第二章 有理数的运算（高效培优单元测试·提升卷）数学浙教版2024七年级上册

第二章 有理数运算（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 2．2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋公海海域成功发射一枚携带训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，这次发射的东风41洲际弹道导弹最远射程．数据14000用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 3．式子是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律、结合律 4．对于式子，下列说法正确的是（   ） A．指数是 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 5．把写成省略括号和加号的形式为（   ） A． B． C． D． 6．2025年7月6日，A地最高气温为零上，B地最高气温为，A、B两地最高气温相差（     ）． A． B． C． D． 7．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．新定义一种运算“⊗”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 9．若，，且，那么的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．在，0，4，这四个数中，最小的数与最大的数的积是 ． 12．计算，结果是 ． 13．对于近似数，精确到表示为 ． 14．河南原阳大米是中国国家地理标志产品，多次获得国际和国家级金奖，有“中国第一米”之称．某包装的原阳大米的标准质量是每袋，现抽取6袋样品进行检测，结果如下：（超过标准质量的记作正数） 标号 与标准质量差/ 则这袋原阳大米的平均质量为 ． 15．使用数字3、4、5、8，通过加、减、乘、除四则运算得到结果24（每种运算可以使用任意次数，但每个数字只能使用一次），请写出一种算式 ． 16．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢进”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是：，那么将二进制数转换成十进制数是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（8分）医院的救护车加满油后沿东西方向抢救病人，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的行驶路程记录如下（单位）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若救护车每千米耗油0.5升，油箱容量为26升，求救护车当天抢救过程至少还需要补充多少油？ (3)救护过程中，救护车离出发地A最远处有多远？ 19．（8分）出租车司机老姚某天上午营运全是在南北走向的兴海路上进行，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午行车里程（单位：）如下： ． (1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午出发点多远？在出发点的南面还是北面？ (3)若汽车耗油量为，这天上午老姚的出租车耗油多少L？ 20．（8分）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 21．（8分）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况增产记为正、减产记为负； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期______； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 22．（10分）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 23．（10分）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 24．（10分）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数运算（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】根据有理数乘法法则中“两数相乘，同号得正”来计算的结果．本题主要考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：． 2．2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋公海海域成功发射一枚携带训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，这次发射的东风41洲际弹道导弹最远射程．数据14000用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成的形式，其中为整数，正确确定、的值是解题的关键． 将14000写成其中为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．式子是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律、结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母可以表示为 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母可以表示为 【详解】解：在式子中， 的位置不变，的位置从后面交换到了前面与相加，应用了加法交换律； 式子中把和结合相加，把结合相加，应用了加法结合律； ∴式子中应用了加法交换律和加法结合律 选项A：只提到了加法交换律，不符合题意； 选项B：只提到了加法结合律，不符合题意； 选项C：分配律是乘法对加法的分配，本题中未涉及到，不符合题意； 选项D：提到了加法交换律和结合律，符合题意； 故选：D． 4．对于式子，下列说法正确的是（   ） A．指数是 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，中a为底数，b为指数，结果为幂，表示b个a相乘，由此逐项判断即可． 【详解】解：对于式子， 指数是2，故A选项错误； 底数是，故B选项错误； ，即幂是9，故C选项正确； 表示2个相乘，故D选项错误； 故选：C． 5．把写成省略括号和加号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据减法法则及加法法则进行解答即可． 【详解】解：， 故选：A． 6．2025年7月6日，A地最高气温为零上，B地最高气温为，A、B两地最高气温相差（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，根据正数和负数的实际意义列式即可． 【详解】解：这天的温差是， 故选：A． 7．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上有理数的大小的比较，有理数的乘法，绝对值的性质， 先根据数轴上点的位置可判断A；再根据有理数的乘法判断B；然后两个数绝对值的大小比较即可解答C；最后根据两个负数的大小比较可解答D. 【详解】解：根据图示，可得：，， ， 选项A不符合题意； ，， ， 选项B不符合题意； ，， ，， ， 选项C不符合题意； ，， ∴， ， 选项D符合题意． 故选：D． 8．新定义一种运算“⊗”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，有理数的加减运算； 根据新定义的运算法则，分情况进行计算即可． 【详解】解：当时，， 解得（与矛盾，舍去）； 当时，， 解得； 故选：C． 9．若，，且，那么的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出的值是解答此题的关键．先根据绝对值的性质，判断出的大致取值，然后根据，进一步确定的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，； ∵， ∴， ，或，． 当，时，； 当，时，． 故的值为或． 故选：D． 10．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．在，0，4，这四个数中，最小的数与最大的数的积是 ． 【答案】 【分析】先进行有理数大小比较，再计算两个有理数的积解答即可． 本题考查的是有理数的大小比较，有理数的乘法运算，掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴最小的数与最大的数的积是． 故答案为：． 12．计算，结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． 先化除为乘，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 13．对于近似数，精确到表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．把千位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：近似数，精确到表示为， 故答案为：． 