专题1.6集合与常用逻辑用语易错必刷题型专训（60题15个考点）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题1.6集合与常用逻辑用语易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 判断元素能否构成集合】 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选题）（23-24高一上·安徽亳州·开学考试）以下元素的全体能够构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程的实数解 D．周长为10cm的三角形 3．（23-24高一·上海·课后作业）下列所给对象不能构成集合的是 . （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某一班级16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生； （5）1，2，3，1. 4．（23-24高一下·全国·课堂例题）思考下列问题： (1)你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合吗? (2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么? (3)不等式的所有解能组成一个集合吗? 【易错必刷二 判断是否为同一集合】 5．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）下面各选项中的两个集合表示同一个集合的是（    ） A．P={2，5}，Q={5，2} B．P={(2，5)}，Q={(5，2)} C．P={x|x=2m+1，m∈Z}，Q={x|x=2m-1，m∈Z} D．P={x|x=6m，m∈Z}，Q={x|x=2m，且x=3n，m∈Z，n∈Z} 7．（23-24高一·全国·课后作业）给出下列四种说法 ①任意一个集合的表示方法都是唯一的； ②集合与集合是同一个集合 ③集合与集合表示的是同一个集合； ④集合是一个无限集. 其中正确说法的序号是 .（填上所有正确说法的序号） 8．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合与集合表示同一集合； （2）集合与集合表示同一集合； （3）集合与集合表示同一集合； （4）集合与集合表示同一集合； 【易错必刷三 判断元素与集合的关系】 9．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）若面积为的正方形的边长为，则 ．（填“”或“”） 12．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 【易错必刷四 集合的表示方式】 13．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业中的元素有（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，求关于、的二元一次方程组的解集． 【易错必刷五 集合中的元素个数问题】 17．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（22-23高二下·湖北·期末）已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 19．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 20．（23-24高一·全国·课后作业）设P，Q为两个集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是多少? 【易错必刷六 集合的分类】 21．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 22．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）有下列四个命题： ①是空集； ②若，则； ③集合有两个元素； ④集合是有限集. 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（23-24高一上·全国·课后作业）有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2022的正约数的全体组成的集合；③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；⑤末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 . 24．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【易错必刷七 常用数集或数集关系应用】 25．（23-24高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．0∉N B．∈Q C．π∉R D．∈Z 26．（23-24高一·全国·课后作业）下面有五个命题： ①集合 (自然数集)中最小的数是1；②是不大于3的自然数组成的集合；③，则；④，则；⑤集合中没有元素.其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 27．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）集合可以用列举法表示为 . 28．（23-24高一·全国·课后作业）定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明． 【易错必刷八 判断集合的子集（真子集）的个数】 29．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 30．（多选题）（22-23高一上·海南儋州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．的子集有个 B．的真子集有个 C．符合条件的有个 D．集合的非空真子集有个 31．（24-25高二下·上海·阶段练习）设集合，则A的非空子集的个数为 . 32．（23-24高一·全国·课后作业）若集合有且仅有两个子集，求实数k的值． 【易错必刷九 求集合的子集（真子集）】 33．（23-24高三上·江西宜春·期末）集合的真子集的个数是（    ） A．15 B．8 C．7 D．63 34．（多选题）（23-24高一上·湖北襄阳·期中）若集合满足{1}⊆⊆{1，2，3，4}，则集合可以是（    ） A．{1，2} B．{1，3} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 35．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合的所有非空真子集的元素之和为2030，则 ． 36．