专题01 简单的代数式 压轴题（高效培优专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题01 简单的代数式 压轴题 题型一：一次式的加减 题型二：阅读材料题 题型三：一次式加减的实际应用 题型四：一次式加减的几何应用 题型五：新定义题 题型六：数轴问题 题型七：日历、条形码问题 题型八：阶方；宫格问题 题型一：一次式的加减 1．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 【答案】B 【分析】与结合，与结合，依此类推相减结果为，得到506对，计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 2．现有一列数m1，m2，m3，……，m2020，其中m1＝-3，m2＝-1，且mn+mn+1+mn+2＝1(n为正整数)，则m1+m2+m3+……+m2020= ． 【答案】670 【分析】先求出的值，再归纳类推出一般规律，从而求出的值，然后根据代入求值即可得． 【详解】， 当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 归纳类推得：的值是以循环往复的， ， 的值与的值相等，即为， 则， ， ， ， ， 故答案为：670． 【点睛】本题考查了代数式求值，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)增大；减小 (3)同意，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值； （1）将代入即可． （2）根据表格数据分析即可． （3）两个代数式求差，得到，然后判断下结论即可． 【详解】（1）解：将代入得：． 故答案为：． （2）解：从表格中可以发现，当x的取值增大时，一次式的值增大，一次式的值减小； 故答案为：增大；减小． （3）解：我同意小海的结论． 理由如下： ∵， 所以当x的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6． 题型二：阅读材料题 4．已知，对一次式，任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，称这种操作为“绝对操作”．例如：，，等．对一次式进行“绝对操作”后，可进一步对其进行运算．下列说法其中正确的个数是（    ） ①存在八种“绝对操作”，使其化简的结果与原一次式相等； ②不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原一次式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，整式的加减运算，根据“绝对操作”的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，， ①要使化简的结果与原一次式相等，则去绝对值后所有的符号不发生改变， ∴当，，，，，，任意一个添加绝对值后，化简后的结果与原一次式相等，有6种情况， 当，或两个都添加绝对值后，化简后的结果与原一次式相等，有2种情况， 故存在八种“绝对操作”，使其化简的结果与原一次式相等；故①正确； ②任意“绝对操作”化简后的结果不存在项，故不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原一次式之和为0；故②正确； ③添加一个绝对值后，有6种结果与原一次式相等，即为， ， ， 添加两个绝对值，有2种结果与原一次式相等， ． 综上：总共有6种不同的结果；故③错误； 故选C． 5．在一次式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新一次式，再写出新一次式的绝对值，这样的操作称为对一次式的“绝对换位变换”，例如：对上述一次式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对一次式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原一次式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【详解】解：对一次式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，，故①正确； 对一次式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对一次式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或 对一次式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或对一次式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，， 综上共4种结果，故③错误； 其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原一次式相等，故②错误． 故选：B． 6．已知代数式，在代数式中，任取两项与代数式中任意两项进行替换，A、B替换后的结果分别记作，这样的替换称做一次“替换运算”．例如：在代数式中选取第一项和第三项与代数式中的第一项和第三项进行替换，得到；再选取中的第一项和第三项与代数式中的第二项和第三项进行替换，得到，对代数式A、B进行次“替换运算”，替换后的结果记作，当的项数小于两项时，则替换停止．下列说法： ①存在“替换运算”，使得； ②当时，的最小值为1； ③所有的共有8种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，由于代数式A中有三项，所以任取两项有三种取法，同理代数式B中任取两项也有三种取法，那么得到一共有九种“替换运算”，根据题意求出这九种“替换运算”后的结果，进而求出的结果即可得到答案． 【详解】解：在代数式中选取第一项和第二项与代数式中的第一项和第二项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第一项和第三项与代数式中的第一项和第二项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第二项和第三项与代数式中的第一项和第二项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第一项和第二项与代数式中的第一项和第三项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第一项和第三项与代数式中的第一项和第三项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第二项和第三项与代数式中的第一项和第三项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第一项和第二项与代数式中的第二项和第三项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第一项和第三项与代数式中的第二项和第三项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第二项和第三项与代数式中的第二项和第三项进行替换，得到，此时； ∴不存在“替换运算”，使得，故①错误； ∵或或或或或或或， ∴当时，的最小值为1；所有的共有8种不同的运算结果，故②③正确； 故选C． 7．对于一次式：，我们用任意两个一次式求差后所得的结果，再与剩余两个一次式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ① 为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，清晰的分类讨论是解本题的关键；令，，，，所有“双减操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“+”号，再分类计算，再根据结果进行判断即可. 【详解】解：令，，，， 所有“双减操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“+”号，则有以下几种计算结果： 第1种：， 第2种：， 第3种：，     第4种：， 第5种：， 第6种：， 由上可知，所有的“双减操作”，x为整数时，其结果均为能被2整除；故①说法正确； 不存在哪种“双减操作”，其结果为；故②说法错误； 所有的“双减操作”共有5种不同的结果；故③说法正确． 