专题3.3 幂函数知识归纳与分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.3 幂函数 高中数学辅导资料 专题 3.3 幂函数 一、知识归纳： 1．根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①______没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作______． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 2．分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是 （，，且）；正数的负分数指数幂的意义是 （，，且）；正分数指数幂等于；的负分数指数幂 . 3．分数指数幂的定义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是 . ，且 (2)规定正数的负分数指数幂的意义是 . ，且 (3)0的正分数指数幂等于 ，的负分数指数幂 . 4．指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质： ； ； ，其中，，. 自查自纠： 1．根式 ；负数 ；0 ； ； ； 2． 没有意义 3． 没有意义 4． 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为幂函数，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知幂函数 ，且，则 (    ) A． B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C．或 D．不存在 4．（22-23高一上·湖北十堰·期中）幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（　　） A．偶函数，单调递增区间 B．偶函数，单调递减区间 C．偶函数，单调递增区间 D．奇函数，单调递增区间 5．（24-25高一上·贵州·阶段练习）函数的图象是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·陕西西安·期中）函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 7．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）若幂函数的图象过点，则的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，若为偶函数，则满足要求的有（    ） A． B．1 C．4 D． 10．（2023·新疆喀什·一模）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·江苏南京·期末）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在为增函数 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（21-22高一上·上海徐汇·期末）若幂函数（m为整数）的定义域为，则 ． 13．（22-23高一上·陕西西安·期末）幂函数在单调递减，则实数a的取值范围是 ． 14．已知幂函数，若，则a的取值范围是 . B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（23-24高一上·新疆·阶段）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022高二下·浙江·学业考试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西·阶段）若幂函数在上单调递增，则（   ） A．2或 B．2 C．3 D．或3 4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·山东·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 7．（22-23高三上·江西南昌·阶段）函数的大致图象不可能是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·四川巴中·阶段）若函数在其定义域内对任意的实数都有，则称这个函数为下凸函数，以下是下凸函数的有（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·安徽滁州·期中）对幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．的图象只在第一象限 D．在上递减 10．（22-23高一上·四川成都·期末）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数的值域为 11．（22-23高一上·江苏无锡·期中）下列说法不正确的是（    ） A．幂函数的图象都通过两点 B．当时，幂函数的值在定义域内随的增大而减小 C．幂函数的图象不可能出现在第四象限 D．当幂函数的图象是一条直线时，或1 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（23-24高一上·黑龙江·期末）已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则α的取值集合是 . 13．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 14．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知幂函数（为常数）过点，则的最大值为 . 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$专题3.3 幂函数 高中数学辅导资料 专题 3.3 幂函数 一、知识归纳： 1．根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①______没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作______． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 2．分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是 （，，且）；正数的负分数指数幂的意义是 （，，且）；正分数指数幂等于；的负分数指数幂 . 3．分数指数幂的定义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是 . ，且 (2)规定正数的负分数指数幂的意义是 . ，且 (3)0的正分数指数幂等于 ，的负分数指数幂 . 4．指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质： ； ； ，其中，，. 自查自纠： 1．根式 ；负数 ；0 ； ； ； 2． 没有意义 3． 没有意义 4． 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为幂函数，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】函数为幂函数,则，则.故选：C. 2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知幂函数 ，且，则 (    ) A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，且，即，解得，故选：C． 3．（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【详解】由是幂函数，得，解得或， 当时，是偶函数，符合题意；当时，是奇函数，不符合题意， 所以.故选：A 4．（22-23高一上·湖北十堰·期中）幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（　　） A．偶函数，单调递增区间 B．偶函数，单调递减区间 C．偶函数，单调递增区间 D．