专题03 函数的奇偶性（五大题型）（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题03 函数的奇偶性（五大题型） 【题型1：奇偶性的定义与判断】 【题型2：利用奇偶性求值】 【题型3：利用奇偶性求解析式】 【题型4：奇偶性与单调性的综合运用】 【题型5：抽象函数的性质】 【题型1：奇偶性的定义与判断】 1．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．多选题已知，则（   ） A． B． C． D． 6．多选题下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 7．多选题下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型2：利用奇偶性求值】 1．已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 2．已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 3．设函数是定义在上的周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 4．已知是偶函数，且，是奇函数，则 ． 5．若奇函数满足，，则 ， ． 6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 7．已知，其中为常数，若，则 . 8．已知为奇函数，且则 . 9．已知函数 且， 则 ． 10．定义在上的奇函数满足恒成立，则 ． 11．已知函数，且，则 ． 【题型3：利用奇偶性求解析式】 1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 3．已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 5．已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 6．偶函数在上满足，则当时， ． 7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 8．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 9．已知定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【题型4：奇偶性与单调性的综合运用】 1．已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 2．函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 3．已知函数（）是减函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于的不等式：（）. 4．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 5．函数是定义在上的奇函数，且. (1)确定的解析式； (2)证明在上的单调性； (3)解关于t的不等式. 6．已知定义在上的函数. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)解不等式. 7．函数是定义在上的奇函数， (1)确定的解析式； (2)请用定义法证明在上的单调递增； (3)解关于t的不等式． 8．已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 【题型5：抽象函数的性质】 1．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．无法计算 2．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 3．多选题已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 4．多选题函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是上的减函数 C．在上的最小值为2 D．若，则实数的取值范围为 5．多选题设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．存在，使得 6．多选题已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 1．多选题设函数，对任意的非零实数x，y，恒有 ，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 2．多选题对任意的，，函数满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．4为函数的一个周期 D． 3．多选题已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（   ） A． B．若对于，则函数是奇函数 C． D．若当时，，则在区间上单调递增 4．多选题已知函数对任意实数x，y都满足，且，则（   ） A．或1 B．是偶函数 C． D． 5．多选题已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（   ） A． B．若在R上单调递增，则 C．是奇函数 D．是奇函数 6．设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为 ． 7．定义在上的函数满足对任意、，恒有，且不恒为． (1)求和的值； (2)试判断的奇偶性，并加以证明； (3)若当时，为增函数，求满足不等式的的取值范围． 8．已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 9．已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的奇偶性（五大题型） 【题型1：奇偶性的定义与判断】 【题型2：利用奇偶性求值】 【题型3：利用奇偶性求解析式】 【题型4：奇偶性与单调性的综合运用】 【题型5：抽象函数的性质】 【题型1：奇偶性的定义与判断】 1．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性和单调性即可得. 【详解】A：函数是奇函数，且在上单调递增，不符合； B、D：函数，是偶函数，不符合； C：函数是奇函数，且在上单调递减，符合. 故选：C 2．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义即可得出判断． 【详解】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 3．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合的函数符号，应用排除法即可得. 【详解】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D； 当时，恒成立，排除B. 故选：A 4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的奇偶性单调性判断即可. 【详解】为偶函数，故A错；为奇函数且单调递增，故B正确； 是奇函数，在和单调递减，故C错；是非奇非偶函数，故D错误； 故选：B. 5．