（22-23高一上·山东聊城·阶段练习）设集合，列出集合A 的子集. 【易错必刷十 判断两个集合的包含关系】 37．（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 38．（24-25高二上·云南保山·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 40．（23-24高一·湖南·课后作业）下列各组的3个集合中，哪2个集合之间具有包含关系？ (1)S＝{－2, －1, 1, 2}, A＝{－1, 1}, B＝{－2, 2}； (2)S＝R, A＝{x|x≤0}, B＝{x|x>0}； (3)S＝{x|x为整数}，A＝{x|x为奇数}，B＝{x|x为偶数} 【易错必刷十一 判断两个集合是否相等】 41．（23-24高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 42．（多选题）（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 43．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则集合与的关系为 ． 44．（23-24高一·上海·课后作业）已知集合求证 【易错必刷十二 空集的概念以及判断】 45．（23-24高一上·河北·阶段练习）下列各结论中，正确的是（    ） A．是空集 B．是空集 C．与是不同的集合 D．方程的解集是 46．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）有四个集合：①；②；③；④；其中表示空集的序号是 ； 48．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若A为空集，求实数a的取值范围； 【易错必刷十三 命题的概念】 49．（23-24高二上·安徽宿州·期末）下列语句中：①；②；③；④；是命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．（多选题）（23-24高二下·湖南怀化·期中）下列语句不是命题的有（    ）. A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？ C． D． 51．（23-24高三上·上海闵行·阶段练习）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①的元素不都是的元素；        ②的元素都不是的元素； ③中有的元素；                ④ 存在，使得； 其中真命题的序号是 （将正确的序号都填上）. 52．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【易错必刷十四 全称命题的否定及其真假判断】 53．（24-25高二下·广东深圳·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 54．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）命题“任意实数，都有”的否定是（    ） A． B． C． D． 55．（24-25高一下·黑龙江绥化·开学考试）命题“对任意一个实数，都有”的否定是 56．（2023高一·江苏·专题练习）写出下列全称量词命题的否定： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； (2)所有自然数的平方都是正数； (3)任何实数都是方程的根； (4)对任意实数，． 【易错必刷十五 特称命题的否定及其真假判断】 57．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 58．（24-25高一下·四川泸州·期末）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 59．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）命题“”的否定是 . 60．（24-25高一上·江苏 阶段练习）写出下列命题的否定： （1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形； （3），． 它们与原命题在形式上有什么变化？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6集合与常用逻辑用语易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 判断元素能否构成集合】 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性、无序性和定义逐一判断即可. 【详解】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正确； ②因为好听的歌标准不确定， 所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确； ③因为高一（1）班所有姓氏是确定的， 所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的； ④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确， 因此正确的个数为1， 故选：B 2．（多选题）（23-24高一上·安徽亳州·开学考试）以下元素的全体能够构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程的实数解 D．周长为10cm的三角形 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】首先互异性是保证的，其次考虑确定性： 中国古代四大发明是确定的，能构成集合， 地球上的小河流的标准不确定，即一条河流没有标准判断它是不是小河流，不能构成集合， 方程的实数解只有两个1和，能构成集合， 周长为10cm的三角形是确定，三角形的周长要么等于10cm，要么不等于10cm，是确定的，能构成集合． 故答案为：ACD． 3．（23-24高一·上海·课后作业）下列所给对象不能构成集合的是 . （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某一班级16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生； （5）1，2，3，1. 【答案】（1）（3）（5） 【分析】 直接由集合中元素的确定性和互异性逐一核对五个命题得答案． 【详解】 解：（1）高一数学课本中的所有难题是不确定的，构不成集合，选项（1）不正确； （2）某一班级16岁以下的学生是确定的，故能构成集合； （3）某中学的大个子是不确定的，选项（3）不正确； （4）某学校身高超过1.80米的学生是确定的，选项（4）正确； （5）1，2，3，1.不满足集合元素的互异性，故（5）错误； 故答案为：（1）（3）（5）． 