专题15 反比例函数中相似三角形的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题15 反比例函数中相似三角形的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形顶点顺序不确定类型 类型二、三角形顶点顺序确定类型 类型三、位似问题 压轴专练 类型一、三角形顶点顺序不确定类型 例1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点C，与直线相交于点D，与x轴相交于点E． (1)求a的值及k的值； (2)若点F在反比例函数的图象上，且以O，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标； (3)若点M在反比例函数第一象限的图象上，点N在x轴上，使得与相似，直接写出线段的长． 变式1-1．如图，已知四边形为矩形，，两点分别在坐标轴上，其中，，反比例函数经过点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)若点为双曲线上的一个动点，过点向轴作垂线垂足为，当与相似时，求出点的坐标． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 变式1-3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点、，过作交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点，当时，求的值； (3)设线段的中点为，过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，分别连接，当与相似时，求满足条件的所有的值． 类型二、三角形顶点顺序确定类型 例2．已知：如图1，点A (1, 0)，B(0，2)，将点B沿x轴正方向平移3个单位长度得到对应点B′，点B′ 恰在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上． (1)求k的值； (2)如图2，将△AOB (点O为坐标原点)沿AB翻折得到△ACB，求点C的坐标； (3)是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△AOB放大为原来的两倍后得到△DEF (即△DEF∽△AOB，且相似比为2)，使得点D、F恰好在反比例函数y＝(x＞0) 的图象上?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴向上平移b个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若，求b的值； (3)在（2）的条件下，若直线上有一点P（且不与O重合），使，求点P的坐标． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标； (3)直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-3．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段的中点，将线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数的图象上． (1)求m的值和反比例函数的关系式； (2)连接、，求的面积； (3)若点P是直线下方反比例函数图象上的点，点Q在x轴上，连接，是否存在点P、Q使？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 类型三、位似问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)直线和反比例函数的另一个交点为C，求的面积； (3)P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标． 变式3-1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象的一个交点为，另一个交点为点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数第一象限的图像上，且的面积为，求点的坐标； (3)是第二象限内一点，连接，以为位似中心画，使它与位似，相似比为．若点恰好都落在反比例函数图象上，求出点的坐标． 变式3-2．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 变式3-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 1．已知在直角坐标平面内，直线分别与轴交于点A、与轴正半轴交于点，． (1)求直线的表达式； (2)点在函数的图象上，连接并延长，交轴于点C，且． ①求点的坐标， ②点在函数的图象上，，交线段于点，连接．当与相似，求点的坐标． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知在轴上存在一点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接． (1)求k的值． (2)当的面积为8时，求点Q的坐标． (3)在（2）的条件下，过点A作轴于点E，设的中点为C，在坐标轴上是否存在一点D，使得和相似，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； (3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得，求k的值． 6．如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴交于D点，轴，垂足为C． (1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标； (2)如图乙，若点E在线段上运动，连接，作，交于F点． ①试说明； ②当为等腰三角形时，直接写出F点坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求和的值，及点坐标； (2)将直线沿着轴向上平移个单位与轴，轴分别交于点，点，若，求的值； (3)若点在反比例函数图象上，点是线段延长线上一点，过点作直线，交反比例函数于点，若，求点的坐标． 8．如图1，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上有一点E，反比例函数的图象上有一点F，连接，若且，求点E的坐标； (3)如图2，点D关于x轴的对称点为M，连接，P是y轴上一动点（不与点M重合），N是平面内一点，连接，，在点P的运动过程中始终有，且．