故选： B． 题型三：一次式加减的实际应用 8．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费．（用含有的整式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）． 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元 【分析】（）根据收费标准计算即可求解； （）根据收费标准列出算式即可； （）先判断甲户的用水量大致范围，再分、和三种情况列式表示即可； 本题考查了有理数的混合运算、列代数式等知识点，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 答：该用户这个月应缴纳元水费； （2）解：当时，该用户应缴纳的水费为： 元； （3）解：∵甲用户缴纳的水费超过了元， ∴， ①当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； ②当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； ③当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； 答：当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元． 9．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)元或元或元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据材料提示的计算方法即可求解； （）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可； （）根据题意，分类讨论，结合（）、（）的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：应收水费为（元）， 故答案为：48； （2）解：∵应收水费不超过的部分的水费超出不超出部分的水费， ∴应收水费为元， ∴应收水费为元； （3）解：∵月份用水量超过了月份， ∴月份用水量少于， ①当月份用水量少于时，则月份用水量超过， ∴两个月共交水费元； ②当月份用水量大于或等于但不超过时，则月份用水量不少于但不超过， ∴两个月共交水费元； ③当月份用水量超过但少于时，则月份用水量超过但少于， ∴两个月共交水费元， 综上，两个月共交的水费为元或元或元． 10．水果批发市场梨的价格如下表： 购买梨（千克） 单价 不超过10千克的部分 6元/千克 超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克 超出20千克的部分 4元千克 (1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）； (2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克； (3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克，请问小强两次购买梨共需要付费多少元？（用含a的式子表示）． 【答案】(1)， (2)9，19，25 (3)当时，共需要付费元；当时，共需要付费元； 【分析】本题考查列代数式，分段收费的问题；要注意购买的千克数在哪个段，就按哪个段的价格算总费用；总费用单价数量； （1）5千克在“不超过10千克的部分”按6元千克收费；第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），按6元/千克、5元/千克分段收费； （2）由小强买梨花了元可知，买梨的千克数不超过10千克，按单价为6元/千克收费； 由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克，按6元/千克、5元/千克分段收费；由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克，按6元/千克、5元/千克、4元/千克分段收费； （3）由两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克可知，的取值范围不确定，需要用分类讨论的思想进行解答， 当时，分别算第一次和第二次的总费用； 当时，注意第一次购买有2段费用，第二次购买有3段费用，然后再相加； 分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：千克在“不超过10千克的部分”按6元千克收费， 元； 第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克）， 元 故答案为：，； （2）由小强买梨花了元可知，买梨的千克数不超过10千克，单价为6元/千克， 故小强购买梨千克； 由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克， 故小强购买梨千克； 由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克， 故小强购买梨千克； 故答案为：9，19，25； （3）两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克， 第二次购买千克， 当，时，需要付费为： 元， 当，时，需要付费为： 元， 故当时，小强两次购买梨共需要付费元； 当时，小强两次购买梨共需要付费元； 11．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支 (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得： ， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 题型四：一次式加减的几何应用 12．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减的应用： （1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可； （2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长， 故； （2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则， ∴， 所以两个阴影部分图形的周长的和为： ， 即为 ∵， ∴ 整理得：． 13．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)＞，＞ (2) (3)从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ， 且， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 题型五：新定义题 14．我们定义一种新运算，，如． (1)计算：_________． (2)计算：_________． (3)在这11个数中，任取三个数作为的值进行运算，求在所有计算结果中的最大值． 【答案】(1) (2) (3)所有计算结果中的最大值为． 【分析】（1）根据新定义运算的含义列式计算即可； （2）根据新定义运算的含义列式计算即可； （3）分两种情况讨论：当时，，当时，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴ ； （3）当时， ， ∴当时，有最大值，最大值为：； 当时， ， 当，或，时，有最大值， 最大值为：； 综上：所有计算结果中的最大值为． 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加减混合运算，乘法运算，合并同类项，求解代数式的值，新定义运算的含义，理解题意，选择合适的方法解题的关键． 15．定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【答案】(1)52 (2)13，31 (3)是常数为9，见解析 【分析】本题考查了新定义，解答本题的关键是明确题意，理解“相异数”． （1）根据题目中“相异数”的定义即可判断； （2）根据题目中“相异数”的定义，即可得到所有“相异数”b的值； （3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由“相异数”的定义可得，两位数：20，52，44中，“相异数”为52； （2）解：设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足 ∴ ∴ 即 ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零 ∴当时，，此时b的值为13； 当时，，此时b的值为31； ∴所有“相异数”b的值为13，31； （3）解：是常数，理由如下： ∵m、n都是“相异数”，且 设，则 ∴ ， ∴． 