专题07 相似三角形基本模型之A字型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题07 相似三角形基本模型之A字型 【基本模型】 (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝. (2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝. A字型（平行） 反A字型（不平行） 例1．（A字型（平行））综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成横向并排放置的两个小正方形零件，如图（），求一个小正方形的周长． 【变式提升】 （3）若把它加工成矩形零件，如图（），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 【分析】（1）设正方形的边长为，证明四边形是矩形，得到，则，证明，据此根据相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，则， 同理可得 同理可证明，据此根据相似三角形的性质进行计算即可解答； （3）设，则，证明，可得，根据矩形面积公式得到关于的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， ， ，四边形是矩形， ∴， ∴， ， ，， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设，则， 同理可得 同理可证明， ，即， 解得：， ∴ 一个小正方形的周长为； （3）设，则， 四边形是矩形， ， ， ，即， ， 矩形面积 ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是， 即：当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 例2．（反A字型（不平行））如图1，正方形的边长为5，点E是边上一点，连接，将四边形沿直线折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，的延长线与交于点F，与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）如图1，连接，根据四边形是正方形，得出，，，根据翻折得出，，从而得出，．证明，即可证明． （2）如图，证明，得出．设，，则，在中，勾股定理列方程求解即可． （3）分为①，②，画图解答即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ，， ， 翻折四边形， ，， ，． 又， ． ． （2）解：如图， ，， ，． 设，， ，， 在中，； 化简得：；（舍去），；． （3）解：①如图，若，则， ，， ，； 设，则，，， 在中，，化简得：， （舍去），． ②如图，若，则． 设，则，， 在中，，化简得：，． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 【点睛】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 例3．（构造A字型）在直角三角形中，，平分交于点P． (1)如图1，过点P作于点E，于点F，求证：四边形为正方形； (2)若，以点P为顶点作正方形，其点Q在射线上，点H在射线上． 如图2，当时，求证：点A为中点； 如图3，当点N在射线上，且时，求的长度． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；． 【分析】（1）先根据作图方法由三个角是直角得出四边形为矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明结论； （2）①结合（1）的结论可证明得到，进而，从而证明； ②先结合（1）得出，然后再证明得到和，从而推出，最后在中求解的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线，，， ∴， ∴四边形为正方形； （2）①证明：过点P作于点E，于点F． 由（1）可知四边形为正方形． ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴点A为中点； ②解：如图，过点P作于点E，于点F． 由（1）可知四边形为正方形， 同理可证， ∵， ， ∴． 过点N作交延长线于点G，∴， ∴，∴，即， ∵，∴在和中，， ∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，构造全等三角形是解答本题的关键． 例4（最值问题）如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，取的中点，连接,，过点作，过点作，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，根据求解即可． 【详解】如图，取的中点，连接,，过点作，过点作， ， ， 四边形是正方形， 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线是解题的关键． 例5．（培优综合）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G． （1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG； （2）当α≠60°时， ①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为或． 【分析】（1）AD＝AC，∠ADC＝60°，可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，可得∠HAD=∠B=60°=∠GCD，由∠GDH=∠CDA=60°，可证∠HAD =∠CDG，即可证△ADH≌△CDG（ASA）； （2）①根据AD＝AC，∠ADC＝α，可得∠ACD=∠ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，由∠GDH=α=∠ADC，可得∠ADH =∠CDG即可； ②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE∽△CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GM∥CN，再证△AMG∽△ANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，由AE∥CD，△GAE∽△GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证△GMA∽△CNA，可得，，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=． 