【点睛】本题考查集合元素的性质，属于基础题. 4．（23-24高一下·全国·课堂例题）思考下列问题： (1)你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合吗? (2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么? (3)不等式的所有解能组成一个集合吗? 【答案】(1)能 (2)不能，原因见解析 (3)能 【分析】运用集合的元素的互异性，无序性，确定性解题. 【详解】（1）运用集合的元素的互异性，无序性，确定性知道你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合. （2）运用集合的元素的互异性，无序性，确定性知道你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合,因为高个子比较模糊，元素不确定. （3）不等式的所有解能组成一个集合，就是不等式的解集. 【易错必刷二 判断是否为同一集合】 5．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用集合的定义和元素的三个性质，对A、B、C、D四个选项进行一一判断； 【详解】A.、都是点集，与是不同的点，则、是不同的集合，故错误； B.，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故正确； C.，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误； D.集合M的元素是两个数字2，3，，集合的元素是一个点，故错误； 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的定义及元素的性质，属于基础题. 6．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）下面各选项中的两个集合表示同一个集合的是（    ） A．P={2，5}，Q={5，2} B．P={(2，5)}，Q={(5，2)} C．P={x|x=2m+1，m∈Z}，Q={x|x=2m-1，m∈Z} D．P={x|x=6m，m∈Z}，Q={x|x=2m，且x=3n，m∈Z，n∈Z} 【答案】ACD 【分析】根据两个集合相等即两个集合含有相同的元素即可判断； 【详解】解：A中两个集合都是由元素2和5组成的，是同一集合; B中集合P中元素是点(2，5)，集合Q中元素是点(5，2)，不相同，不是同一集合; C中两个集合都是由所有奇数组成的，是同一集合; D中两个集合都是由所有6的整数倍数组成的，是同一集合. 故选：ACD 【点睛】本题考查集合相等的判断，属于基础题. 7．（23-24高一·全国·课后作业）给出下列四种说法 ①任意一个集合的表示方法都是唯一的； ②集合与集合是同一个集合 ③集合与集合表示的是同一个集合； ④集合是一个无限集. 其中正确说法的序号是 .（填上所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【分析】根据集合的表示方法判断①；根据集合相等的定义判断②③，从而得解； 【详解】解：①集合的表示方法不唯一，可以用列举法，描述法和图形法，故①错误； ②集合与集合含有的元素相同，故是同一个集合，故正确； ③集合表示的是所有的奇数组成的集合，集合也表示的是所有的奇数组成的集合，故集合与集合表示的是同一个集合；故③正确； ④满足的实数有无数多个，故集合是一个无限集.即④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查集合相等的判断，集合的表示的理解，属于基础题. 8．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合与集合表示同一集合； （2）集合与集合表示同一集合； （3）集合与集合表示同一集合； （4）集合与集合表示同一集合； 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）错误 【分析】（1）根据元素的无序性可知两集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 【详解】（1）集合元素具有无序性，与元素完全相同，故为同一集合，正确 （2）两集合为点集，与表示的点不同     两集合表示的不是同一集合，命题错误 （3）与均表示大于的所有实数的集合     即两集合表示的是同一集合，命题正确 （4）为数集；为点集 两集合表示的不是同一集合，命题错误 【点睛】本题考查同一集合的判定，关键是明确只有元素完全相同时，两集合为同一集合；易错点是忽略点集和数集的区别. 【易错必刷三 判断元素与集合的关系】 9．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过列举法表示集合，然后利用元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】， 所以，， 故A，C，D错误，B正确. 故选：B． 10．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合为一个点集，根据元素与集合的关系得到答案. 【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即. 故选:C. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）若面积为的正方形的边长为，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系判断即可. 【详解】因为正方形面积为， 所以，， 所以， 所以是无理数， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 【答案】(1) (2)不是，证明见解析 【分析】（1）根据题意代入即可得结果； （2）假设成立，分或，代入检验即可得出矛盾，进而分析说明. 【详解】（1）若，则，所以集合． （2）4不是集合A中的元素，理由如下： 若，则有或； 当时，，不满足题意； 当时，解得，不满足题意； 综上所述，4不是集合中的元素． 【易错必刷四 集合的表示方式】 13．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 14．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业中的元素有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】用列举法表示出集合，即可判断； 【详解】解：因为 所以或或 所以 故选：ABC 【点睛】本题考查列举法表示集合，属于基础题. 15．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，求关于、的二元一次方程组的解集． 【答案】答案见解析 【分析】用代入消元法求解，注意分类讨论． 