点Q在反比例函数图象上，连接，请直接写出的最小值及当为最小值时点P的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 反比例函数中相似三角形的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形顶点顺序不确定类型 类型二、三角形顶点顺序确定类型 类型三、位似问题 压轴专练 类型一、三角形顶点顺序不确定类型 例1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点C，与直线相交于点D，与x轴相交于点E． (1)求a的值及k的值； (2)若点F在反比例函数的图象上，且以O，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标； (3)若点M在反比例函数第一象限的图象上，点N在x轴上，使得与相似，直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出的值即可； （2）分分别为对角线进行求解即可； （3）分，和，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：； 把，代入，得：； （2）由（1）知：，； 对于，当时，， ∴， 联立，解得：， ∴， 设， 当以O，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，分3种情况： ①当为对角线时，，解得：， ∴； ②当为对角线时：此时在第二象限，不符合题意； ③当为对角线时，，解得：， ∴； 综上：或； （3）（3）设，， ①如图1，当时，， 作轴，作轴，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M在反比例函数第一象限的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴； ②当时，同①可得：； ③如图3，当时，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴所在直线的函数表达式为． 联立， 解得或， ∵点M在第一象限， ∴点M的坐标为， ∴． 综上所述，线段的长为或． 变式1-1．如图，已知四边形为矩形，，两点分别在坐标轴上，其中，，反比例函数经过点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)若点为双曲线上的一个动点，过点向轴作垂线垂足为，当与相似时，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数表达式为；； (2)或． 【分析】过点作轴，可证，利用相似三角形的性质可得，从而可求：，所以可得点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可求，，，从而可得点的坐标； 因为在和中，，所以当与相似时，可以分两种情况，一种情况是，另一种情况是，根据相似三角形对应边成比例的性质分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作轴， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， 又， ， ， 点、、的坐标分别为，，， ，，， ， 解得：， ， ，， 反比例函数表达式为， 过点作轴，则， 四边形为矩形， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）解：设点横坐标为， 如下图所示， 在和中，， 若， 则， ，， 将代入， 得，（舍）， ， 若， 则， ， ， 将代入得，（舍）， ． 综上所述或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数解析式的求法，解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形或全等三角形． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）代入得，得,代入，求出a值即得； （2）可得点，得,取中点S，连接,则，,取点S关于点O的对称点，当时，求出解析式，联立得，解得（符合），得；取点Q关于点S的对称点，当时，求出解析式，联立得，解得，得；即得点的坐标为或或或； （3）求出，得，，由，得，根据与相似，，得，得，得；或，得，得；即得点的坐标或． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 取中点S，连接， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴点P到的距离是点O到距离的2倍， 取点S关于点O的对称点， 当时， 设解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立得， ∴（舍去）， ∴； 取点Q关于点S的对称点N， ∵，， ∴， 当时，设解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立得， ∴（舍去）， ∴； ∴点的坐标为或； （3）解：∵中，时，，时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相似，， ∴， ∴， ∴， ∴； 或， ∴， ∴， ∴； ∴点的坐标或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与三角形面积综合，同底三角形面积与高的关系，相似三角形性质，分类讨论，是解题的关键． 变式1-3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点、，过作交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点，当时，求的值； (3)设线段的中点为，过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，分别连接，当与相似时，求满足条件的所有的值． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据题意可得，再证明，得到，解得，运用待定系数即可求解； （2）根据勾股定可得，则，如图所示，过点作轴于点，可证，得到，解得，则，运用待定系数法即可求解； （3）根据中点坐标可得，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，分类讨论：当时，得；当时，得 ；由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵轴， ∴点的横坐标为， 如图所示，当时， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 如图所示，当时， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在第三象限， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查勾股定理，待定系数法解一次函数、反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，掌握一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 类型二、三角形顶点顺序确定类型 例2．已知：如图1，点A (1, 0)，B(0，2)，将点B沿x轴正方向平移3个单位长度得到对应点B′，点B′ 恰在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上． (1)求k的值； (2)如图2，将△AOB (点O为坐标原点)沿AB翻折得到△ACB，求点C的坐标； (3)是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△AOB放大为原来的两倍后得到△DEF (即△DEF∽△AOB，且相似比为2)，使得点D、F恰好在反比例函数y＝(x＞0) 的图象上?