多选题已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】代入求值判断A，求出判断BC，求出判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 函数的定义域为R，，且不恒为零，故B正确，C错误； 当时，，故D正确. 故选：ABD 6．多选题下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，判断各选项正误. 【详解】正比例函数是奇函数，在上单调递减，A错误. 反比例函数是奇函数，在上单调递增，B正确. 分段函数，，是奇函数，当时，单调递增，C正确. 对钩函数是奇函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 7．多选题下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，结合基本初等函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数在上为单调递减函数， 当在定义域内不是单调递减函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 又由函数在定义域上为单调递减函数，所以C符合题意； 对于D中，由函数，其图象如图所示， 函数的图象关于原点对称，且在定义域上为单调递减函数，所以D符合题意. 故选：CD.    【题型2：利用奇偶性求值】 1．已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】根据偶函数定义，求等价于求，即可解出. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以. 当，，所以. 故选：B. 2．已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 已知，将换为，可得，又因为，所以. 由和可得. 令，则，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以. 故选：A. 3．设函数是定义在上的周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性及周期性转化为求即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的周期为4的偶函数， 所以， 因为当时，， 所以， 故选：B 4．已知是偶函数，且，是奇函数，则 ． 【答案】993 【分析】根据函数的奇偶性得到的周期为4，利用周期性可求得的值. 【详解】因为是奇函数，所以， ，所以， 又因为是偶函数，所以，所以， 所以，所以是周期为4的周期函数， 所以. 5．若奇函数满足，，则 ， ． 【答案】 【分析】由题意可得，令时，可求得，进而计算可求得. 【详解】因为奇函数满足，， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故答案为： 6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，. 故答案为： 7．已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【详解】， . 故答案为：2. 8．已知为奇函数，且则 . 【答案】 【分析】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值. 【详解】因为，. 所以. 故答案为： 9．已知函数 且， 则 ． 【答案】 【分析】证明为奇函数，进而求得答案. 【详解】由，， 又，所以为奇函数， . 故答案为：. 10．定义在上的奇函数满足恒成立，则 ． 【答案】0 【分析】先判断是周期为5的周期函数，由函数的奇偶性可得，再利用周期性可得答案. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 令， 因为，所以， 所以是周期为5的周期函数， ， 故答案为： 11．已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】设，证明该函数为奇函数，由求出，由奇函数得，从而求得. 【详解】设，则， 由，可得为奇函数， 因解得，故， 于是. 故答案为：. 【题型3：利用奇偶性求解析式】 1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 2．定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性以及时的解析式即可求得时的解析式. 【详解】当时，， 可得， 又因为为奇函数，所以，可得， 即时，. 故选：A 3．已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设时，代入再结合函数是奇函数得出函数的解析式即可. 【详解】当时，， 又． 故选:C． 4．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得. 【详解】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴. 故选：A. 5．已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当，则代入利用偶函数的性质可求解. 【详解】当，则，所以， 根据偶函数性质可知. 故选：C 6．偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 8．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】令，则，因为是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 9．已知定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求解. 【详解】设，则， 所以， 又因为定义在上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：． 10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】取，可得，利用偶函数的定义可求得函数在时的解析式. 【详解】当时，，且函数为偶函数， 故. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【题型4：奇偶性与单调性的综合运用】 1．已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 2．函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 3．已知函数（）是减函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于的不等式：（）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用奇函数的定义即可判断以及证明结论； （2）根据函数的奇偶性以及单调性将转化为，讨论a与-2的大小关系，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数 证明如下：函数定义域为， 又， 所以是奇函数 （2）由已知及（1）知：不等式即， 等价于，即， 当时，则； 当时，则不等式无解； 当时，则； 综上，的解集为： 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为. 4．