专题01 因式分解 压轴题（高效培优专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题01 因式分解 压轴题 题型一：利用因式分解简便运算 题型二：求值问题 题型三：十字相乘法的分类讨论 题型四：新定义题 题型五：最值问题 题型六：分组分解法；添项法 题型七：十字相乘法的应用 题型八：因式分解的几何应用 题型一：利用因式分解简便运算 1．已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键．利用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可． 【详解】解：∵， ， ∴． 故选：A． 2．计算： ． 【答案】65 【分析】本题考查因式分解的应用，根据完全平方公式及平方差公式整理算式，化简即可求解． 【详解】解： ， ； ； ； ； ； ； ； ； 原式 ， 故答案为：65． 题型二：求值问题 3．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 【答案】C 【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可． 【详解】解：，， 又， ， ，， ， ， ， 代入得，=0． 故选：C． 【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键． 4．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　） A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11 【答案】B 【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可． 【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2， ∴a﹣c＝4， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12， ∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键． 5．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 6．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：，，， ，，， 则 ， 当，，时，原式． 故选：D． 题型三：十字相乘法的分类讨论 7．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个 【答案】B 【分析】把18分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和． 【详解】解：18=1×18=2×9=3×6=（-1）×（-18）=（-2）×（-9）=（-3）×（-6）， 所以a=1+18=19或2+9=11或3+6=9或（-1）+（-18）=-19或（-2）+（-9）=-11或（-3）+（=6）=-9． ∴整数a的值是±9或±11或±19，共有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键． 8．已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】把常数项分为两个整数相乘，其和即为的值，即可确定出整数的个数． 【详解】解：根据题意得：， 可得，，2，， 解得：，14，，2，共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解中的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 9．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 题型四：新定义题 10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（    ） A．56 B．60 C．62 D．88 【答案】B 【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合． 【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数）， ∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)， A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误； B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确； C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误； D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键． 11．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 12．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）先分组，再利用提公因式法因式分解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键． 13．阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行整式变型和因式分解， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）先分组得到，进而得到，则可得到原式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 题型五：最值问题 14．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，整式及称做完全平方式．如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，整式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【答案】(1) (2)当时，整式有最大值13 (3)84 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，整式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． 15．我们把整式及叫做完全平方式，如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，整式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)9 (3) (4)，，16 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，完全平方公式的应用， （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将整式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得，，进而可得的值； （3）用减得，利用配方法将整式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （4）利用配方法将整式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∴，即； （4）解： ， ∴当且时，有最小值16， 此时得：，， ∴，时，整式有最小值为16． 16．我们把整式 和 叫作完全平方式．如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求整式 的最小值，由 可知，当时，整式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，整式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，整式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将整式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将整式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 题型六：分组分解法；添项法 17．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的整式无法直接进行因式分解时，我们可以将整式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整体代入得出答案即可． 此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组再运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 当，时，原式． 18．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个整式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法． 例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 (1)试用“分组分解法”因式分解： (2)已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． （1）根据因式分解分组分解法分解即可； （2）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ， ； ②当时， ，，，， ， 即， ， ， ， ， 由得，得，， ，即， ， ， ， ， 又由，，得，即， ，即， 或， ，或， 又，则， ，． 19．阅读理解： 添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如： 例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) 解：原式＝(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) ＝(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) ＝(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) …… ＝ 例2：因式分解：x4+x2+1 解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2 ＝(x2+1)2﹣x2 ＝(x2+1+x)(x2+1﹣x) 根据材料解决下列问题： (1)计算：； (2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题： ①分解因式：x4+4； ②计算：. 【答案】(1)；(2)①(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)；②. 【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣)即可，连续使用平方差公式，得出最后结果， (2)①根据配方法在原式的基础上(+4x2﹣4x2)，转化为完全平方公式，再利用拆项法配方，最后化为两个因式的积， ②根据x4+4的分解结果，分别求出当x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所对应的x4+4个结果，从而得到一个规律，再代入求值即可. 【详解】解：(1)原式＝2×(1﹣)× ＝2×(1﹣) ＝， (2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2 ＝(x2+2)2﹣(2x)2 ＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)， ② x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2) x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]•[(x﹣1)2+1] 原式＝ 【点睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知识，掌握公式，通过因式分解的变形，找出存在的规律是解决问题的关键. 题型七：十字相乘法的应用 20．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列整式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 【答案】(1)；； (2)；． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 21．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对整式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对整式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 题型八：因式分解的几何应用 22．如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 23．