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2），；（3）或． 【分析】（1）利用平移规律确定出的坐标，代入反比例解析式求出的值即可； （2）过C作CM⊥x轴于N，作BM⊥CM与M，证明△ANC∽△CMB，设AN=p，根据比例关系得到方程，求解即可； （3）放大为原来的两倍后得到，且，则点和一定在反比例函数图象上，设出与坐标，根据该相似三角形的对应边成比例列出比例式并解答． 【详解】解：（1）点沿轴正方向平移3个单位长度得到对应点的坐标是， 代入得：； （2）如图，过C做CM⊥x轴于N，作BM⊥CM与M， ∵△AOB沿AB翻折得到△ACB， ∴AC=OA=1，BC=BO=2，∠BCA=∠BOA=90°． ∴∠BCM+∠ACN=90°， ∵∠CAN+∠ACN=90°， ∴∠BCM=∠CAN， ∵∠M=∠ANC=90°， ∴△ANC∽△CMB， ∴ 设AN=p，则CM=2p，CN=2-2p， ∴1+p=2（2-2p） 解得， ∴ON=，CN=， 则的坐标是，； （3）①如图中，放大为原来的两倍后得到，且， ∵OA=1，OB=2 ∴EF=4，DE=2， ∵和在反比例函数图象上，设， ∴， ， 解得或（舍弃）， 经检验m=1是原方程的解， ，， ∴点E坐标为(1,2), 直线的解析式为 直线的解析式为， 由解得， ， ②连接、， ∵点B坐标为(0,2),点D坐标为(3,2)， ∴BD∥x轴， ∵点A坐标为(1,0),点F坐标为(1,6)， ∴AF∥y轴， ∴、的交点， 或即为位似中心，（图只是作为参考！ 综上所述，坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题．（1）求反比例函数解析式，只要确定函数图像上一个点坐标即可；（2）平面直角坐标系中，遇到直角三角形，一般构造“k”形图解决问题；（3）位似问题要注意分类讨论思想． 变式2-1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴向上平移b个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若，求b的值； (3)在（2）的条件下，若直线上有一点P（且不与O重合），使，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）连接，根据题意可知，利用面积建立关于的方程，解出值即可； （3）根据（2）可得到直线解析式及点、坐标，利用勾股定理逆定理判定，再根据相似三角形的两种情况∶ 当点P在的延长线上时，当点P在的延长线上时，进行解答点坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴．∴． ∴点． ∵点A在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：连接， 由平移可设直线的解析式为．从而点C的坐标为． ∵， ∴． 由，得． （3）解：由直线与双曲线联立，可得 ，解得，， ，，． 当点P在的延长线上时，过点P作轴于H．如图： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 由射线的解析式可得． ∴，． ∴点． 当点P在的延长线上时， ∴由中点坐标公式可得，点P关于的对称点． ∵， ∴，， ∴，， ． ∴所求点P坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与直线的交点，相似三角形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论是解答本题的关键． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标； (3)直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强． （1）先利用待定系数法求一次函数解析式，进而求出点坐标，即可代入求出反比例函数的表达式； （2）由题意分点在点的右侧以及点在点的左侧，结合列出方程进行求解，注意舍去的情况； （3）由，可得，即，利用两点距离公式可得，以此进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数，得到， 一次函数的表达式为， 将点代入一次函数，得到， 点的坐标为， 再将点代入反比例函数，得到， 反比例函数的表达式为； （2）解：连接，，， ①当点在点的右侧时，作轴，轴，如图： 都在反比例函数的图像上， 又轴，轴， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 化简得， 解得：或（舍去）， 即此时点； ②当点在点的左侧时，如图： 同理可得：， ， ， 化简得， 解得：或（舍去）， 即此时点； 综上的坐标为或； （3）解：由（2）可知， 由，可得， ， ，即， 设， ， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上，或． 变式2-3．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段的中点，将线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数的图象上． (1)求m的值和反比例函数的关系式； (2)连接、，求的面积； (3)若点P是直线下方反比例函数图象上的点，点Q在x轴上，连接，是否存在点P、Q使？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】（1）先根据直线与坐标轴的交点和中点坐标公式，求出，，，再根据平移的坐标变换规律求得点，，然后用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设直线交x轴于F，先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得点，利用求解即可； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，， ， ，当时，则，代入得求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴令，则， 令，则， ∴，， ∵点C为线段的中点 ∴， ∵线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E， ∴，， 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴m的值为1， 反比例函数的关系式为． （2）解：设直线交x轴于F， 由（1）知：，，， ∴，， 设直线解析式为， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． （3）解：由(1)知∶ ，， ∴， ∴ 设点P的坐标为，点Q的坐标为， 由(2)知∶ ， ∴， ， ， 当时，则 ∴ 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数图象平移，相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形面积，此题综合性较强，属中考压轴题目． 