16．阅读材料：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据上述定义，回答下列问题： (1)填空： 下列两位数，，中，是“迥异数”的为______； 计算 ______． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”的值． 【答案】(1)①和， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能理解“迥异数”定义是本题的关键． （1）①由“迥异数”的定义可得； ②根据的定义计算可得． （2）根据题意知，新两位数与原两位数的和为，从而得出，解答出的值，即可求迥异数的值． 【详解】（1）（1）根据定义得，个位数字与十位数字不同，这三者中，符合题意，故填，． 由题意知，，即“迥异数”为，对调个位数字与十位数字后变为，则，，所以中． （2）由题意知，新两位数与原两位数的和为，， 即，解答， 所以迥异数为． 题型六：数轴问题 17．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．如：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1 (1)线段的长度是______，设点P在数轴上对应的数为x，若，则______； (2)①找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是________； 的最大值为________； ②由以上探索猜想：当________时，的值最小，最小值为________； (3)如上图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)6；或 (2)①，0，1，2，3；3；②；6 (3)菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． （1）根据两点之间的距离公式求出线段的长度，根据的几何意义分两种情况求解即可． （2）①根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离的和是7，即可求解；根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差，分为当在1的右边时，和当在1的左边时，求解即可． ②根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数2的点之间的距离，确定出在和2之间时，三个距离之和最小即可解答． （3）菜鸟驿站P在x处，根据题意得出运输总成本为，再根据其几何意义求出的最小值，即可解答． 【详解】（1）解：线段的长度， ∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， ∵， ∴当在2的左边时，则； ∴当在2的右边时，则； 则的值为：或5； 故答案为：6；或5． （2）解：①根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离的和是7， ∵， ∴在和3之间， ∴整数的值为：，0，1，2，3； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在1的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为3； 当在1的左边时，则， ∴最大值为3； 故答案为：，0，1，2，3；3． ②解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数2的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和2之间的距离，即为6， ∴最小值为6； 故答案为：； （3）解：设菜鸟驿站P在x处， 根据题意可得，运输总成本为， 的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本为12元， ∴菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元/（千份·千米）． 18．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： （1）如果点表示数，将点向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； （2）如果点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； 归纳一般： （3）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____． 深入研究： （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____． ②当时，其中平局次，甲胜次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____（用含、、的式子表示）． 【答案】（1）4，7；（2）4，1；（3），；（4）①，，5；②，， 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及整式的加减，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，两点之间的距离为右边的数减去左边的数； （2）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，两点之间的距离为右边的数减去左边的数； （3）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，再计算两点之间的距离； （4）①根据移动规则和两点间的距离公式即可求解； ②根据移动规则即可求解； 【详解】解：（1）点表示数，将点向右移动7个单位长度到达点， 点表示的数是，、两点间的距离为， 故答案为：4，7； （2）点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度， 终点表示的数是，、两点间的距离为， 故答案为：4，1； （3）如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是， 点，之间的距离为， 故答案为：，； （4）①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为，点最终位置表，此时、两点间的距离． 故答案为：，，； ②当时，其中平局次，甲胜次， 点最终位置表示的数为， 点最终位置表示的数为； 此时、两点间的距离． 故答案为：，，． 题型七：日历、条形码问题 19．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住表中的16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D． (1)在图1中，2024排在第 行，第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)若将图1中的偶数都改为原数的相反数，奇数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m为正奇数，n为正整数）为w，请用含m、n的式子表示w； ②此时的值能否为2020？