河南省漯河实验中学2024-2025学年下学期八年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年河南省漯河实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列根式中，最简二次根式是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组，，是勾股数的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图，是面积为的▱内任意一点，的面积为，的面积为，则(    ) A. B. C. D. 的大小与点位置有关 4.如图，在▱中，对角线、交于点，周长为，过点作交于点，连结，则的周长为(    ) A. B. C. D. 5.已知，，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.我国古代数学家赵爽在注解周髀算经时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是，每个直角三角形的较短直角边均为，则中间小正方形阴影部分的周长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是． A. B. C. D. 9.如图，从宠物帐篷的顶部向地面拉一根绳子以固定帐篷帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点与帐篷底部点之间的距离为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知的三边长分别为，，，则的面积为______． 12.若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 13.若实数，在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为______． 14.在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点若，则的长是______． 15.如图，在平面直角坐标系中，长为的线段点在点右侧在轴上移动，，，连接，，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算： 17.本小题分 在中，其中两边长为，，且，满足，求的斜边长． 18.本小题分 如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． 如图，画一个，使，，． 请直接写出的面积． 19.本小题分 如图，公园内有一个四边形步道，其中，从点到点有两条路线，分别是和已知米，米，米，米． 判断与的位置关系，并说明理由； 通过计算比较两条路线，哪条更短？ 20.本小题分 如图，在平行四边形中，是的中点，延长到点，使，连接，． 求证：四边形是平行四边形； 若，，，求的长和平行四边形的面积． 21.本小题分 定义：如果一个三角形中有两个内角、满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”在中，，，，若是的平分线． 求证：为近直角三角形． 求的长． 22.本小题分 如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当到达点时，点也随之停止运动设点运动的时间为秒． 求线段的长用含的代数式表示． 当、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． 如图若点为上的点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 23.本小题分 已知中，，，点为直线上的一动点点不与点、重合，以为边作，使，，连接． 发现问题： 如图，当点在边上时，请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______． 尝试探究： 如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： 当点在射线上且其他条件不变时，若，，直接写出线段的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 满足以下两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 此题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、， 能构成勾股数，符合题意； B、不是整数， 不能构成勾股数，不符合题意； C、，不是整数， 不能构成勾股数，不符合题意； D、， 不能构成勾股数，不符合题意． 故选：． 根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可． 本题考查的是勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：过点作交于点，交于点， 四边形是平行四边形， ， ，，， ，， ， 故选：． 根据题意，作出合适的辅助线，然后根据平行四边形的面积、三角形的面积公式，即可得到和、之间的关系，本题得以解决． 本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形， ，，， ▱周长为， ， ，， ， 的周长为：． 故选：． 由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又，继而可得的周长等于． 此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 5.【答案】  【解析】解：，， ， 故选：． 将所求式子变形，然后将，代入计算即可． 本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：设小正方形的边长为，小三角形的长直角边长为， 根据勾股定理列方程可得： ， 或不符合题意，舍去， 周长为． 故选：． 设小正方形的边长为，小三角形的长直角边长为，根据勾股定理列方程求解即可． 本题主要考查勾股定理，正确进行计算是解题关键． 7.【答案】  【解析】解：可以使四边形成为平行四边形的是，理由如下： ， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， 故选：． 由平行线的性质得，再证明≌，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：由题意可得，如图所示， ， ， 最短路程是：， 故选：． 将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定求解即可得到答案． 本题考查勾股定理解决最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：过点作于点， ， ， ， 根据勾股定理可得：， ， ， 根据勾股定理可得：， ， 故选：． 过点作于点，根据勾股定理可得：，进而得出，即可解答． 本题考查了二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是关键． 10.【答案】  【解析】解：如图所示： 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过点作，即为所求， ， ， ， ， 的最小值， 故选：． 由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，过作的垂线，然后根据直角三角形的性质即可求出的最小值． 本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建直角三角形． 11.【答案】  【解析】解：， 是直角三角形， 的面积为， 故答案为：． 根据勾股定理的逆运算可证明是直角三角形，再根据三角形面积计算公式求解即可． 本题主要考查了勾股定理的逆运算，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形， 12.【答案】且  【解析】解：在实数范围内有意义， ， 且， 故答案为：且． 根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于，分式有意义的条件是分母不为，据此求解即可． 本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， ，， ． 