【详解】解：由方程组得． ①当时，恒成立，解集为， ②当时，由得，从而，解集为． 【易错必刷五 集合中的元素个数问题】 17．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【详解】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 18．（22-23高二下·湖北·期末）已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可得答案. 【详解】因为，，所以或或或， 故，即集合中含有个元素； 故选：C. 19．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【答案】4 【分析】由集合的描述法可得结果. 【详解】由题意得，所以的元素个数为4. 故答案为：4. 20．（23-24高一·全国·课后作业）设P，Q为两个集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是多少? 【答案】8个. 【分析】按当a=0，a=2和a=5时讨论，b依次取1，2，6，得出a+b的值，利用集合元素的互异性，得出P+Q中元素的个数． 【详解】当a=0时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为1，2，6; 当a=2时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为3，4，8; 当a=5时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为6，7，11. 由集合元素的互异性知P+Q中元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个. 【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 【易错必刷六 集合的分类】 21．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得. 【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 22．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）有下列四个命题： ①是空集； ②若，则； ③集合有两个元素； ④集合是有限集. 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系判断． 【详解】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确； ②中当时不成立，不正确； ③中有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ④中集合是有限集，正确， 故选：B 23．（23-24高一上·全国·课后作业）有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2022的正约数的全体组成的集合；③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；⑤末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 . 【答案】 ②③； ①④⑤. 【分析】根据题意分析即可得答案. 【详解】①由于负整数集是无限集，所欲5的负整数倍的全体组成的集合是无限集， ②由于，所以2022的正约数的全体组成的集合是有限集， ③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合，显然是有限集， ④由于圆的直径有无数条，所以给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合是无限集， ⑤末位是7的全体自然数组成的集合，显然是无有限集. 故答案为：②③；①④⑤. 24．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 【易错必刷七 常用数集或数集关系应用】 25．（23-24高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．0∉N B．∈Q C．π∉R D．∈Z 【答案】D 【分析】根据字母代表的集合即可判断元素与集合的关系. 【详解】因为是自然数，故A错误；因为是无理数，故B错误；因为是实数，故C错误；因为是整数，故D正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了常用数集的符号表示，元素与集合的关系，属于容易题. 26．（23-24高一·全国·课后作业）下面有五个命题： ①集合 (自然数集)中最小的数是1；②是不大于3的自然数组成的集合；③，则；④，则；⑤集合中没有元素.其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据的性质可判断①②③④的正误，根据集合的定义可判断⑤的正误. 【详解】因为中的最小数为0，故①错误； 不大于3的自然数有0,1,2,3，故②错误； 若，则，此时，故③错误； 而，则成立，故④正确； 集合中有元素0，故⑤错误. 故选：B. 27．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）集合可以用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据题意，逐项验证，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，显然不成立， 当时，可得，不符合题意， 所以集合可以表示为集合. 故答案为：. 28．（23-24高一·全国·课后作业）定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明． 【答案】数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．举反例见解析 【详解】试题分析：根据给出的“闭集”的定义，验证给出的集合是否满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”即可得到结论． 试题解析： （1）数集N，Z不是“闭集”， 例如，3∈N,2∈N，而＝1.5∉N； 3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集． （2）数集Q，R是“闭集”． 由于两个有理数a与b的和，差，积，商， 即a±b，ab， (b≠0)仍是有理数， 故Q是闭集． 同理R也是闭集． 点睛：与集合有关的新概念问题的解题思路 (1)理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则的含义； (2)利用学过的数学知识进行逻辑推理； (3)对选项进行筛选、验证，得出结论． 【易错必刷八 判断集合的子集（真子集）的个数】 29．