4.4.3 不同函数的增长差异-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第四章指数函数与对数函数 5.根据函数f(x)=log2x的图象与性质解决 (2)求y=l1og2(2x-1)在x∈[1,14]上的 以下问题 最值. (1)若f(a)>f(2),求a的取值范围； C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 4.4.3不同函数的增长差异 课程标准 素养解读 1.对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初 通过函数模型的应用提升数学建模 步体会它们的增长差异性 和逻辑推理素养 2.了解函数模型的广泛应用 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 函数=2x与y=2x有几个交点，x在什么 [知识点] 三种常见函数模型的增长差异 范围下，2>2x会恒成立？ y=kx(k>0》 y=ar(a>1) y=logar(a>1） y=2x 在(0，十∞) 上的增减性 y=2 随x增大逐渐 随x增大逐渐 图象的变 一条直线 近似与 近似与 012 化趋势 平行 平行 (1)y=a(a>1)随着x的增大，y增长速度 ,即使k的值远远大于a的值，y= a2(a>1)的增长速度最终都会大大超过 的增长速度 增长速度 (2)y=logar(a>1)随着x的增大，y增长速 度 ,不论a的值比k的值大多少，在 一定范围内，logx可能会大于kx,但由于 logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在 个x0,当x>x0时，恒有 ·133· 数学·必修第一册 思考1.我们常说指数增长、指数爆炸，对 [预习自测门 于指数型函数模型，还有没有别的变化 1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快 方式？ 的是 ( 2.我们知道当底数大于1时，对数函数的增 A.y=e B.y=In x 长速度越来越慢，那么当底数小于1时，对 C.y=2x D.y=e* 数函数的变化有何特点？ 2.（多选)以下四种说法中，正确的是（) 3.存在一个xo,当x>x。时，为什么a>x A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速 度快 >logx(a>1,n>0)一定成立？ B.已知a>1,则对任意的x>0,a>logx C.对任意的x>0,x“>logx D.不一定存在x。,当x>x。时，总有a >x“>logx 3.已知函数f(x)=3,g(x)=2x,当x∈R 时，f(x)与g(x)的大小关系为 课堂。互动学案 题型一几类函数模型增长差异的比较 规律方法 常见的函数模型及增长特点 [例1]已知三个变量y1,y2,y随变量x变化 (1)线性函数模型 的数据如下表： 线性函数模型y=kx十b(k>0)的增长 2 4 6 6 特点是直线上升，其增长速度不变· y 2 16 64 256 e. (2)指数函数模型 y2 1 4 16 36 64 指数函数模型y=a'(a>1)的增长特 1 2 2.585 点是随着自变量的增大，函数值增大的 则反映y1,y2y随x变化情况拟合较好的 速度越来越快，即增长速度急剧，形象 ·组函数模型是 地称为“指数爆炸” ( (3)对数函数模型 A.y=x2,y2=2*,y3=log2x 对数函数模型y=logx(a>1)的增长 B.y=2,y2=x2,y3=log2x 特点是随着自变量的增大，函数值增大 C.y=log2x,y2=x2,y3=2* 的速度越来越慢，即增长速度平缓」 D.y1=2",y2=log2x,ys=x2 (4)幂函数模型 [思路点拨]根据自变量与函数值的关系 幂函数y=x”(n>0)的增长速度介于 指数增长和对数增长之间， 选择不同的函数模型， 134 第四章指数函数与对数函数 ◇[变式训练] ⊙[变式训练] 1.下列函数中随x的增大而增长速度最快 2.当2<x<4时，2，x2,log2x的大小关系是 的是 ) () y产 A.2>2>l0g2x B.y=100 In x B.x2>2>log2x C.y=100x D.y=100·2 C.2>logx>x2 题型 几类函数模型的比较的应用 D.x2>log2x>2 [例2]函数f(x)=2和 CaV/C 题型 函数模型的选择问题 B g(x)=x3的图象如图所 [例3]某化工厂开发研制了一种新产品，在 示.设两函数的图象交于 前三个月的月生产量依次为100t,120t, 点A(x1,y1),B(x2,y2), 130t.为了预测今后各个月的生产量，需要 0 且x1<x2: 以这三个月的月产量为依据，用一个函数来 (1)请指示出示意图中曲线C1,C2分别对应 模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此 哪一个函数； 模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+ b.x十c(a,b,c均为待定系数，x∈N*)或函数 (2)结合函数图象示意图，判断f(6),g(6), f(2026),g(2026)的大小. y=g(x)=pq「十r(p,q,r均为待定系数，x ∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个 汇思路点拨]根据图象的增减趋势选择函 月的月产量为137t,则选用这两个函数中 数模型， 的哪一个作为模拟函数较好？ [思路点拔]分别验证函数的模拟效果， 规律方法 不同函数的变化规律 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速 度不变的变化规律. (2)指数函数增长模型适合于描述增长速 度急剧的变化规律. (3)对数函数增长模型适合于描述增长速 度平缓的变化规律。 135· 数学·必修第一册 规律方法 和为100元.