14．河南原阳大米是中国国家地理标志产品，多次获得国际和国家级金奖，有“中国第一米”之称．某包装的原阳大米的标准质量是每袋，现抽取6袋样品进行检测，结果如下：（超过标准质量的记作正数） 标号 与标准质量差/ 则这袋原阳大米的平均质量为 ． 【答案】501 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算的应用，正确列出运算式子是解题关键．将抽取6袋样品，与标准质量差相加，再除以6，然后加上每袋的标准质量即可得． 【详解】解：由题意得：这袋原阳大米的平均质量为 ， 故答案为：501． 15．使用数字3、4、5、8，通过加、减、乘、除四则运算得到结果24（每种运算可以使用任意次数，但每个数字只能使用一次），请写出一种算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 考虑可得结论． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 16．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢进”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是：，那么将二进制数转换成十进制数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算的应用，正确理解二进制数转换成十进制的方法是解题关键．根据二进制数转换成十进制的方法列出运算式子，再计算含乘方的有理数混合运算即可得． 【详解】解：由题意得：将二进制数转换成十进制数是 ． 故答案为：13． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行有理数乘法运算，然后进行加法运算； （2）首先根据有理数乘方运算法则、有理数除法法则和乘法分配律进行运算，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（8分）医院的救护车加满油后沿东西方向抢救病人，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的行驶路程记录如下（单位）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若救护车每千米耗油0.5升，油箱容量为26升，求救护车当天抢救过程至少还需要补充多少油？ (3)救护过程中，救护车离出发地A最远处有多远？ 【答案】(1)B地位于A地的正东方向，距离A地千米． (2)11L (3)25千米 【分析】（1）将所有数据相加,根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可解题． （2）将所有数据的绝对值相加得到总路程，用总路程乘以每千米耗油，得到总耗油量，即可解题． （3）根据题意可知救护车是依次向东、向西行驶的，且每次向东行驶的距离都比向西行驶的更远，所以救护车离出发地A最远时必定是向东行驶后，然后依次计算每次向东行驶后离出发地A的距离即可解题． 【详解】（1）解：由题可知，当天沿一个方向行驶路程为：（千米）， 向东为正方向，早晨从A地出发，晚上到达B地， B地位于A地的正东方向，距离A地千米． （2）解：由题可知，当天总行驶路程为：（千米）， 医院的救护车加满油后沿东西方向抢救病人，救护车每千米耗油，油箱容量为， 总油耗为：（）, 救护车当天抢救过程至少还需补充油为：（）． （3）解：由题可知，救护车是依次向东、向西行驶的，且每次向东行驶的距离都比向西行驶的更远，所以救护车离出发地A最远时必定是向东行驶后， 第一次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， 第二次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， 第三次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， 第四次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， ， 救护车离出发地A最远处为千米． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，以及正负数的意义，绝对值的意义，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 19．（8分）出租车司机老姚某天上午营运全是在南北走向的兴海路上进行，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午行车里程（单位：）如下： ． (1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午出发点多远？在出发点的南面还是北面？ (3)若汽车耗油量为，这天上午老姚的出租车耗油多少L？ 【答案】(1)将第6名乘客送到目的地时，老姚刚好回到出发点 (2)老姚距上午出发点，在出发点的北面 (3)这个上午老姚的出租车耗油3.3L 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出和为0时的数的个数，即可； （2）求出所有数据的和，根据和的情况作答即可； （3）求出所有数据的绝对值的和，再乘以每千米的油耗即可． 【详解】（1）解：， 答：将第6名乘客送到目的地时，老姚刚好回到出发点． （2）解：， 答：老姚距上午出发点，在出发点的北面． （3）解：， 答：这个上午老姚的出租车耗油3.3L． 20．（8分）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4 ； （2）解：由题意可得，※ ． 21．（8分）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况增产记为正、减产记为负； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期______； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)四 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝 (3)该厂工人这一周的工资总额是14225元 【分析】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）比较出记录中的数的最大数即可判断； （2）用记录中的最大数减去最小数即可； （3）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可． 【详解】（1）∵ ∴该厂生产风筝最多的一天是星期四． 故答案为：四； （2）只 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； （3）只， 元． 答：该厂工人这一周的工资总额是14225元． 22．（10分）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)元； (2)元； (3)可能，方案见解析，费用为元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，理解题意并正确列式计算是关键． （1）按照电话订购的方式计算即可； （2）按照外卖APP购买方式付款即可； （3）制定方案，计算费用即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，需花费元； （2）（元）， 答：小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费元； （3）可能， 方案：通过外卖APP购买两单，一个三份，一个一份，再通过电话订购40份，需要花费 （元）， 23．（10分）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【详解】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 24．（10分）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①；②，； (3)和． 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点对应的数的绝对值． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与重合； （2）根据对称性找到折痕的点为1，①设5表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②根据数轴上A、B两点之间距离为6可得A到折痕的点距离为3，由此得出A、B两点表示的数； （3）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上表示3的点与表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）∵折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ∴折痕表示的点为1， ①设5表示的点与数a表示的点重合， 则， 解得：； 故答案为：； ②∵数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， 则A、B两点表示的数分别是和； （3）由题意可得，，， 即两条折痕处对应的点所表示的数分别是和． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$