类型三、位似问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)直线和反比例函数的另一个交点为C，求的面积； (3)P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）解方程组求得，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，求得直线的解析式为，解方程组得到，则直线的解析式为，于是得到P． 【详解】（1）解：令，则， ∴点A的坐标为， 将代入得，， ∴， ∴， 将代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线与x轴交于N， 把代入得：， 解得：， ∴， 令， 解得：（舍去）或， 把代入得：， ∴， ∴． （3）解：设直线l与y轴交于M，过点B作轴于点K，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线l的表达式为：，把，代入得： ， 解得：， 则直线l的解析式为， ∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D， 令， 解得：（舍去）或， ∴， 画出图形如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的一次项系数相等， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点D在直线与双曲线的另一个交点， 则联立两个函数表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去） ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立上式和直线l的表达式得：， 解得：， 把代入得：， 则点． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 变式3-1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象的一个交点为，另一个交点为点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数第一象限的图像上，且的面积为，求点的坐标； (3)是第二象限内一点，连接，以为位似中心画，使它与位似，相似比为．若点恰好都落在反比例函数图象上，求出点的坐标． 【答案】(1)，反比例函数的表达式为； (2)或； (3)，或，． 【分析】（）求出点坐标，利用待定系数法即可求解； （）设，过点作轴平行线交直线 于，根据，即可求解； （）由题意可得，，直线的解析式为，点，，根据两点间距离公式求得，整理得，进而得到，由点恰好都落在反比例函数图象上得到与反比例函数的交点方程为，即，由根和系数的关系得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将代入得， 解得， ∴， 将代入得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立两个函数得， 解得或， ∴， 设，过点作轴平行线交直线 于， 则点， ∵ ， ∴， ∴， 解得或或(已舍负值)， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点，， ∴， ∵与位似，相似比为， ∴， ∴，， 设直线的解析式为，点，， ∴， 整理得，， ∴， ∵点恰好都落在反比例函数图象上， ∴与反比例函数的交点方程为， 即， 由根与系数的关系得，，   解得或， ∴，，或，， ∴，或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 变式3-2．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查相似三角形的性质，反比例函数与几何综合； （1）令，则；，则，进而即可求解； （2）由相似三角形的性质得，从而得的解析式为：，设，进而即可求解； （3）分①当M、N在直线的左侧时，②当M、N在直线的右侧时，两种情况画出图形，利于相似三角形的性质，表示出M、N的坐标即可求解 【详解】（1）解：令中，，则；，则， ∴A，B两点的坐标分别是：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∵，相似比为2， ∴， 设，则， ∴，即， ∴该反比例函数的表达式：； （3）解：①当M、N在直线的左侧时， ∵以P为位似中心画，使它与位似，M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴， ∴M、N关于直线对称， ∴点P在直线上， 设，（）， ∵相似比为5， ∴， ∴，即， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴，解得：（舍去）或， ∴； ②同理：当M、N在直线的右侧时，设，， ， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 综上所述：或 变式3-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)点C的坐标为或 (3)点P的坐标为；m的值为3 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得． 【详解】（1）解：令，则 ∴点A的坐标为， 将点代入得： 解得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，    令解得： ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴， ∴ 设直线l的解析式是：， 将点，点代入得： 解得： ∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标) 解得： 或6， 当时，； 当时，， ∴点C的坐标为或 （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 画出图形如下：    又∵ ∴ ∴ ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等， 设直线的解析式是： 将点代入得： 解得： ∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上， ∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得： 解得： ∴点P的坐标为 ∴ ∴ 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键． 1．已知在直角坐标平面内，直线分别与轴交于点A、与轴正半轴交于点，． (1)求直线的表达式； (2)点在函数的图象上，连接并延长，交轴于点C，且． ①求点的坐标， ②点在函数的图象上，，交线段于点，连接．