奇函数，单调递增区间 【答案】C 【详解】设幂函数为，则，解得，所以，定义域为，关于原点对称，又，故为偶函数；显然其单调增区间为.故选：C. 5．（24-25高一上·贵州·阶段练习）函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数的定义域为，且该函数为偶函数，排除D，由易知在上该函数为单调递减，又排除AB，故选：C 6．（24-25高一上·陕西西安·期中）函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 【答案】B 【详解】，和的图象都过点.的图象都过点. A选项，如果，根据图象可知：，A选项正确. B选项，如果，根据图象可知：或，B选项错误. C选项，如果，根据图象可知：，C选项正确. D选项，如果时，根据图象可知：，D选项正确. 故选：B 7．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）若幂函数的图象过点，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，可得，则，令，可得，则，令，其中，则， 当且仅当时，等号成立，故函数的值域为.故选：A. 8．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以在上单调递增，又因为，所以， 所以.故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，若为偶函数，则满足要求的有（    ） A． B．1 C．4 D． 【答案】AC 【详解】时，的定义域为，且，满足； 时，的定义域为，且，不满足； 时，的定义域为，且，满足； 时，的定义域为，不满足； 故选：AC 10．（2023·新疆喀什·一模）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】是幂函数，则，解得或.故选：BC. 11．（22-23高一上·江苏南京·期末）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在为增函数 【答案】AC 【详解】因为是幂函数，所以设，又的图像经过点，所以，所以，即，所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误；故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（21-22高一上·上海徐汇·期末）若幂函数（m为整数）的定义域为，则 ． 【答案】，， 【详解】因为的定义域为，所以，解得，又为整数， 所以．故答案为：，，. 13．（22-23高一上·陕西西安·期末）幂函数在单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，得.故答案为： 14．已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为： B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（23-24高一上·新疆·阶段）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 2．（2022高二下·浙江·学业考试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知满足，即函数为偶函数；图象关于轴对称，可排除D，易知当时，函数单调递增，可排除C，且当时，函数的增长速度越来越慢，其图象在图象下方，排除A；故选：B 3．（24-25高一上·江西·阶段）若幂函数在上单调递增，则（   ） A．2或 B．2 C．3 D．或3 【答案】C 【详解】由，解得或3，因为在上单调递增，所以．故选：C. 4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由幂函数在上是减函数，则，解得，故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件.故选：C. 5．（24-25高一上·山东·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：由函数在上单调递增，所以，A选项错误；B选项：由函数在上单调递减，则，B选项错误；C选项：，，又函数在上单调递增，所以，即，C选项正确；D选项：，函数在上单调递增，则，即，D选项错误； 故选：C. 6．（23-24高三上·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【详解】由得或，时，在上是增函数，不合题意，时，，在上是减函数，满足题意，所以，，则，，是奇函数，因此，所以，即，故选：B. 7．（22-23高三上·江西南昌·阶段）函数的大致图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，则，当时，，，，所以的大致图象不可能为C，而当为其他值时，如时图象为A，时图象可为B，时图象可为D，均有可能出现.故选：C 8．（24-25高一上·四川巴中·阶段）若函数在其定义域内对任意的实数都有，则称这个函数为下凸函数，以下是下凸函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A中，任取，则，， 恒有，函数图象为直线，不为下凸函数图象，所以A错误； 对于B中，. 因为，即， 则.所以.符合题意，所以B正确； 对于C中，取，则，可得，所以，，此时，不符合题意，所以C不正确； 对于D中，取，则，可得，所以，，此时，不符合题意，所以D不正确. 故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·安徽滁州·期中）对幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．的图象只在第一象限 D．在上递减 【答案】BCD 【详解】对幂函数，的定义域是，因此A不正确的值域是，B正确的图象只在第一象限，C正确在上递减，D正确故选: ． 10．（22-23高一上·四川成都·期末）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数的值域为 【答案】BD 【详解】因为是幂函数,所以,解得,故B正确;所以,又因的图象经过点,所以,所以,解得,故A错误;因为,则其定义域,值域均为,故C错误,D正确.故选:BD. 11．（22-23高一上·江苏无锡·期中）下列说法不正确的是（    ） A．幂函数的图象都通过两点 B．当时，幂函数的值在定义域内随的增大而减小 C．幂函数的图象不可能出现在第四象限 D．当幂函数的图象是一条直线时，或1 【答案】ABD 【详解】对于A，幂函数的图象都通过点，幂函数不过点，故A不正确；对于B，当时，幂函数定义域为，以幂函数为例，它在和上分别单调递减，在定义域不单调，故B不正确；对于C，由幂函数的性质可知幂函数图象不可能出现在第四象限，故C正确；对于D，当时，幂函数的图象是一条直线，但不过点，故D不正确.故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（23-24高一上·黑龙江·期末）已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则α的取值集合是 . 【答案】 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，当时，，定义域为，又，故为偶函数，满足要求，当时，，定义域为，又，故为奇函数，舍去；当时，，定义域为，故不为偶函数，舍去.故答案为： 13．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由的定义域为，且有，则为偶函数，又在中，，则幂函数在上单调递增，在上单调递减，又，则，即 ，整理得，解得，且，则不等式的解集为， 故答案为：. 14．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知幂函数（为常数）过点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由已知可得，所以，所以.则，. 因为，所以，当时，有最大值4.所以，所以的最大值为2.故答案为：2. 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$