如果能，请求出A所表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)290，1 (2)是定值，0 (3)①当n为奇数时，；当n为偶数时，；②不能，见解析 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会探究复杂问题中的等量关系． （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）分别用含x的代数式表示出A、B、C、D，然后列出代数式，化简即可解决问题； （3）①分奇数、偶数两种情形讨论即可；②分奇数、偶数两种情形讨论，分别构建简单的等量关系即可解决问题； 【详解】（1）解：∵， ∴2024排在第290行，第1列； （2）解：设A表示的数为x，那么B表示的数为，C表示的数为，D表示的数为， ∴，是定值； （3）解：①解法一： 当n为奇数时， 当n为偶数时， 解法二：             ②不能，理由： 分类讨论：ⅰ当A，C为偶数，B，D为奇数时， 此时设A表示的数为a，则B表示的数为，C表示的数为，D表示的数为， ∴， 解得：， ∴此时不符合题意； ⅱ当A，C为奇数，B，D为偶数时， 此时设A表示的数为b，则B表示的数为，C表示的数为，D表示的数为， ∴， 解得：， ∴A表示的数为，与A为奇数矛盾， ∴此时不符合题意． 综上可知的值不能为2020． 20．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”． 其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为______，校验码的值为______． （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程． （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果． 【答案】（1）73，7；（2）3，过程见解析；（3）4、0或9、5或2、6 【分析】（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解； （2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解； （3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解． 【详解】（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y， ∴a=7+7+3=17， b=9+8+5=22， 则“步骤3”中的c的值为3×17+22=73，校验码Y的值为80-73=7． 故答案为：73，7； （2）依题意有： a=m+1+2=m+3， b=6+0+0=6， c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15， d=c+X=3m+15+6=3m+21， ∵d为10的整数倍， ∴3m的个位数字只能是9， ∴m的值为3； （3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有： a=p+9+2=p+11， b=6+1+q=q+7， c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40， ∵校验码是8， 则3p+q的个位是2， ∵|p-q|=4， ∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6． 故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键． 题型八：阶方；宫格问题 21．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 【答案】(1)15 (2)1，2，4 (3) 【分析】（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，利用中间一行三个数字相加即可； （2）根据每行每列对角线上的三个式子的和相等的关系求解即可．利用对角线下面两个式子的和减去第一行中间的式子，即得第一行右边的式子；利用第一列上下两个式子的和减去第二行中间的式子，即得第二行右边的式子；利用第一列上面两个式子的和减去第三行右边的式子，即得第三行中间的式子； （3）根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，利用对角线下面两个式子的和等于第一行右边两个的式子的和，列出一元一次方程求解即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律建立一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】（1）∵每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， ∴取中间一行三个数的和，为，， 故答案为：15； （2）∵， ， ， ∴补全图3如下： （3）由题意知，， 解得． 22．三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 【答案】(1)见解析 (2)正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，读懂题意是解答本题的关键． （1）方格正中间的数必为这9个数按从小到大的顺序排列后正中间的数5，进而最大的数9，和最小的数1加上5，就组成一列，然后是8，5，2，接着是7，5，3，最后是6，5，4，保证每行、每列及对角线上各数之和都相等． （2）设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为，正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍，设正中间的数为x，填写表格后即可证． （3）根据题意填写即可． 【详解】（1）解：如下图：（答案不唯一） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （2）解：正确，理由如下： 设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为， 正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍， 设正中间的数为x， 填表如下， 则，即； （3）解：如下图：（答案不唯一） 23．问题的提出：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为． （1）用示例的方法，计算，要求在图（2）中对应位置标数． 问题的拓展： （2）如图（3）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，请直接写出与？的值； （3）在图（4）中按图（1）示例完成（2）的计算． 延伸与运用： （4）图（5）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，运算结果可以用含a的式子表示为____________．（直接写出结果） 【答案】（1）18450，填图见详解 （2） （3）2852 （4） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式表示数，理解题目中表格方法计算有理数的乘法，掌握有理数的混合运算法则，用代数式表示数的方法是解题的关键． （1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据有理数的乘法可得，，由此即可求解； （3）根据表格计算有理数乘法运算方法计算即可； （4）根据题意，，令，可得，，根据表格计算有理数乘法运算即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示，填图如下， ∴； （2）根据图示， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）根据（2）可得，如图所示， ∴计算结果为； （4）根据题意，， ∴令， ∴，， 如图所示， ∴， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 简单的代数式 压轴题 题型一：一次式的加减 题型二：阅读材料题 题型三：一次式加减的实际应用 题型四：一次式加减的几何应用 题型五：新定义题 题型六：数轴问题 题型七：日历、条形码问题 题型八：阶方；宫格问题 题型一：一次式的加减 1．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 2．现有一列数m1，m2，m3，……，m2020，其中m1＝-3，m2＝-1，且mn+mn+1+mn+2＝1(n为正整数)，则m1+m2+m3+……+m2020= ． 3．数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 题型二：阅读材料题 4．