【详解】（1）证明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC， ∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD， ∵∠GDH=∠CDA=60°， ∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°， ∴∠HDA =∠CDG， 在△ADH和△CDG中 △ADH≌△CDG（ASA）； （2）①证明：∵AD＝AC，∠ADC＝α， ∴∠ACD=∠ADC＝α， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD， ∵∠GDH=α=∠ADC， ∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α， ∴∠ADH =∠CDG， ∴△ADH∽△CDG； ②解：当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M， ∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12， ∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG， ∴△AGE∽△CGD， ∴， ∴， ∵AD=AC=12， ∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12， ∴AG=3， ∴CG=AC-AG=12-3=9， ∵AC=AD=BC，CN⊥AB， ∴AN=BN=， 在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=， ∴GM∥CN， ∴△AMG∽△ANC， ∴， ∴,， ∴EM=AE-AM=， 在Rt△MGE中，根据勾股定理EG=， 当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M， ∵AE∥CD， ∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC， ∴△GAE∽△GCD， ∴， ∴， ∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12, ∴GA=6， ∵AC=AD=BC，CN⊥AB， ∴AN=BN=， 在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=， ∵CN⊥AB， GM⊥AE， ∴GM∥CN， ∴△GMA∽△CNA， ∴， ∴，， ∴EM=AE-AM=3-， 在Rt△GME中，根据勾股定理EG=， 例6．（与坐标系结合）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：和直线l2：的图象交于y轴上的点C，且分别交x轴于点A和点B． （1）求ABC的面积； （2）已知点N为点C关于原点O的对称点，点M是直线AC上一动点，连接BM、BN，MN．求BMN周长的最小值； （3）如图2，P为射线AO上一动点，过P作PH⊥AC于H，连接PC，是否存在△PCH为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），，；（3）存在，，或， 【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，然后根据AB和OC的长，即可求出答案； （2）作点B的对称点B′，连接B′N与AC相交于点M′，则此时B′N=BM′+M′N存在最小值，然后求出B′N的长，即可得到周长的最小值，再求出点M的坐标即可； （3）由题意，可分两种情况进行分析：当点P在线段AO上时，当点P在线段AO的延长线上时，根据相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出PH的长，然后求出AP，即可得到点P的坐标． 【详解】解：（1）直线和直线的图象交于轴上的点， ，点的坐标， ， 在直线和直线中， 令，则，， 点的坐标，点， ， 的面积为：； （2）如图，作点的对称点，连接与相交于点， ∵OC=，OA=3，OB=1， ∴AC==，BC==2， ， ， ， 点在上，连接， 则此时存在最小值， 点，点的坐标， 点的坐标， 点， ， 的最小值为， ， 周长的最小值为：， 点的坐标，点， 直线为：， ，解得：， 点的坐标，； （3）当点在线段上时， ，， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ，， ，，， ，， 点为，； 当点在线段的延长线上时， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为，； 综上所述，存在为等腰三角形，点的坐标为，或，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理，周长的最小值，坐标与图形以及动点问题的分析，解题的关键熟练掌握所学知识，利用数形结合的思想，分类讨论的思想解题． 1．如图，在矩形中，为中点，连接，G为边上一点，将沿折叠，使点刚好落在线段的中点处，则 ． 【答案】 【分析】延长、交于，过作交于，结合矩形的性质，由平行线的判定方法得，由平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：延长、交于，过作交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 为中点， ， ， （）， ， ， ， ， ， 由折叠得：， 在中，， ， 整理得：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握矩形的性质，折叠的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能构建全等三角形，并能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 2．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 3．如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 【答案】． 【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，． 【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作， ∵，， ∴，，为等腰． 由题意可得E为CD的中点，且， ∴， 在等腰中，， ， 又∵， 在， ∴（AAS） ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键． 4．如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于于点E，作交于点F，连接、．    (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2)已知， 且P为的中点， 求矩形的周长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①由矩形得到，然后根据等边对等角和平行线得到，等量代换得到，然后结合即可求解； ②证明出，得到，然后等量代换即可证明； （2）如图所示，过点D作，由相似得到，代数求出，利用三线合一求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵， ∴， ∴， ∵（矩形的性质），，， ∴， ∴， ∴ ∴整理得，； （2）解：如图所示，过点D作，    ∵，且为的中点， ∴，（矩形的性质）， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 5．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 6．在中，，，，点分别是边上的动点，连接，分别取的中点，解决以下问题： (1)当平分，为的中点时． ①如图1，求的长度； ②如图2，求的长． (2)如图3，为的中点，连接，当周长最小时，求的值． 