专题3.2 函数的基本性质知识归纳与分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.2 函数的基本性质 高中数学辅导资料 专题 3.2 函数的基本性质 一、知识归纳： 1．函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数在区间上 或 ，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性， 叫做的单调区间. 2．函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：，都有 ，使得 结论 称是函数的最大值 称是函数的最小值 几何意义 图象上最高点的 图象上最低点的 3．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 ，那么函数就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 ，那么函数就叫做奇函数 关于 对称 4．一次函数的单调性 （1）当 时，在上为严格增函数；（2）当 时，在上为严格减函数． 5．函数的对称性 （1）已知，则的图象关于 对称； （2）已知，则的图象关于 对称. 自查自纠： 1． 单调递增 单调递减 区间 2． 纵坐标 纵坐标 3． 轴 原点 4． 5．直线 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）关于轴对称的函数在上是增函数．且最小值为，则它在上（    ） A．是减函数，最小值是 B．是增函数，最大值是 C．是减函数，最大值是 D．是增函数，最小值是 2．函数在下列区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 4．（19-20高一上·四川成都·阶段练习）已知，其中、为常数，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数在上单调递增，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，且当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．（22-23高一上·河北邢台·期中）设为实数， 定义在上的偶函数满足：在上的表达式为， 则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·天津·期中）如图所示函数图象的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（21-22高一上·浙江·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·云南迪庆·期末）如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 11．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（20-21高一上·湖北荆门·阶段）函数的值域是 13．（2020·陕西榆林·一模）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，，则 ． 14．（22-23高一上·广东汕头·期末）若函数的值域为，则的取值范围是 B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（22-23高一上·浙江·期中下列函数是奇函数且是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数为偶函数，且，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．（22-23高一上·重庆九龙坡·期末）函数在上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河北石家庄·期中）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集为，且不等式恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（　　） A． B． C． D． 10．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值 11．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，，已知函数，下列说法中正确的是（    ） A． B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数的单调递减区间是 . 13．（20-21高一上·广西桂林·期中已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为 ． 14．已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$专题3.2 函数的基本性质 高中数学辅导资料 专题 3.2 函数的基本性质 一、知识归纳： 1．函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数在区间上 或 ，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性， 叫做的单调区间. 2．函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：，都有 ，使得 结论 称是函数的最大值 称是函数的最小值 几何意义 图象上最高点的 图象上最低点的 3．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 ，那么函数就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 ，那么函数就叫做奇函数 关于 对称 4．一次函数的单调性 （1）当 时，在上为严格增函数；（2）当 时，在上为严格减函数． 5．函数的对称性 （1）已知，则的图象关于 对称； （2）已知，则的图象关于 对称. 自查自纠： 1． 单调递增 单调递减 区间 2． 纵坐标 纵坐标 3． 轴 原点 4． 5．直线 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）关于轴对称的函数在上是增函数．且最小值为，则它在上（    ） A．是减函数，最小值是 B．是增函数，最大值是 C．是减函数，最大值是 D．是增函数，最小值是 【答案】A 【详解】因为函数关于轴对称，在上是增函数且最小值为，所以函数为偶函数，在上是减函数，最小值是.故选：A 2．函数在下列区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的对称轴为，开口向上的抛物线，所以在上单调递减，由选项可知，所以在上单调递减，故选：B. 3．（22-23高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【详解】函数为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数的单调递减区间为：，. 不能选C，因为不满足减函数的定义.故选：D. 4．（19-20高一上·四川成都·阶段练习）已知，其中、为常数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则，则，因此，.故选：A. 5．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数在上单调递增，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵抛物线的对称轴为：，又∵在上单调递增，∴，解得：. 所以的取值范围是.故选：C. 6．