故答案为：． 先根据数轴得出，，再根据二次根式和绝对值的性质化简，然后去括号合并同类项即可． 本题考查了利用数轴判断式子的正负，二次根式和绝对值的性质，整式的加减，正确化简二次根式和绝对值是解答本题的关键． 14.【答案】或  【解析】解：过点作于点，如图所示： 在中，，， ， ， 于点， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 将沿折叠得到，点是点的对称点，时， 有以下两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 由折叠性质得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ； 当点在线段上时，如图所示： ， 是的外角， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， 综上所述：的长是或． 故答案为：或． 过点作于点，根据等腰三角形，则，进而得，，再根据含有角的直角三角形性质及勾股定理得，，再分两种情况讨论如下：当点在线段上时，由折叠性质得，则，根据含有角的直角三角形性质及勾股定理得，进而得；当点在线段上时，则，由三角形外角性质得，进而得，，在中，根据含有角的直角三角形性质及勾股定理得，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，灵活利用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，将线段向左平移到的位置，作点关于原点的对称点，连接，． 则，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 将线段向左平移到的位置，作点关于原点的对称点，连接，再作点关于轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案． 此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将的最小值转化为是解本题的关键． 16.【答案】解：， ， ， ； ， ， ， ， ．  【解析】首先化成最简二次根式，然后把同类二次根式进行合并即可； 先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类二次根式． 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘方、乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17.【答案】或．  【解析】解：，，， ， ，， ，； 当边长为的边为直角边，则斜边的长为； 当边长为的边为斜边时，斜边长即为； 综上所述，的斜边长为或． 根据非负数的性质得到，则，，解方程即可得到、的值，再分边长为的边为斜边和直角边两种情况结合勾股定理求解即可． 本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，熟练掌握非负数的性质是关键． 18.【答案】．   ．  【解析】如图，和均满足题意． 的面积为． 利用网格结合勾股定理画图即可． 利用三角形的面积公式计算即可． 本题考查作图应用与设计作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19.【答案】，理由如下： 在中，米，米，米， ，， ， ， ；   路线更短．  【解析】，理由如下： 在中，米，米，米， ，， ， ， ； ， ， 在中，米，米， 由勾股定理得：米， 米，米， ， 路线更短． 根据勾股定理的逆定理解答； 根据勾股定理求出，比较大小得到答案． 本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 20.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 过点作于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 在中，， ， ， 平行四边形的面积， ， ， 在中，， ．  【解析】由平行四边形的性质可得，，由线段关系可证，可得结论； 由平行四边形的性质可得，，，，由锐角三角函数和勾股定理、平行四边形面积公式可推理求解． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 21.【答案】证明：， ， 平分， ， ， 为近直角三角形．  ．  【解析】证明：， ， 平分， ， ， 为近直角三角形． 解：过作于， ， 平分， ， ， ≌， ，， ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ． 由直角三角形的性质推出，即可证明为近直角三角形． 过作于，判定≌，推出，，由勾股定理求出，得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，关键是掌握题目中“近直角三角形”的定义；判定≌，推出，；由勾股定理列出关于的方程． 22.【答案】解：，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，设点运动的时间为秒， 点运动到点时，共用：，点共运动：， 当时，， 当时，， 综上所述，； 若以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，则， 由得：， 根据题意得：， 当时，， 当时，， 综上所述，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或； 当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或；理由如下： 过点作于点，如图， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 当点在线段上，且， 则， ， 解得：； 当点在线段上，且，如图，过点作， 则，， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得：； 当点在线段的延长线上，且，如图，过点作， 则，， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得：， 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或．  【解析】点运动到点时，共用了，点共运动了，分两种情况讨论：当时，进行计算即可得，当时，进行计算即可得； 若以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，则，根据题意得，，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可得； 过点作于点，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出，根据等腰三角形的性质得，当点在线段上，且，则，进行计算即可得，当点在线段上，且，过点作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，当点在线段的延长线上，且，过点作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得． 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． 23.【答案】，；   成立，数量关系成立，关系为； 理由：同  可得， ， 即， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ；；   的值为或．  【解析】， ， 在和中， ， ≌， ，， ，即． ， 故答案为：，； 成立，数量关系成立，关系为； 理由：同可得， ， 即， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ；； 当点在线段上时， 在中，，， ， 由知， ， ， 在中，由勾股定理得． 当点在线段上时， 在中，，， ， 同可得， ， ， 即， ， ≌， ，， ， ， 在中，由勾股定理得，， ． 综上，的值为或． 根据条件，，，，判定≌，即可得出和之间的关系，即可得出结论； 根据已知条件，判定≌，得出，再根据，即可得到结论； 根据条件判定≌，得出，在中，由勾股定理即可求出答案． 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$