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数过原点求参数，再检验是否满足奇函数即可； （2）利用定义法来证明函数的单调性； （3）利用定义在区间上的奇函数和单调递增，来解不等式即可. 【详解】（1）因为是定义在上是奇函数， ，解得：. 此时，所以函数为奇函数. 所以. （2）证明：设是区间上任意两个实数，且， 则 因为，所以， ， 是区间上的增函数. （3）因为是区间上的增函数且是奇函数， 由满足， 所以有， 解得：，即的范围是. 5．函数是定义在上的奇函数，且. (1)确定的解析式； (2)证明在上的单调性； (3)解关于t的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇偶性的定义与性质求解 （2）由函数的单调性的定义证明 （3）由函数奇偶性和单调性，转化不等式后再求解 【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数， 则，     解得；     又由，则有，     解得；     函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数， 所以， （2）由（1）的结论，， 设，     则 .     又由， 则，，，，     则，即，     则函数在上为增函数. （3）由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数. ，     解得：，     即不等式的解集为. 6．已知定义在上的函数. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)解不等式. 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可作出判断与证明； （2）利用函数为奇函数，把不等式转化为，再利用的单调性，得出不等式组，即可求解. 【详解】（1）函数在上是增函数，证明如下： 设，则 ， ，，且，则， 则，即，所以函数在上是增函数. （2），，故是奇函数， ，， 是定义在上的增函数， ，解得， 所以不等式的解集为. 7．函数是定义在上的奇函数， (1)确定的解析式； (2)请用定义法证明在上的单调递增； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由，解可得的值，将、的值代入函数解析式即可得答案； （2）根据题意，设，由作差法分析可得结论； （3）由函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数， 则，解得， 又由，则有，解得，则， 所以，满足条件，所以； （2）由（1）知， 证明：设， 则， 又由，所以、、 则，，，， 则， 则函数在上为增函数； （3）根据题意，即 ，即 ， 即，解得：， 即不等式的解集为． 8．已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 【答案】(1)在上的单调递增，证明见解析 (2)所求不等式的解集为 【分析】（1）判断函数的单调性，再证明对，且，都有，结合定义可得结论； （2）先证明函数为奇函数，再结合函数性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】（1）（1）因为函数在上单调递增，故在上的单调递增． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上的单调递增．                                                                                         （2）因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 由（1）知在上的单调递增， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 【题型5：抽象函数的性质】 1．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．无法计算 【答案】C 【分析】根据函数，的奇偶性，结合，推出，进 一步得出周期为4，化简求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则有， 又因为，所以， 又因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以，可得 因此，即； 可知的周期为4. 因为，.所以，． 由，令，得. 所以． 故选：C. 2．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 3．多选题已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 【答案】ABD 【分析】对A，令结合条件可得解；对B，令结合偶函数定义可判断；对C，令，可得，，联立并化简可得即可推出周期判断；对D，令，得，用代替，得，相加运算得解. 【详解】对于A，由，令，可得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，可得，即，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， ，从而得，即， 所以，所以是周期为6的周期函数，故C错误； 对于D，令，得， 用代替，得， ，由可得， ，故D正确. 故选：ABD. 4．多选题函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是上的减函数 C．在上的最小值为2 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】令，求出，再令，即可判断A；令，，且，根据定义法即可判断B；根据函数的单调性求出函数的最值，即可判断C；根据函数的单调性解不等式即可判断D. 【详解】对于A，取，则，解得， 令，则，即，且函数定义域是， 所以函数是奇函数，故A错误； 对于B，令，，且，则， 因为当时，，所以， 则，即， 函数是上的减函数，故B正确； 对于C，因为函数是上的减函数， 所以函数在上的最小值为， 又， ，故， 在上的最小值为，故C错误； 对于D，，即， 因为函数是上的减函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故D正确， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 5．多选题设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】通过赋值，，及可判断AB，结合函数奇偶性及单调性，可判断CD； 【详解】， 令，可得：， 所以， 令，可得：， 所以，A正确； 令，可得：， 即，偶函数，B正确； 由，可得：， 由函数是偶函数及已知单调性可得：， 易知恒成立，由，可得：；C正确； 由函数是偶函数且在上单调递增可知其最小值为，D错误； 故选：ABC 6．多选题已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【答案】ACD 【分析】令，求出的值，可判断A选项；令，可求出的值，再令，可求出的值，可判断B选项；令，可知，再令，结合函数奇偶性的定义可判断D选项；推导出当时，，然后利用函数单调性的定义可判断C选项. 