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【详解】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 30．（多选题）（22-23高一上·海南儋州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．的子集有个 B．的真子集有个 C．符合条件的有个 D．集合的非空真子集有个 【答案】AC 【分析】利用若集合中有个元素，则集合中有个子集，有个真子集，有个非空真子集，即可判断出选项A，B和D的正误；选项C，根据条件，直接列出集合，即可求解. 【详解】因为若集合中有个元素，则集合中有个子集，有个真子集，有个非空真子集， 对于选项A，，中有个元素，所以的子集有个，故选项A正确， 对于选项B，，中有个元素，所以的真子集有个，故选项B错误， 对于选项C，因为，所以符合条件的有，，，，，，，，共8个，故选项C正确， 对于选项D，集合中有个元素，所以集合的非空真子集有个，故选项D错误， 故选：AC. 31．（24-25高二下·上海·阶段练习）设集合，则A的非空子集的个数为 . 【答案】15 【分析】根据非空子集个数公式计算. 【详解】集合，则A的子集的个数为， 所以A的非空子集的个数为. 故答案为：15. 32．（23-24高一·全国·课后作业）若集合有且仅有两个子集，求实数k的值． 【答案】或 【分析】依据题意可知A中只有一个元素，然后分，讨论计算即可. 【详解】由条件，知A中只有一个元素． 当时，． 当时，，解得，此时． 综上所述，实数k的值为或． 【易错必刷九 求集合的子集（真子集）】 33．（23-24高三上·江西宜春·期末）集合的真子集的个数是（    ） A．15 B．8 C．7 D．63 【答案】C 【分析】根据条件求解的范围，结合，得到集合为，写出其真子集即得解. 【详解】由于， ，又， ， ，即集合， 该集合的所有真子集为， 该集合的真子集个数为， 故选：C. 34．（多选题）（23-24高一上·湖北襄阳·期中）若集合满足{1}⊆⊆{1，2，3，4}，则集合可以是（    ） A．{1，2} B．{1，3} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 【答案】ABCD 【解析】根据所给包含关系直接可得答案. 【详解】因为集合满足{1}⊆⊆{1，2，3，4}， 所以集合可以为{1}，{1，2}，{1，3},{1，4}，{1，2，3}，{1，2， 4}，{1， 3，4}，{1，2，3，4}， 故选：ABCD 35．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合的所有非空真子集的元素之和为2030，则 ． 【答案】290 【分析】写出集合的所有非空真子集，得到，化简得到的值. 【详解】集合的所有非空真子集有： ，，，，，，，，，， ，，，， 所以有， 解得：. 故答案为：290. 36．（22-23高一上·山东聊城·阶段练习）设集合，列出集合A 的子集. 【答案】A的子集为 【分析】先由条件确定集合的元素，再根据子集的定义写出其所有子集. 【详解】由化简可得， 所以A的子集为 【易错必刷十 判断两个集合的包含关系】 37．（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【答案】C 【分析】由集合，即可判断集合间的关系. 【详解】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C 38．（24-25高二上·云南保山·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合中表达式化为，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定的包含关系． 【详解】根据已知得，，所以， 故选:． 39．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【答案】①③ 【分析】需要理解子集，真子集，集合相等的概念，例如要理解如果，不一定能得出，也存在． 【详解】解：①若，则，正确； ②若，不一定，也存在，故错误； ③若，则，正确； ④若，不一定，也存在，故错误； 故答案为：①③． 40．（23-24高一·湖南·课后作业）下列各组的3个集合中，哪2个集合之间具有包含关系？ (1)S＝{－2, －1, 1, 2}, A＝{－1, 1}, B＝{－2, 2}； (2)S＝R, A＝{x|x≤0}, B＝{x|x>0}； (3)S＝{x|x为整数}，A＝{x|x为奇数}，B＝{x|x为偶数} 【答案】(1)AS, BS (2)AS, BS (3)AS, BS 【分析】利用集合包含关系的定义，依次分析即得解 【详解】（1）由于集合中的每个元素都包含在集合中，故AS, BS （2）由于集合中的每个元素都是实数，故AS, BS （3）由奇数、偶数都属于整数，故AS, BS 【易错必刷十一 判断两个集合是否相等】 41．（23-24高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】C 【分析】根据集合均为偶数集，即可判断. 【详解】集合， 则集合均为偶数集，故集合. 故选：C. 42．（多选题）（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果. 【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意； 对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意； 对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意； 对D：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意. 故选：ABD 43．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则集合与的关系为 ． 【答案】 【分析】集合B变形得到从而 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查集合相等关系，属于基础题. 44．（23-24高一·上海·课后作业）已知集合求证 【答案】证明见解析 【分析】先证明，再证明，从而得证. 【详解】解：对任意，当时，；当时，，所以.又对任意或，所以.故. 【点睛】本题考查集合相等，关键是利用子集关系，属于基础题. 【易错必刷十二 空集的概念以及判断】 45．（23-24高一上·河北·阶段练习）下列各结论中，正确的是（    ） A．是空集 B．是空集 C．与是不同的集合 D．方程的解集是 【答案】B 【分析】按照集合的定义逐个判断即可. 【详解】是以0为元素的非空集合，故A错误； 的，无实数根，故B正确； 相同集合的元素顺序可以不同，故C错误； 同一集合不能有相同元素，故D错误. 故选：B. 46．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 47．