 9．某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. (1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； (2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)，定义域为 (2)40万套， 520万元 【分析】（1）根据分段代入计算即可； （2）利用二次函数的性质和基本不等式分段求最值，再进一步比较即可. 【详解】（1）当时， ； 当时， ； 所以，且定义域为. （2）当时，生产线利润，易知二次函数开口向下，对称轴， 所以当时，有最大，最大值为500； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为520； 综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元 10．某企业生产某款网红玩具，该企业每售出x（单位：千件）此款玩具的销售额为（单位：千元），，且生产成本总投入为（单位：千元）.经市场调研分析，该款玩具投放市场后可以全部销售完. (1)求该企业生产销售该款玩具的利润y（千元）关于产量x（千件）的函数关系式? (2)当产量为多少千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大? 【答案】(1) (2)当产量为11千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大 【分析】（1）根据利润公式，写成分段函数的解析式； （2）根据（1）的结果，结合函数的单调性与基本不等式可求函数的最大值. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， 综上：， （2）当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以， ， 当且仅当即时，等号成立， 综上当时，y取最大值120， 所以当产量为11千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大. 11．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元 【分析】（1）根据已知条件，分，两种情况讨论，即可求解． （2）当时，通过二次函数的配方法可得，取得最大值，当时，结合均值不等式公式可得，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）当时 ， 当时， ， 所以. （2）当时 ， 当时，取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，取得最大值， 综上，当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$