【答案】(1)①；②；(2) 【分析】（1）①过点D作的垂线，垂足为点，设，利用勾股定理求出，根据列式求解即可； ②取中点为，利用三角形的中位线性质证得，再利用勾股定理即可求解出的长度； （2）取的中点为，连接，过点作交于H，利用三角形的中位线性质与对称性可知当三点共线时，最小，再证得，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点D作的垂线，垂足为点，即， 平分，， ， 设，在中， ，， ， ， ， 即， ， 则的长度为； ②如图，由题意得，取中点为， 为的中点， 为的中位线， 且， 是的中点，， ， 则， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 且， ， ， ，，且， ， 在中，， 则的长为； （2）如图，取的中点为，连接，过点作交于H， 点分别为的中点，，， 是的中位线，点关于的对称点为， 且，， 是的中点，在上运动， 的轨迹是线段， 且， ，， 当三点共线时，最小， 此时恰好为的交点， 是的中点，， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 则当的周长最小时，的值为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质与三角形的中位线性质是解题的关键． 7．【问题情境】 在综合实践课上，老师给出如下问题： 如图1，在中，，，，点D在边上，，连接． （1）求的长； 【实践探究】 （2）如图2，过点C作，且，连接．判断的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，善于思考的小明同学发现，过点A作，垂足为H，交于点N，并求出了的长．请你完整地完成小明的解答过程： ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）依次证明，，根据相似三角形对应边成比例求出，再证，可得是等腰直角三角形． （3）①过点D作，垂足为点M，则，推出，得到，求得，即可求解；②证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ，， ， ， ， ，， ， ， ，， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）证明：①过点D作，垂足为点M，则， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ； ②解：，由（2）可知， ，； ， ， 由（2）可知是等腰直角三角形，又， ， ， 又， ，， 由（2）可知， ，． 8．数学实践课上，老师带领同学们探究与折叠相关的计算，如图①，四边形ABCD是矩形，是的中点，将沿折叠，得到，点的对应点为，延长交边于点，若，求线段的长．经过小组讨论，有以下两种作辅助线的方案： 方案一：如图②，连接； 方案二：如图③，将绕点旋转至． (1)请你按照方案一计算线段的长； (2)请你按照方案二计算线段的长； (3)在方案二的条件下，连接并延长，交于点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据可证明，得出，求出，在中，由勾股定理，得，即可求解； （2）由旋转的性质，得A，E，H三点共线，．由折叠的性质，得，则可求，中，由勾股定理，得，即可求解； （3）由（2）可知，，则可证，得出，证明四边形是平行四边形，得出，在中，由勾股定理，求出，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ． 是的中点， ． 由折叠的性质，得， 在和中， ， ， ． 在中， 由勾股定理，得， ， 解得； （2）解：由旋转的性质，得A，E，H三点共线，． 由折叠的性质，得， ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， 解得； （3）接：如图． 由（2）可知，， ． 又， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，由勾股定理，得， ． ， ，， ，． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，旋转，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 9．如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变， （ⅰ）求证：，并求出的值； （ⅱ）如图3，在的延长线上取点P，使得，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析（ⅱ）见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用矩形的性质得到相等的边和角，然后证明即可得出结论； （2）（ⅰ）根据正方形的性质得出相等的角，求出相关边长，证明，，然后利用相似三角形的性质即可得出结论，利用勾股定理即可求解； （ⅱ）延长，交于点E，证明，，利用相似三角形的性质得出，继而得出，最后根据等量代换得出可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：（ⅰ）由（1）知， ， 四边形为正方形， ，，， ， ∴， ∴，， ，， ， 在中，，，由勾股定理得， ， ； （ⅱ）如图，延长，交于点E， 四边形为正方形， ，， ， 同上易得，，， ，， ， ， ， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 即平分． 10．如图，中，点D在边上，且． （1）求证：； （2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数． （3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）＝60°；（3）AF＝11 【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出，证得； （2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出＝60°； （3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值． 【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A， ∴  ∠A＝90°－∠ABD． ∵∠BDC＋∠BDA＝180°， ∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD． ∴  ∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD． ∴DB＝AB． 解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH， ∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC， ∴∠BAE＝∠DBC． ∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA， 又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC， ∴∠CAE＝∠C． ∴AE＝CE． ∵BE＝CH， ∴BE＋EH＝CH＋EH． 即BH＝CE＝AE． ∵AB＝BD， ∴△BDH≌△ABE． ∴BE＝DH． ∵BE＝CD， ∴CH＝DH＝CD． ∴△DCH为等边三角形． ∴∠ACB ＝60°． （3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O． ∵DH∥AE， ∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°． ∴△ACE是等边三角形． 