已知，对一次式，任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，称这种操作为“绝对操作”．例如：，，等．对一次式进行“绝对操作”后，可进一步对其进行运算．下列说法其中正确的个数是（    ） ①存在八种“绝对操作”，使其化简的结果与原一次式相等； ②不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原一次式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 5．在一次式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新一次式，再写出新一次式的绝对值，这样的操作称为对一次式的“绝对换位变换”，例如：对上述一次式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对一次式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原一次式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知代数式，在代数式中，任取两项与代数式中任意两项进行替换，A、B替换后的结果分别记作，这样的替换称做一次“替换运算”．例如：在代数式中选取第一项和第三项与代数式中的第一项和第三项进行替换，得到；再选取中的第一项和第三项与代数式中的第二项和第三项进行替换，得到，对代数式A、B进行次“替换运算”，替换后的结果记作，当的项数小于两项时，则替换停止．下列说法： ①存在“替换运算”，使得； ②当时，的最小值为1； ③所有的共有8种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．对于一次式：，我们用任意两个一次式求差后所得的结果，再与剩余两个一次式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ① 为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型三：一次式加减的实际应用 8．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费．（用含有的整式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）． 9．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 10．水果批发市场梨的价格如下表： 购买梨（千克） 单价 不超过10千克的部分 6元/千克 超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克 超出20千克的部分 4元千克 (1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）； (2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克； (3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克，请问小强两次购买梨共需要付费多少元？（用含a的式子表示）． 11．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 题型四：一次式加减的几何应用 12．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 13．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 题型五：新定义题 14．我们定义一种新运算，，如． (1)计算：_________． (2)计算：_________． (3)在这11个数中，任取三个数作为的值进行运算，求在所有计算结果中的最大值． 15．定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 16．阅读材料：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据上述定义，回答下列问题： (1)填空： 下列两位数，，中，是“迥异数”的为______； 计算 ______． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”的值． 题型六：数轴问题 17．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．如：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1 (1)线段的长度是______，设点P在数轴上对应的数为x，若，则______； (2)①找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是________； 的最大值为________； ②由以上探索猜想：当________时，的值最小，最小值为________； (3)如上图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 18．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： （1）如果点表示数，将点向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； （2）如果点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； 归纳一般： （3）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____． 深入研究： （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____． ②当时，其中平局次，甲胜次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____（用含、、的式子表示）． 题型七：日历、条形码问题 19．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住表中的16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D． (1)在图1中，2024排在第 行，第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)若将图1中的偶数都改为原数的相反数，奇数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m为正奇数，n为正整数）为w，请用含m、n的式子表示w； ②此时的值能否为2020？如果能，请求出A所表示的数；如果不能，请说明理由． 20．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”． 其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为______，校验码的值为______． （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程． （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果． 题型八：阶方；宫格问题 21．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 22．三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 23．问题的提出：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为． （1）用示例的方法，计算，要求在图（2）中对应位置标数． 问题的拓展： （2）如图（3）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，请直接写出与？的值； （3）在图（4）中按图（1）示例完成（2）的计算． 延伸与运用： （4）图（5）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，运算结果可以用含a的式子表示为____________．（直接写出结果） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$