作为购买者，分析这三种债券 建立函数模型应遵循的三个原则 的收益，如果只能购买一种债券，你认为应 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要 购买哪种？ 简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立 较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义， 既能作理论分析，又能计算、推理，且能 得出正确结论. (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有 “相似性”，所得模型的解应具有说明问 题的功能，能回到具体问题中解决 问题， ◇[变式训练] 3.某债券市场发行三种债券，A种面值为100 元，一年到期本息和为103元；B种面值为 50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值 为100元，但买人价为97元，一年到期本息 ● 随堂。步步夯实 -0 1.下列函数中，增长速度越来越慢的是( 5.已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,设两个函 A.y=6 B.y=log6x 数的图象相交于点A(x1,y1)和B(x2y2),且 C.y=x5 D.y=6x x<x2,若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a, 2.若x>0,且1<b<a,则 b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出 A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 a,b的值，并说明理由. C.1<b<a D.1<a<6 3.函数y=x2与函数y=lnx在区间(1，十o∞) 上增长较快的一个是 4.生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位 时间内进水量相同)时，水的高度随着时间 的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹 配的图象，A对应 ;B对应 C对应 ;D对应 水 C温馨提 时间 时间 时间 时间 学习至此，请完成配套训练 (2) (3) ·1362.解：设t=x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,由于t=(x 一1)°-4在(3，十0)上单调递增，在（一0，一1）上单调 递减，又y=log1t在定义域内单调递减，因而函数f(x) =log(x-2x一3)的单调递增区间为（一∞，一1），单 调递减区间为(3，十o). 3.解：(1)由题意知，f(x)=log2x与g(x)互为反函数， 所以g(x)=2. (2)(i)由(1)知g(x)=2,则G(x)=g(x)一2g(x)十2 =(2一1)2十1≥1，当且仅当x=0时取等号， 所以G(x)的值域为[1，十∞). (i)因为x1∈[1，十o),3x∈R,使得F(x1) G(x,)恒成立， 所以F(x)mn≥G(x)min. 由(i)知G(x)≥1，则log(x一ax十1)≥1在[1，十o) 上恒成立，则x2一ax一1≥0在[1，十∞)上恒成立， 则a≤x- 因为h(x)=工-】在[1，十co)上单调递增，所以h(x)m =h(1)=0,所以a≤0，所以a的取值范围为(-c0,0]. 随堂步步夯实 1.C2.D 3.31 4（2+∞） 5.解：函数y=log2x的图象如图. y=f(x) 1-- 02 (1)y=log2x是增函数，若f(a)>f(2), 即log2a>log22, 则a2. ,.a的取值范围为(2，十o). (2).1x14,.12x一127， .0≤log2(2x-1)≤1og27. .函数y=log(2x-1)在x∈[1,14]上的最小值为0，最 大值为1og27. 4.4.3不同函数的增长差异 课前预习学案 情境引入 提示：(1)y=a(a>1)与y=k.x(k>0)在区间[0，+∞) 都单调递增。 (2)它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随 着x的增大，y=α的增长速度越来越快，会超过并远远 大于y=x的增长速度 因此，总会存在一个xo,当x>xo时，恒有a>kx. 知识梳理 知识点增函数增函数增函数y轴x轴越来 越快y=kx(k>0)越来越慢logx<kx ·40 参考答案 [思考] 1.提示：有，还有指数衰减. 2.提示：当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢. 3.提示：当a>1,n>0时，由y=a,y=x”,y=logx的增 长速度，存在x。,当x>x。时，三个函数的图象由上到下 依次为指数，暴，对数，故一定有a>x”>l0g。工. 预习自测 1.A2.BD3.f(x)>g(x) 课堂互动学案 [例1][解析]从题中表格可以看出，三个变量y1y: y都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y的增 长速度最快，呈指数型函数变化，变量y?的增长速度最 慢，呈对数型函数变化 [答案]B [例2][解](1)C1对应的函数为g(x)=x,C2对应的 函数为f(x)=2. (2)因为f(1)g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f10)>g(10), 所以1<x1<2,9x210,所以x1<6<x2,2026x2, 从图象上可以看出当x1<x<x2时，f(x)<g(x), 所以f(6)<g(6)； 当x>x2时，f(x)>g(x),所以f(2026)>g(2026)； 又因为g(2026)>g(6), 所以f(2026)g(2026)g(6)>f(6). [例3][解]根据题意可列方程组 /f(1)=a+b+c=100, a=-5, )f(2)=4a+2b+c=120,解得b=35, （f(3)=9a+3b+c=130. （c=70. 