当与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）首先确定点，利用比例式可得，即，然后利用待定系数法求解即可； （2）①如图：过点P作轴于点H，设点，根据题意可得，证明，由相似三角形的性质解得x的值，即可确定点P坐标，进而可得，然后结合平行线分线段成比例定理解得，即可确定点C的坐标；②过点Q作轴，设，则，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A， 令，可得，即， ∴， ∵． ∴， ∵直线与轴正半轴交于点， ∴ 将点代入直线，可得，解得， ∴直线的表达式为． （2）解：①如图：过点P作轴于点H， 设点，则， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得∶， 又∵点C在x轴的负半轴上， ∴点C的坐标为； ②如图：过点Q作轴， 设， ∵交线段于点， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，即为等腰三角形且为锐角三角形， ∵， ∴，即点与点对应， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴点Q的横坐标为， ∵点Q在函数的图像上， ∴，即， ∴， ∵， ∴，整理可得∶，解得：或， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去）， ∴． 当时， ∴， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为：， 将代入可得：，解得：， ∴设直线的解析式为：， 联立，整理得：， ∴，解得：（不符合题意）或（不符合题意）， ∴这种情况不存在． 综上，． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知在轴上存在一点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，相似三角形的性质和判定． 首先根据点在反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的解析式求出点的坐标，根据点、的坐标求出一次函数的解析式； 因为是直角三角形，所以如果以点，，为顶点的三角形与相似，则也是个直角三角形，所以要分两种情况，一种情况是过点作轴，此时；另一种情况是过点作交轴于点，此时． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 反比例函数的解析式是， 把点代入反比例函数的解析式， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 把点、代入一次函数中， 得到：，解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，可得：， 点的坐标是， 当时，可得， 解得：， 点的坐标是， ， 如下图所示，过点作轴，此时， 此时点的坐标为， 如下图所示，过点作交轴于点，此时， 点的坐标是，点的坐标是， ， 设点的坐标是，则， 则有， ， 解得：， 即， ， 点的坐标为， 综上所述点的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接． (1)求k的值． (2)当的面积为8时，求点Q的坐标． (3)在（2）的条件下，过点A作轴于点E，设的中点为C，在坐标轴上是否存在一点D，使得和相似，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2) (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法求出值即可； （2）设，则：，根据的面积等于8，列出方程进行计算即可； （3）根据和相似，得到为直角三角形，分3个点分别为直角顶点，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴； （2）由题意，得：，则：， ∵， ∴当时，， ∴， 由题意得：， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在，理由如下： 由（2）可知：，，，则：， ∵， ∴轴，，， ∴轴，，， 当点在轴上时，设， 则：， 当点在轴上时，设， 则：， 当和相似时，则：为直角三角形； ①当点为直角顶点时，点在轴上时，设， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴，此时：， ∵，， ∴，符合题意； 当点在轴上时，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴，此时为等腰直角三角形，不符合题意； ②当点为直角顶点，点在轴上时，则：， ∵，， ∴和相似符合题意； 当点在轴上时，由勾股定理，得：， 解得：，， ∴或， 此时和不相似，不符合题意； ③当点为直角顶点时，此时点在轴上，则：， 解得：， ∴， ∴， 此时为等腰直角三角形，不符合题意； 综上：当或时，和相似． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，分割法求面积，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为； (2)点的坐标为； (3)的面积为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解可求得反比例函数的表达式，联立得，解方程即可求得点的坐标为； （2）求得直线与轴的交点的坐标为，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，且，从而得到是等腰直角三角形，且，，再分两种情况讨论，画出图形，利用全等三角形的判定和性质求解即可 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立得， 解得或， 经检验或都是原方程的解， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：设直线与轴的交点为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∵， 解得， ∴点的坐标为； （3）解：∵，，， ， ， ， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形，且，， 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，则四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交于点， 同理，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 综上，的面积为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； (3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得，求k的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【分析】（1）把代入得，把代入得；把代入得； （2）设，由（1）知，，而，①当，为对角线时，，的中点重合，，②当，为对角线时，，的中点重合，，③当，为对角线时，，的中点重合，，分别解方程组可得答案； （3）设点，则点，根据，得，即：，解得：，（不合题意，舍去），求得点，再用待定系数法求出直线解析式为，又有且只有一点，则只有一个解，即有两个相等实数根，可得，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 把点代入得，即：，则， 所以，， （2）解：设， 由（1）知，，而， ①当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ②当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ③当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ， 这种情况不符合题意； 综上所述，的坐标为或，的值为； （3）解：设点，则点， ∵ ∴，即：， 解得：，（不合题意，舍去） ∴点， 设直线解析式为， 将点、点代入， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵过两点的直线与双曲线有且只有一点， ∴，即：方程有且只有一个解， ∴，得． 