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，且当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】由，得，则是以4为周期的周期函数， 又函数是定义在R上的偶函数，当时，，所以．故选：C 7．（22-23高一上·河北邢台·期中）设为实数， 定义在上的偶函数满足：在上的表达式为， 则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得在上单调递增，而是偶函数，则等价于，解得或，故选：A 8．（23-24高一上·天津·期中）如图所示函数图象的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：根据图像可得：函数为偶函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增；对于A项：为偶函数，且，当时，易得：在区间上单调递增，当时，易得：在区间上单调递减， 故A项正确.对于B项：为偶函数，且，当时，易得：在区间上单调递减，故B项错误.对于C项：为偶函数，且，当时，易得，，，故C项错误；对于D项：为偶函数，且，当x>0时，易得，，故D项错误. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（21-22高一上·浙江·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A：是偶函数，故A错误； B：是奇函数，且在是增函数，故B正确； C：是奇函数，在为减函数，为增函数，故C错误； D：是奇函数，且在是增函数，故D正确. 故选：BD. 10．（22-23高一下·云南迪庆·期末）如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】CD 【详解】解法一：将选项带入解析式即可得到对称轴，结合对称轴和区间的相对位置判断即可. 解法二：为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，即，故选：CD 11．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为函数为奇函数，且在区间上是增函数，故函数在上也为增函数， 且，由可知，当时，，可得；当时， ，可得.综上所述，不等式的解集为.故选：BC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（20-21高一上·湖北荆门·阶段）函数的值域是 【答案】 【详解】由,得，又在上的增函数,在上也是增函数, 在上是增函数,则，函数的值域为 故答案为: 13．（2020·陕西榆林·一模）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，，则 ． 【答案】 【详解】因为对任意实数，恒有，所以是以4为周期的周期函数，因为是定义在上的奇函数，时，，所以， 故答案为： 14．（22-23高一上·广东汕头·期末）若函数的值域为，则的取值范围是 【答案】 【详解】当时，，则函数在上递减，在上递增，所以，则此时；当时，，要使得的值域为，则，解得，所以的取值范围是.故答案为：. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（22-23高一上·浙江·期中下列函数是奇函数且是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，为偶函数，函数在上单调递减，在上单调递增，该选项错误； 选项B，为奇函数，函数在和上单调递减，不满足连续单调递减，该选项错误； 选项C，为非奇非偶函数，函数在上单调递增，该选项错误； 选项D，为奇函数，函数在上单调递减，该选项正确. 故选：D. 2．（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数为偶函数，且，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】为偶函数，，即关于对称，则，由，得函数关于对称，令，得，得，则， 即，即，得，即是周期为4的周期函数，令，由得，，即，，故选：B． 3．（22-23高一上·重庆九龙坡·期末）函数在上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以的定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，则的图像关于原点对称，排除AB；又，排除C；因为排除了选项ABC，而选项D的图像满足上述的性质，故D正确.故选：D. 4．已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义域为的奇函数，且当时，，当时，， 所以，所以. 故选：B. 5．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又函数的定义域为，且在定义域内是增函数，所以有，解得.故选：C 6．（23-24高一上·河北石家庄·期中）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，在上单调递减，不合题意；时，因为在上单调递增，所以有，解得.所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A 7．函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得当，则，所以函数在上单调递减， 又，可得，解得.所以实数a的取值范围为.故选：A. 8．（22-23高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集为，且不等式恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知方程的两根为，，则，即， ，当且仅当即时，等号成立；设，则在上单调递增，故，又不等式恒成立，即，，故实数t的取值范围为故选:D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】函数在区间上是单调函数，又，且，故此函数在区间上是减函数．由已知条件及偶函数性质，知函数在区间上是增函数．对于A，，故，故A错误；对于B，，故，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选:BD. 10．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值 【答案】BC 【详解】函数在区间上有最小值，∴函数图像抛物线的对称轴应当位于区间内，∴有， ，在区间上，定义域不关于原点对称，不是奇函数.任取 ，，由，，有 ， ，则，即，所以在区间上为增函数，为函数最小值．故选：BC 11．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，，已知函数，下列说法中正确的是（    ） A． B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 【答案】ABD 【详解】由得，故A正确；，当时，，此时，，故B正确；因为，所以在上不是增函数，故C错误；因为恒成立，所以，故D正确；故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数的单调递减区间是 . 【答案】/ 【详解】，所以函数的单调递减区间是.故答案为： 13．（20-21高一上·广西桂林·期中已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为 ． 【答案】 【详解】当时，则，因为当时，，且是定义在上的奇函数，所以，即，故时，的解析式为.故答案为：. 14．已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，对任意的且，总有，所以在上为单调递增函数，又，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：. 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$