专题01 函数的概念及其表示（七大题型）（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题01函数的概念及其表示（七大题型） 【题型1：区间的表示】 【题型2：函数的判断】 【题型3：函数的定义域】 【题型4：函数表示方法】 【题型5：两个函数相等】 【题型6：函数值】 【题型7：分段函数】 【题型1：区间的表示】 1．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 3．集合用区间表示为（　　） A． B． C． D． 4．下列区间与集合或相对应的是（  ）. A． B． C． D． 5．用区间表示为 ；用区间表示为 ． 6．不等式的解集用区间表达为 ． 7．不等式组的解集用区间表示为 ． 【题型2：函数的判断】 1．下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B．C．D． 2．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 3．定义在区间上的函数的图象如图所示.若只有唯一的p值对应，则r的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 4．下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型3：函数的定义域】 1．若要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 6．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 8．若函数的定义域为，则函数的定义域是 9．函数的定义域为，则的定义域为 ． 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【题型4：函数表示方法】 1．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 3．（多选）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型5：两个函数相等】 1．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．下列各组函数表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型6：函数值】 1．设，则 . 2．若函数，则 ． 3．已知函数的图象如图所示，则 . 4．已知下列表格表示的是函数，则＝ ． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 【题型7：分段函数】 2．已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 3．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 4．已知函数则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 6．已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 7．已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 8．设，，，若，且，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 10．已知函数，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 12．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 13．已知函数，则等于 ． 14．已知，则 ． 55．函数 则的定义域为 ． 15．已知函数，则 . 16．已知，则 . 17．已知，若，则 ． 18．已知函数，若，则 . 1．已知函数、的图象如图，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 3．已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 4．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 5．（多选）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 6．函数的值域为 ． 7．已知函数满足，则 . 8．已知函数. (1)求 的值； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)求关于的方程的实数根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01函数的概念及其表示（七大题型） 【题型1：区间的表示】 【题型2：函数的判断】 【题型3：函数的定义域】 【题型4：函数表示方法】 【题型5：两个函数相等】 【题型6：函数值】 【题型7：分段函数】 【题型1：区间的表示】 1．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 2．集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间表示集合的形式，即可求解. 【详解】集合用区间可表示为. 故选：C 3．集合用区间表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合集合与区间的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据集合的表示方法，集合用区间表示为. 故选：D. 4．下列区间与集合或相对应的是（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间的概念判断即可. 【详解】集合中的可以表示为区间， 集合中的可以表示为区间， ∵或是并集关系， ∴集合表示为 故选：C. 5．用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【答案】 【分析】根据区间的定义直接得到答案. 【详解】，. 故答案为：；. 6．不等式的解集用区间表达为 ． 【答案】. 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解集，进而得到答案. 【详解】由不等式，解得或，即不等式的解集为. 故答案为：. 7．不等式组的解集用区间表示为 ． 【答案】 【分析】求出不等式组的解集，再根据区间的定义求解即可． 【详解】由可得，所以. 所以，不等式组的解集为. 故答案为：. 【题型2：函数的判断】 1．下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 2．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误； 对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误. 故选：B. 3．定义在区间上的函数的图象如图所示.若只有唯一的p值对应，则r的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像，即可判断r的取值范围． 【详解】由图像可知，若满足唯一的p与r对应， 则. 故选：A. 4．下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察所给的四个选项是否符合函数的概念，自变量到因变量对应关系允许“一对一”、“多对一”不允许“一对多”；自变量元素不允许“剩余”即可判断. 【详解】A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确； B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确； C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确； D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确． 故选：D 【题型3：函数的定义域】 1．若要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题可得且，解不等式即可求解. 【详解】要使有意义，则有且，解得或，所以的取值范围是或． 故选C． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 5．已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复合函数的定义域的意义列式求解即得. 【详解】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 6．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域. 【详解】因为函数的定义域是，由，解得， 所以函数的定义域为. 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是. 故选：. 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 8．若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 9．函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义以及分式的性质即可求解. 【详解】由题意得，解得且．故定义域为， 故答案为： 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 由 . 所以函数的定义域为：. 故答案为： 【题型4：函数表示方法】 1．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足. 故选：ACD. 2．（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】AD 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 3．（多选）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可. 