设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x， ∵DH∥AE， ∴△BFE∽△BDH． ∴． ∴， ． ∵△ABF的周长等于30， 即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30， 解得AB＝16－． 在Rt△ACO中，AC＝，AO＝， ∴BO＝16－． 在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2， 即． 解得（舍去）． ∴AC＝． ∴AF＝11． 【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，． 11．中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）过点作于，通过解直角三角形可求出的长； （2）过点作交于，通过证明，得，设，设，用和的代数式表示出和的长，即可解决问题； （3）取的中点，连接，，其中交于，过作于，过点作于，设，可表示出和的长，再根据的长，可求出，可求得，则点在以为圆心，2为半径的圆上运动，且点与点重合时，最小，再利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】（1）如图，过点作于，则， 在中，，， ，， ，，， ， 又，， ， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）如图，过点作交于，则， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 设， 则， 设， 则， ， ， ， ， ， ； （3）如图，取的中点，连接，，其中交于，过作于，过点作于， 设， ，， ， ， ， ， ，， ， 点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 点与点重合时，最小， 是等腰直角三角形，， ， ， 在中，由勾股定理得， 当点与点重合时，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：当最小时，的面积为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，对学生的逻辑思维能力要求较高，属于中考压轴题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形基本模型之A字型 【基本模型】 (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝. (2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝. A字型（平行） 反A字型（不平行） 例1．（A字型（平行））综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成横向并排放置的两个小正方形零件，如图（），求一个小正方形的周长． 【变式提升】 （3）若把它加工成矩形零件，如图（），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 例2．（反A字型（不平行））如图1，正方形的边长为5，点E是边上一点，连接，将四边形沿直线折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，的延长线与交于点F，与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 例3．（构造A字型）在直角三角形中，，平分交于点P． (1)如图1，过点P作于点E，于点F，求证：四边形为正方形； (2)若，以点P为顶点作正方形，其点Q在射线上，点H在射线上． 如图2，当时，求证：点A为中点； 如图3，当点N在射线上，且时，求的长度． 例4（最值问题）如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为 ． 例5．（培优综合）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G． （1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG； （2）当α≠60°时， ①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长． 例6．（与坐标系结合）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：和直线l2：的图象交于y轴上的点C，且分别交x轴于点A和点B． （1）求ABC的面积； （2）已知点N为点C关于原点O的对称点，点M是直线AC上一动点，连接BM、BN，MN．求BMN周长的最小值； （3）如图2，P为射线AO上一动点，过P作PH⊥AC于H，连接PC，是否存在△PCH为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 1．如图，在矩形中，为中点，连接，G为边上一点，将沿折叠，使点刚好落在线段的中点处，则 ． 2．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 3．如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 4．如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于于点E，作交于点F，连接、．    (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2)已知， 且P为的中点， 求矩形的周长． 5．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 6．在中，，，，点分别是边上的动点，连接，分别取的中点，解决以下问题： (1)当平分，为的中点时． ①如图1，求的长度；②如图2，求的长． (2)如图3，为的中点，连接，当周长最小时，求的值． 7．【问题情境】 在综合实践课上，老师给出如下问题： 如图1，在中，，，，点D在边上，，连接． （1）求的长； 【实践探究】 （2）如图2，过点C作，且，连接．判断的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，善于思考的小明同学发现，过点A作，垂足为H，交于点N，并求出了的长．请你完整地完成小明的解答过程： ①求证：；②求的长． 8．数学实践课上，老师带领同学们探究与折叠相关的计算，如图①，四边形ABCD是矩形，是的中点，将沿折叠，得到，点的对应点为，延长交边于点，若，求线段的长．经过小组讨论，有以下两种作辅助线的方案： 方案一：如图②，连接； 方案二：如图③，将绕点旋转至． (1)请你按照方案一计算线段的长； (2)请你按照方案二计算线段的长； (3)在方案二的条件下，连接并延长，交于点，求的长． 9．如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变， （ⅰ）求证：，并求出的值； （ⅱ）如图3，在的延长线上取点P，使得，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分． 10．如图，中，点D在边上，且． （1）求证：； （2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数． （3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长． 11．中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$