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）有四个集合：①；②；③；④；其中表示空集的序号是 ； 【答案】④ 【分析】不含任何元素的集合称为空集，分别判断上述集合中的元素即可. 【详解】解：对于①，表示方程的解集，方程的解为，故集合含有元素，故①错误； 对于②，表示函数上的点的集合，集合中含有无数个元素，故②错误； 对于③，表示不等式的解集，不等式的解为，故集合含有元素，故③错误； 对于④，表示方程的实数根的集合，方程，，所以方程无实数根，即 故答案为：④ 【点睛】本题考查空集的概念，属于基础题. 48．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若A为空集，求实数a的取值范围； 【答案】； 【分析】根据给定条件，利用空集的意义列式作答； 【详解】因是空集，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 【易错必刷十三 命题的概念】 49．（23-24高二上·安徽宿州·期末）下列语句中：①；②；③；④；是命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据命题的定义，即可容易判断. 【详解】因为能够判断真假的陈述句是命题， ①无法判断真假；②③④都能判断真假. 故是命题的个数为. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的定义，属基础题. 50．（多选题）（23-24高二下·湖南怀化·期中）下列语句不是命题的有（    ）. A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？ C． D． 【答案】ABD 【分析】利用命题的概念逐项分析即得. 【详解】命题为可以判断真假的陈述句， 对于A，不能判断真假，故不是命题； 对于B，语句为疑问句，故不是命题； 对于C，是错误的，能判断真假，故是命题； 对于D，不能判断真假，故不是命题. 故选：ABD. 51．（23-24高三上·上海闵行·阶段练习）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①的元素不都是的元素；        ②的元素都不是的元素； ③中有的元素；                ④ 存在，使得； 其中真命题的序号是 （将正确的序号都填上）. 【答案】①④ 【分析】从命题的否定入手． 【详解】命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则命题：“非空集合的元素不都是集合的元素”是真命题，说明集合中至少有一个元素不属于集合，或者中就没有集合中的元素，因此②③错误，①④正确． 故答案为①④． 【点睛】本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便． 52．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【分析】根据命题的概念、命题的真假判断即可. 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 【易错必刷十四 全称命题的否定及其真假判断】 53．（24-25高二下·广东深圳·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题“，”的否定是，. 故选：C. 54．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）命题“任意实数，都有”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案. 【详解】命题“任意实数，都有”的否定是: . 故选：B. 55．（24-25高一下·黑龙江绥化·开学考试）命题“对任意一个实数，都有”的否定是 【答案】存在实数，有或. 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可得出答案. 【详解】命题“对任意一个实数，都有”的否定是： 存在实数，有或. 故答案为：存在实数，有或. 56．（2023高一·江苏·专题练习）写出下列全称量词命题的否定： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； (2)所有自然数的平方都是正数； (3)任何实数都是方程的根； (4)对任意实数，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，然后只否定结论. （1）原命题的否定即为并非所有的四边形的四个顶点共圆； （2）原命题的否定即为并非所有自然数的平方都是正数； （3）原命题的否定即为并非任何实数都是方程的根； （4）原命题的否定即为并非对任意实数，. 【详解】（1）该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆． （2）该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数． （3）该命题的否定为：存在实数不是方程的根． （4）该命题的否定为：存在实数，使得． 【易错必刷十五 特称命题的否定及其真假判断】 57．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题的否定：. 故选：B 58．（24-25高一下·四川泸州·期末）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案. 【详解】依据题意，先改变量词，然后否定结论， 可得命题，的否定是： ，. 故选：B 59．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）命题“”的否定是 . 【答案】 【分析】直接根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得结果. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题可得： “”的否定是“”， 故答案为：“”. 60．（24-25高一上·江苏 阶段练习）写出下列命题的否定： （1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形； （3），． 它们与原命题在形式上有什么变化？ 【答案】答案见解析 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定. 【详解】这三个命题都是存在量词命题，即具有“，”的形式． 命题（1）的否定是“任何一个实数，它的绝对值都不是正数”； 命题（2）的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”； 命题（3）的否定是“，”， 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$