【点睛】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式，平行四边形的性质，相似三角形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 6．如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴交于D点，轴，垂足为C． (1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标； (2)如图乙，若点E在线段上运动，连接，作，交于F点． ①试说明； ②当为等腰三角形时，直接写出F点坐标． 【答案】(1)①，②， (2)①见解析；②或或 【分析】（1）①把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得函数的解析式，②根据反比例函数的解析式，求得B的坐标，即可得到n的值，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式，进而求得与x轴的交点D的坐标； （2）①根据题意易证是等腰直角三角形，利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得；②分三种情况，利用等腰三角形的性质，即可求得的长，则F的坐标可以求得． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得：， 则反比例函数解析式是：； ②把代入得：， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入，得：， 解得：， 则直线的解析式是：， 令，解得：， 则D的坐标是：； （2）解：①∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ②∵为等腰三角形分三种情况．如图乙： 当时，， 又∵， ∴A，F重合，则F的坐标是； 当时，， ∴是等腰直角的角平分线， ∴E是的中点，， ∴， ∴F是的中点， ∴， ∴F的坐标是：； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴F的坐标是：． 综上，点F的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形相似的判定条件坐标与图形，等腰三角形的存在问题，综合性性强． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求和的值，及点坐标； (2)将直线沿着轴向上平移个单位与轴，轴分别交于点，点，若，求的值； (3)若点在反比例函数图象上，点是线段延长线上一点，过点作直线，交反比例函数于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定； （1）先求点坐标，再求反比例函数的解析式，通过求点坐标即可； （2）由题可知平移后的函数解析式为，则，再由，列出方程，求出的值即可； （3）先判断是直角三角形，且，则，当时，过点作，则，先求出直线的解析式为，设点关于直线的对称点为，根据对称的性质确定，再由，求出，直线与反比例函数的交点即为点． 【详解】（1）解：将代入 ∴ 解得： ∴， 将代入，得 ∴反比例函数解析式为 联立 解得：或 ∴ （2）由题可知平移后的函数解析式为 当时，， 当时， ∴， 又， ∵，则 ∴ 解得： （3）∵点在反比例函数图象上， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 当时，过点作， ， ， 直线的解析式为， 又， 设直线的解析式为，代入 解得： 直线的解析式为， 设点关于直线的对称点为，， 的中点为， 的中点在直线上， ， ， ， ， 解得（舍去）或， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立 解得 舍或 ． 8．如图1，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上有一点E，反比例函数的图象上有一点F，连接，若且，求点E的坐标； (3)如图2，点D关于x轴的对称点为M，连接，P是y轴上一动点（不与点M重合），N是平面内一点，连接，，在点P的运动过程中始终有，且．点Q在反比例函数图象上，连接，请直接写出的最小值及当为最小值时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【分析】（1）运用待定系数法即可解答； （2）设，过点F作轴于点H，过点A作轴于点G，利用解直角三角形求得，，进而求得，建立方程求解即可； （3）根据对称性可得，设设，则，由 可得，判断得出点在经过点D，且垂直的直线上，可得直线的解析式为，设经过点Q平行的直线解析式为，当最小时，直线与相切，在证是等腰直角三角形，四边形是矩形，可求得的最小值为，在利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标． 【详解】（1）将代入中，得 ， ， 将代入中， 解得：， 反比例函数的解析式为， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ， 解得：， 点B的坐标为 （2）设，过点F作轴于点H，过点A作轴于点G， 一次函数交x轴、y轴分别交于C，D两点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，，； 当时，，； 综上所述，点E的坐标为或 （3）点关于x轴的对称点为M， ， ， 轴， ，， 设，则 ， ， ， 即， ， ， 点N在经过点D，且垂直的直线上， 直线的解析式为， 设经过点Q平行的直线解析式为， 当最小时，直线与相切， 联立得∶， 整理得：， ， （负值舍去） 联立得∶， 解得：， ， 令，则， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ，， 的最小值是，此时， ，， ，，即， ，， 综上所述：的最小值是，点P的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练应用待定系数法求解析式，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题关键； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$