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确； 故选：CD． 解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误； 图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求， 故选：CD． 【题型5：两个函数相等】 1．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 2．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较两个函数的定义域和解析式是否相等，判断即可。 【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数； 对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数； 对于C：与，解析式相同，且两个函数的定义域均为，中两个函数表示同一个函数； 对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数； 故答案为：C。 【点睛】考查同一个函数的判断方法 3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出函数的定义域和对应关系，根据函数的概念判断是否为同一函数. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数与函数的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，与函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确． 故选：D. 4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据相同函数概念，定义域相同且对应关系相同，逐个计算分析判断即可. 【详解】对于A选项，对于，根据根式的性质，所以，其定义域为. 而，其定义域为.但是与的对应关系不同，当时，，所以A选项错误.   对于B选项，对于，其定义域为. 的定义域为.与定义域不同，所以B选项错误.   对于C选项，对于，因为，所以，，定义域为. ，定义域为.与定义域相同，对应关系也相同，所以C选项正确.   对于D选项，对于，其定义域为，且. 的定义域为.与定义域不同，所以D选项错误. 故选：C. 5．下列各组函数表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否为同一函数. 【详解】对A,的值域为的值域为，不是同一函数，故错误； 对B,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对C,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对D,，二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数，故正确. 故选：D 6．（多选）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 7．（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】逐项判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【详解】对于A，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 8．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数中，，解得或，即的定义域为， 函数中，，解得，的定义域为，A不是； 对于B，，且与的定义域都为，B是； 对于C，当时，；当时，；又当时，， 因此，函数与的定义域相同，对应法则相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，D不是. 故选：BC 【题型6：函数值】 1．设，则 . 【答案】 【分析】代入即可求出答案. 【详解】. 故答案为： 2．若函数，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，令，准确运算，即可求解. 【详解】由函数，令，可得. 故答案为：. 3．已知函数的图象如图所示，则 . 【答案】 【分析】根据函数的图象，先求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得，则. 故答案为：. 4．已知下列表格表示的是函数，则＝ ． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 【答案】0 【分析】根据给定的数表，直接计算得解. 【详解】依题意，有. 故答案为：0. 【题型7：分段函数】 2．已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案. 【详解】，所以， 故选：D. 3．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】将代入，求得函数值. 【详解】. 故选：C. 4．已知函数则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，，从里到外进行计算. 【详解】根据题意，. 故选：B 5．已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据分段函数特点逐步代入即可. 【详解】. 故选：A. 6．已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【详解】由题意， . 故选：B. 7．已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，， 所以. 故选：D 8．设，，，若，且，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数图象，即可根据，得求解. 【详解】当时，，且， 当时，，且， 作出的图象如下： 若，且，即可，故， 由于，由图象可知， 故选：D 9．设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【详解】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 10．已知函数，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式可求. 【详解】由分段函数的解析式可得： ， 故选：A. 11．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则，故. 故选：D. 12．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【详解】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 13．已知函数，则等于 ． 【答案】 【分析】利用函数的解析式，可计算得出的值. 【详解】因为，则. 故答案为：. 14．已知，则 ． 【答案】4 【分析】利用函数解析式求函数值. 【详解】因为，，所以. 故答案为：4 55．函数 则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 15．已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的表达式求出. 【详解】因为函数，所以. 故答案为：. 16．已知，则 . 【答案】 【分析】根据解析式代入求解. 【详解】. 故答案为：. 17．已知，若，则 ． 【答案】或 【分析】根据分段函数解析式列式进行求解. 【详解】依题意，或或， 解得或. 故答案为：或 18．已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】分类讨论，求解方程即可. 【详解】当时,令，得.不满足这个条件，舍去. 当时,令,可得.由于，所以舍去，保留. 当时,令，可得.不满足的条件，所以这个解不符合要求，舍去. 综上所述，满足的的值为. 故答案为：. 1．已知函数、的图象如图，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析与的取值情况，不等式等价于或，解得即可. 【详解】由的图象可知当时，当时， 当的图象可知当时，当时， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 2．如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据图象先计算出的值，然后再计算出的值. 【详解】由图象可知，所以， 故选：D. 3．已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】令可求出，令、可求出. 【详解】令，则， 令，，则． 故选：C 4．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 5．（多选）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB 6．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可. 【详解】， 令，则， 得， 当时，取得最小值为， 则函数的值域为 故答案为： 7．已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 8．已知函数. (1)求 的值； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)求关于的方程的实数根． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的解析式由内到外计算可得出的值； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象； （3）分、两种情况解方程，可得其实数根. 【详解】（1）因为，则，. （2）作出函数的图象如下图所示：    （3）当时，由，可得， 当时，，此时，方程无解. 综上所述，方程的实数根为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$