【详解】对于A选项，对任意的实数、满足， 令可得，解得，A对； 对于B选项，令，可得， 即，解得， 再令可得，B错； 对于D选项，令， 由可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 对于C选项，由题意可知，当时，， 当时，，即时，， 故当时，， 任取、且， 则， 即函数在上为增函数，C对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 1．多选题设函数，对任意的非零实数x，y，恒有 ，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】令 可判断；令 可判断；由结合单调性的定义判断C；利用函数的单调性与奇偶性转化原不等式即可判断D. 【详解】项，令 ，则 ，所以 ，故正确； 项，令，则 ，所以 令 ，则 ，所以，所以为偶函数，故正确； C项，令 ，则，所以 ， ，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在 上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，故C不正确； 项， ，即， 所以 ，所以或，解得或， 所以的解集为，故正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解，抽象函数问题往往利用赋值法求解. 2．多选题对任意的，，函数满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．4为函数的一个周期 D． 【答案】ACD 【分析】令可判断A；根据 时 不成立判断B；求出后令可判断C；根据周期性结合 可判断D. 【详解】由 ，令 ，则 ，又 ，所以 ，故 A 正确； 因为 时 ，则不成立，所以 不是奇函数，故 B 错误； 令可得 ，所以 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 的周期为 4，故 C 正确； 由 ，得 ， 所以 ，故 D 正确. 故选： ACD. 【点睛】方法点睛：函数奇偶性与周期性、抽象函数相结合的问题，多以选择题、填空题的形式呈现，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解，抽象函数问题往往利用赋值法求解. 3．多选题已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（   ） A． B．若对于，则函数是奇函数 C． D．若当时，，则在区间上单调递增 【答案】BD 【分析】A选项，令得到或0；B选项，根据得到，令得到，然后利用奇函数的定义判断；C选项，时不成立；D选项，根据时，利用作商的思路得到对任意的，都有，然后结合单调性的定义判断. 【详解】对于A项，令，则，则或0，故A错误； 对于B项，因为，所以， 由，且，所以， 令，则，所以， 所以，故是奇函数，故B正确； 对于C项，若，令可得，故C错误； 对于D项，若当时，，则不满足，所以， 设0，则，所以， 所以，即对任意的，都有， 所以在上单调递增．又，所以在，上单调递增，故D正确． 故选：BD． 4．多选题已知函数对任意实数x，y都满足，且，则（   ） A．或1 B．是偶函数 C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法进行求解即可，选项A：令，选项B：，选项C:令，选项D：利用函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】令，可得，故A错； 令，可得，即，故B对； 令，可得，即，再令，得，所以对； 又是偶函数，所以有， 函数是以2为周期的周期函数，，故D错. 故选：BC. 5．多选题已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（   ） A． B．若在R上单调递增，则 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】A选项，令得，或1，根据函数单调性排除，A正确；C选项，令，变形得到，不满足，C错误；B选项，由单调性得到，由条件得，故B正确；D选项，变形得到，故为奇函数，D正确； 【详解】A选项，中，令得， ，解得，解得或1， 令得，即， 若，满足上式， 若得，但函数在R上单调，故，不合要求， 综上，，A正确； C选项，中，令得，当时，， 由于只有时，才有，当为其他数时，不满足， 故不是奇函数，C错误； B选项，在R上单调递增，， 故， 因为，所以， 所以，故B正确； D选项，因为，所以， 当时，，， 所以， 故为奇函数，D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解 6．设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为 ． 【答案】 【分析】变形后，令 ，则在上单调递增，又为奇函 7．定义在上的函数满足对任意、，恒有，且不恒为． (1)求和的值； (2)试判断的奇偶性，并加以证明； (3)若当时，为增函数，求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1)， (2)为偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令可求得的值，令可取得的值； （2）令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （3）根据偶函数的性质可得出，结合函数在上的单调性可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】（1）令，得，所以，， 令，得，解得. （2）为偶函数，证明如下： 令，由得，             因为，所以，， 又不恒为，函数为偶函数. （3）由知，                       又因为函数为偶函数，则， 所以，，                又因为函数在上为增函数，所以，，解得，                             故的取值范围为. 8．已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】(1) (2)函数是奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将点坐标代入得到方程组，求出的值； （2）利用函数的奇偶性的定义求证； （3）利用单调性的定义求证. 【详解】（1） ∵函数的图象经过两点， ∴，解得； （2）函数是奇函数.证明如下： 由（1）知，，函数的定义域为. ∵， ∴函数是奇函数. （3）任取，则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. 9．已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，代入运算求解即可； （2）根据题意结合二次函数单调性分析求解即可. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称， 又因为的最小值为1，可设， 且，解得， 所以． （2）由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 因为在区间上单调， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为． 【详解】因为，所以， 令 ，则在上单调递增． 函数的图象关于点中心对称，则的图象关于原点对称， 即为奇函数，则为偶函数，故在上单调递减． ，则． 当时，，即，即，则； 当时，，即，即，则． 综上所述，． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$