13.3.1三角形的内角2（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.3.1三角形的内角2（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1.直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC. 定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°. 要点诠释： 两锐角互余是直角三角形固有的角度关系，其证明简洁严谨且应用广泛，是解直角三角形问题的关键基础. 例1．如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 解题通法 利用直角三角形两锐角互余，同角的余角相等找出相等角 【答案】A 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握同角的余角相等．根据得到，根据，得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 【变式1-1】．如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，首先由垂直定义得到，利用角平分线求出，根据三角形内角和定理求得，即可根据，得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，平分， ∴ ∴ ∵， ∴． 故选C． 【变式1-2】．如图，，交于点O，与有什么关系？ 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，对顶角的性质，根据已知结合对顶角相等，利用直角三角形两锐角互余即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 【变式1-3】．如图，是的边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据是边上的高，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：是边上的高， ， ． ， ． 平分， ． ，， ． 知识点2.直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理应用格式： ∵ ∠A+∠B=90°， ∴ △ABC是直角三角形. 要点诠释： 易错点提示 ①需注意区分“两角互余”与“有一个角为90°”的判定条件，前者是定理，后者是定义。 ②在证明过程中，避免混淆角的关系，确保逻辑严密。 两个角互余是直角三角形的判定定理，通过证明两角和为90°即可确定三角形为直角三角形，需结合具体题目条件灵活运用。 例2．如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解题通法 通过推理证明两角和为90°即可确定三角形为直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 【变式2-1】．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选B． 【变式2-2】．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 【变式2-3】．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 知识点3 利用三角形内角和定理推理或计算 证明时需明确平行线的选择方向（如作平行线时需注意对应角关系）。 计算时注意角度单位统一，避免符号错误 例3．如图．在中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：；；；；其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 解题通法 熟练掌握直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理是解题关键 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对等角相等，三角形内角和定理，根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断；只需要证明，，即可判断；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∵， ∴，故正确； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∴， ∴，故正确； 综上正确的结论是， 故选：． 【变式3-1】．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 【变式3-2】．如图，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 连接，然后利用三角形内角和定理和平行线性质求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】．如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)；，理由见解析 (2)或． 【分析】（1）根据“两直线平行，同位角相等”，即可得答案；过O点作平行于格线，同理可得； （2）分两种情况讨论：射线在的内部射线在的外部． 【详解】（1）解：如图： 如图1：格线都互相平行，， ， ， ， ， 故答案为：； ， 证明：如图2：过O点作平行于格线， 格线都互相平行, ， ， ; （2）或， 理由： 当射线在的内部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ， ； 当射线在的外部，如图： . ， ， 格线都互相平行， , ， ． 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，对顶角相等等知识点，灵活运用这些知识是解决本题的关键． 一、辨易错 1、（1）定理证明易错点 （2）平行线条件错误  在作平行线辅助线时，需确保对应边平行。例如，过顶点作平行线时，若未正确标记对应角（如内错角、同位角），会导致角度计算错误。 （3）角度关系混淆  证明过程中易混淆内错角、同位角与同旁内角的关系。 例4．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 【变式4-1】．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 【变式4-2】．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； （2）证明： ， ， 即． 【变式4-3】．【探究】（1）请把下面证明步骤括号里的内容补充完整．    如图1，点D，E，F分别是三角形的边上的点，．求证：． 证明：， （①） ， （②） ． 【归纳】在四边形中，如果，，则． 【运用】（2）如图2，过三角形内的一点P，分别画的平行线与三角形的两边交于M、N点；画的平行线与三角形的两边交于G、H点；画的平行线与三角形的两边交于E、F点．请你运用上面归纳的结论，说明三角形的内角和为（即：） 【拓展】（3）如图3，受以上思路的启发，你能再寻找一种方法说明三角形内角和为吗？请你试一试． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；（2）证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，三角形内角和定理的证明，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互． （1）根据平行线的性质解答即可； （2）根据归纳可得，四边形对边平行，则对角相等即可证明； （3）延长到D，过点C作，根据平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：， （两直线平行，内错角相等） ， （两直线平行，同位角相等） ． （2）证明：如图2所示，，    由归纳的结论，可知，，， 又， ． （3）证明：如图3，延长到D，过点C作．   （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等）． ， ． 2、计算易错点 （1）已知两角求第三角时计算错误 （2）比例关系应用错误  例5．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为， ∴这个三角形最大的内角度数为， ∴这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 【变式5-1】．如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 【变式5-2】．如图，在△ABC中有两个内角相等，且BD是△ABC的角平分线，，．若DF//BC，则 °． 【答案】或22.5 【分析】设，，根据题意可用x和y分别表示出，和．根据在△ABC中有两个内角相等可分类讨论，结合三角形内角和定理列出方程组，即可解答． 【详解】设，， ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴，． ∵BD是△ABC的角平分线， ∴． 分类讨论：①当时， 由题意可得：， 解得：， ∴； ②当时， 由题意得：， 解得：， ∴； ③当时， ∵， ∴此情况不成立． 综上可知，的大小为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 3.逻辑推理跳跃  在证明三角形内角和时，需通过平行线将三个角转化为平角。例如，延长边作平行线后，利用同位角、内错角证明角度关系，若忽略辅助线构造，易导致推理中断。 例6．把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【变式6-1】．【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 【答案】（1），，；（2），证明见解析；（3）不成立， 【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． （1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数，已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系； （3）由于在中，，在中，，相减即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：；；． （2）与的关系为：， 理由如下： 由（1）得：， ∵， ∴， ∴ ． ∴． （3）不成立，存在， 理由如下： 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴（2）中的结论不成立． 二、综合应用 例7．在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 【变式7-1】．如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理即可求解； （）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理得，再把代入计算即可求证； 本题考查了三角形的角平分线，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 例8．如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ②根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：，， 又∵， ； （2）解：①，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ②；理由如下： 根据“8字形”数量关系，，， ∴，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，， ． 【变式8-1】．【探索发现】(1)在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题： 如图①，在中，平分，平分，请你判断和间的数量关系并说明理由． 【模型发展】(2)如图②，点是的外角平分线与的交点，请你判断和间的数量关系______． 【答案】(1)，理由见解析；(2). 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线证明即可； （2）根据（1）证明思路，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理应用，角的平分线，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：在中，，， 所以，则， 故选：B． 2．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°， ∴∠A=∠ACD=40°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键． 4．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 5．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 6．如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据余角关系求出，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图， ∵直线， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 7．如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，关键是要分两种情况讨论．当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 故选：C． 8．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共24分） 9．如图，在中，，，，则的度数为 ．    【答案】83 【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 10．如图，在中，，是的角平分线，过点作的垂线，交的延长线于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用对顶角相等，垂直的意义得出，，再求得，然后利用角平分线的意义，求得，再利用直角三角形的两个锐角互余求得． 【详解】解：∵过点作的垂线，交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， 即， 又是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，垂直的意义，解题关键是掌握角平分线的意义． 11．如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论． 【详解】解：分两种情况： 如图①，当时，． ， ． 如图②，当时， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 13．如图，将沿着平行于的直线折叠，点A落在点处．若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图、理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和等于求出，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据翻折变换的性质可得，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿着平行于的直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，，，，垂足为P．如果，那么和分别等于多少？ 【答案】， 【分析】由题意可知在直角△ABP中，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABP=90°-∠A=90°-α；利用平行线的性质可得∠PCD=∠A． 【详解】解：∵AC⊥BD，， ