4.4.3 不同函数增长的差异 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.3　不同函数增长的差异 同步练习 考点一　不同函数增长的差异 1.在一次数学建模活动中,某同学采集到如下数据: x -2 -1 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映y与x的函数关系的是(　　) A.y=a+bx　　B.y=a+bx　　C.y=a+logbx　　D.y=a+ 2.(多选题)已知函数f(x)=2x,g(x)=lox,h(x)=x-1,则在区间(0,+∞)上(　　) A. f(x)的递增速度越来越快 B.g(x)的递减速度越来越慢 C.h(x)的递减速度越来越慢 D.g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度 3．以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xn>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax 4．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 5.甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=.给出以下结论:①当x>1时,乙总走在最前面;②当0<x<1时,丙走在最前面,当x>1时,丙走在最后面;③如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.其中所有正确结论的序号是　　　　.  考点二　函数模型的选择 6．有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 7.某品牌手机的销售商在今年1,2,3月份的销售量分别是1万部,1.2万部,1.3万部,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售量为依据,用一个函数模型拟合该品牌手机的销售量y(单位:万部)与月份x之间的关系.现从函数y=ax2+bx+c(a≠0)和y=abx+c(a≠0,b>0,且b≠1)中选用一个效果好的函数进行拟合,如果4月份的销售量为1.37万件,那么5月份的销售量为　　　　万件.  8.某养殖场随着技术的进步和规模的扩大,肉鸡产量在不断增加.现收集到2024年前10个月该养殖场上市的肉鸡数量(单位:万只)如下: 月份m 1 2 3 4 5 数量W 1.020 7 2.000 0 2.578 2 2.997 4 3.313 9 月份m 6 7 8 9 10 数量W 3.578 9 3.804 1 4.000 0 4.173 6 4.329 4 数量W和月份m之间可能存在以下四种函数关系:①W(m)=b·am;②W(m)=b·ma;③W(m)=b+logam;④W(m)=a+. (1)请你从这四个函数模型中去掉一个与表格中数据不吻合的函数模型,并说明理由; (2)请你从表格中选择2月份和8月份的数据,再从第(1)问剩下的三个模型中任选两个函数模型进行建模,求出其函数表达式,再分别求出这两个模型下4月份的肉鸡数量,并说明哪个函数模型更好.(≈2.519 8,≈1.414 2) 9．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 10．函数，，的图象如图所示， (1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象； (3)从（2）的图中你发现了什么？ 试卷第1页，共3页 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 答案 1.B　由题表中的数据,作出散点图,如图所示, 由图可知,最能反映x,y之间的函数关系的是y=a+bx. 2.ABC　在同一平面直角坐标系中,作出函数f(x),g(x),h(x)在区间(0,+∞)上的图象,如图所示. 根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知,在区间(0,+∞)上, f(x)的递增速度越来越快,故A正确;g(x)的递减速度越来越慢,故B正确;h(x)的递减速度越来越慢,故C正确;在(1,+∞)上,g(x)的递减速度快于h(x)的递减速度,故D错误. 3．D 解：对于A，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如和在时，所以A错误； 对于B，当时，由幂函数和对数函数的性质知，对任意的，不成立，所以B错误； 对于C，当时，由指数函数和对数函数的性质知，对任意的，不成立，所以C错误； 对于D，当时，由幂函数和指数函数、对数函数的性质知，不一定存在，当时，总有，所以D正确． 故选：D． 4．BD 对于， 从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上， 故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确； 对于， 由于的增长速度是不变的， 当时，大于， 当时，大于，再也追不上， 其中增长速度有时快于，C错误． 故选：BD． 5.答案　②③ 解析　对于函数f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=,易知f1(x), f2(x), f3(x)在[0,+∞)上都单调递增,结合图象(图略)可知,方程f1(x)=f2(x)有三个解:0,1,x1,且4<x1<5,又f1(x), f2(x), f3(x)的图象均过点(1,1),所以当x1>x>1时,f2(x)>f1(x)>f3(x);当x>x1时, f1(x)>f2(x)>f3(x);当0<x<1时, f3(x)>f1(x)>f2(x),故①错误,②③正确. 6．C 观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，AB不正确； 对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，C最佳. 故选：C 7.答案　1.375 解析　当选用函数y=ax2+bx+c时, 由题意得解得 ∴y=-0.05x2+0.35x+0.7.将x=4代入,得y=1.3. 当选用函数y=abx+c时,由题意得解得∴y=-0.8×0.5x+1.4.将x=4代入,得y=1.35. ∵1.35比1.3更接近1.37,∴选用函数y=abx+c拟合较好. 将x=5代入y=-0.8×0.5x+1.4中,得y=1.375,∴5月份的销售量为1.375万件. 8.解析　(1)去掉函数模型④,理由:根据题表中所给数据,可推断函数W(m)单调递增,而函数模型④是减函数,故函数模型④与表格数据不吻合. (2)选择函数模型①: 将点(2,2),(8,4)代入函数模型①得解得所以W(m)=·=, 所以W(4)==≈2.519 8, 所以W(4)-2.997 4=2.519 8-2.997 4=-0.477 6. 选择函数模型②: 将点(2,2),(8,4)代入函数模型②得解得所以W(m)=·, 所以W(4)=×=2, 所以W(4)-2.997 4=2-2.997 4≈2.828 4-2.997 4=-0.169. 选择函数模型③: 将点(2,2),(8,4)代入函数模型③得 解得所以W(m)=1+log2m, 所以W(4)=1+log24=3, 所以W(4)-2.997 4=3-2.997 4=0.002 6. (模型①②③中任选两个即可) 从与实际肉鸡数量作差的结果发现,函数模型①与实际差距最大,函数模型③与实际差距最小,所以如果选①③或②③时,函数模型③更好;如果选①②时,函数模型②更好. 9．(1)对应的函数为，对应的函数为 (2) 解：（1）对应的函数为，对应的函数为． （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图象上可以看出，当时，， 所以． 当时，， 即． 又因为， 所以． 10． 解：（1）当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴，所以①对应函数，②对应函数，③对应函数. （2） （3）从（2）的图中发现的图象分别与的图象关于轴对称. ( 5 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$