所以y=f(x)=-5.x+35x+70. ① 同理y=g(x)=-80×0.5+140. 再将x=4分别代入①式与②式得 f(4)=-5×4+35×4+70=130(t), g(4)=-80×0.5+140=135(t). 与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月 产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y =g(x)=pg十r作为模拟函数较好. 变式训练 1.A[指数函数y=a,在a>1时呈爆炸式增长，并且随 a值的增大，增长速度越快.] 2.B[在同一坐标系中画出函数y =log2x,y=x2,y=2的图象， 在区间(2,4)内从上往下依次是 y=2 y=xy=2,y=log2x的图象， ∴x2>2>log2x.] y=logx 3.解：A种债券的收益是每100元 一年到期收益3元：B种债券的 01234x 半年利率为1.450，所以 50 100元-年到物的本息和为100(+5,50) 105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为 10072”,10元-年到期的本息布为10+1007）】 97 ≈103.09（元），收益为3.09元.通过以上分析，应购买B 种债券 05 数学·必修第一册 随堂步步夯实 1.B2.C3.y=x4.(4)(1)(3)(2) 5.解：依题意知，x1和x2是使两个函数的函数值相等的自 变量x的值. 当x<x1时，2>x3,即f(x)>g(x): 当x1<x<x2时，f(x)<g(x): 当x>x时，f(x)>g(x). 因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=2=4, g(2)=2=8,所以x1∈[1,2]，即a=1. 因为f(8)=28=256,g(8)=8=512,f(8)<g(8),f(9) =29=512. g(9)=93=729,f(9)<g(9), f(10)=21°=1024，g(10)=103=1000, f(10)>g(10),所以x2∈[9,10]，即b=9. 4.5函数的应用（二） 4.5.1函数的零点与方程的解 课前预习学案 情境引入 (1)(-1,0),(3,0)(1,0)无-1,31无 (2)提示：方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标相等. 知识梳理 知识点一、1.实数x 知识点二、l.连续不断f(a)·f(b)<0f(c)=0 [思考] 1.提示：不是，是使f(x)=0的实数x,是方程f(x)=0 的根. 2.提示：只能判断有无零，点，不能判断零点的个数， 3.提示：不一定，如f(x)=x2在区间(-1,1)上有零点0， 但是f(-1)f(1)=1×1=1>0. 预习自测 1.B2.C3.(2,3) 课堂互动学案 [例1][解](1)令f(x)=0,即x二1n2=0, x-3 即x-1=0或lnx=0,所以x=1, 故函数f(x)的零点为1. (2)f(x)=-x2-x+20=-(x2+x-20) =-(x十5)(x一4)，方程一x2一x十20=0的两根 为-5,4 故函数的零点是一5,4. (3)由于f(x)=x一1=(x十1)(x十1)(x-1), 所以方程x一1=0的实数根是一1,1.故函数的零点是 -1,1. [例2][解析].f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0, .在(1,2)内f(x)无零点，A错： 又3)=n3-号>0f2)·f3)<0. f(x)在(2,3)内有一个零点. [答案]B ·4( [例3][解]方法一：f(0)=1+0-2=-1<0, f(2)=4+1g3-2>0, f(x)在(0,2)上必定存在零点， 又显然f(x)=2+lg(x+十1)-2在(0，十∞)上为增函数 (图略)，故f(x)有且只有一个零点. 方法二：在同一坐标系下作 yA 出h(x)=2-2和g(x)= h(x)=2-2 lg(x+1)的草图. g(x)=lg(x+1) 由图象知g(x)=lg(x+1) 的图象和h(x)=2一2的图 象有且只有一个交点， 即f(x)=2+十lg(x十1)一2有且只有一个零点. 变式训练 1.解：令f(x)=0,即x3-7x十6=0， x8-x-(6.x-6)=0, ∴.x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0, ∴.(x-1)(x-2)(x+3)=0, 解得x1=1,x2=2,x3=-3, .函数f(x)=x3-7x十6的零点是1,2，-3. 2.C[由题意可得 f(-2)·f(-1)=(8+6a+2)(2+3a+2)<0, 1f(-1)·f(0)=(2+3a+2)×2<0, 解得-号<a<-] 3.(1)ACD[因为一1和1是f(x)的零点，所以 1十a十b十c=0,解得b=-1,c=一a, -1+a-b+c=0, 所以f(x)=x3+a.x2-x-a=x(x2-1)十a(x2-1)= (x十a)(x-1),因为x。为函数f(x)的零点，且x。≠士1， 所以x=一a,故A正确；当a=0时，g(x)=一x有一个 零点，故C正确；当a≠0时，对于g(x)=a.x2一x一a,△ =1十4a>0,所以y=g(x)有两个零点，故D正确；综 上，y=g(x)可能有一个零点或两个零点，故B错误.] (2)A[因为函数g(x)一f(x)一3x|有三个零，点，所以 y=f(x)的图象与y=3|x的图象有三个交点. 因为1>0，所以当x0时，由x一2x=一3x,得x=一1 或x=0,所以当x≤0时，y=f(x)的图象与y=3|x|的 图象有2个交点. 则当x>0时，y=f(x)的图象与y=3x|的图象有1个 交点， 令3x=8-x,得x=2,所以0<a<2符合题意； 令3x=x2-2x,得x=5或x=0(舍去)，所以a≥5符合 题意， 综上，实数a的取值范围是(0,2)U[5,十∞).] 随堂步步夯实 1.C2.CD3.√2，-24.③ 5解：1)由题设，a)=)-2=1g且完义 域为{xx>1}, 所以令)=0.即号=1，解得=号>1， 则g(x)的零点为 6