综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）14； （4）5或7 【分析】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果； （2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案； （3）由（2）的结论，把已知条件代入即可； （4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可； 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分9部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ． 的值为14； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 的值为5或7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法． 24．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 （1）写出由图2所表示的数学等式：_________________； （2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________； （3）已知实数满足．求： ①的值； ②的值． 【答案】（1）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；（3）①0；②1 【分析】（1）大正方形的面积等于6个长方形和3个小正方形的面积和； （2）图中阴影部分面积为正方形等于阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积； （3）①将（1）式子变形ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再结合已知条件，将式子逐步代入，得到1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解． 【详解】解：（1）大正方形的面积为（a+b+c）2， 9个长方形和小正方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， ∴（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）图中阴影部分面积为正方形，则有（a-c-b）（a-b-c）=（a-b-c）2， 阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积，即a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc， ∴（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc； （3）①由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 可得ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]， ∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1， ∴ab+bc+ca=0； ②∵（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc， ∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1， ∴1=a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc=a3+b3+c3+3[b（1-b2）+a（1-a2）+c（1-c2）]+6abc， 1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc， ∴1=3-2（a3+b3+c3）+6abc， ∴a3+b3+c3-3abc=1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用；根据一个图形面积的不同求法，利用面积相等，得到相应的表达式，再将表达式进行适当的变形，用代入法求值是解题关键． 25．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把整式分解因式，其结果是________； (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【答案】(1)2，3 (2) (3)作图见解析， 【分析】此题考查整式乘以整式计算法则，整式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需需要2号卡片，3号卡片的数量；    （2）根据因式分解方法分解即可； （3）利用因式分解得，即可画出图形． 【详解】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∴需要2号卡片2张，3号卡片3张， 故答案为：2，3； （2）解： 故答案为； （3）利用拼图分解因式： 如图所示： ． 26．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)，90 (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）由题意利用面积相等推导公式：； （2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可， （3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积 由此即可解题． 【详解】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成， 知识生成：， 故答案为：； （2）正方体棱长为， ∴体积为， ∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ∴； ∴， ∵，， ∴ （3）有图可知：，． ∴， ∴，， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积 27．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，长方形如图 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，即可求解； 情境三：能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【详解】解：情境一 如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图的面积： ， 图的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； 情境二 ， 拼成了一个正方形， 当时， ， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三 赞同丁同学的说法； 去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图：    【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 因式分解 压轴题 题型一：利用因式分解简便运算 题型二：求值问题 题型三：十字相乘法的分类讨论 题型四：新定义题 题型五：最值问题 题型六：分组分解法；添项法 题型七：十字相乘法的应用 题型八：因式分解的几何应用 题型一：利用因式分解简便运算 1．已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 2．计算： ． 题型二：求值问题 3．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 4．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　） A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11 5．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 6．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三：十字相乘法的分类讨论 7．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个 8．已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 题型四：新定义题 10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（    ） A．56 B．60 C．62 D．88 11．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 12．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 13．阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 题型五：最值问题 14．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，整式及称做完全平方式．如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，整式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 15．我们把整式及叫做完全平方式，如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，整式有最小值，并求出这个最小值． 16．我们把整式 和 叫作完全平方式．如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求整式 的最小值，由 可知，当时，整式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，整式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，整式 有最小值？并求出这个最小值． 题型六：分组分解法；添项法 17．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的整式无法直接进行因式分解时，我们可以将整式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 18．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个整式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法． 例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 (1)试用“分组分解法”因式分解： (2)已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）． 19．阅读理解： 添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如： 例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) 解：原式＝(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) ＝(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) ＝(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) …… ＝ 例2：因式分解：x4+x2+1 解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2 ＝(x2+1)2﹣x2 ＝(x2+1+x)(x2+1﹣x) 根据材料解决下列问题： (1)计算：； (2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题： ①分解因式：x4+4； ②计算：. 题型七：十字相乘法的应用 20．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列整式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 21．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 题型八：因式分解的几何应用 22．如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 23．综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 24．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 （1）写出由图2所表示的数学等式：_________________； （2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________； （3）已知实数满足．求： ①的值； ②的值． 25．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把整式分解因式，其结果是________； (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 26．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 27．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$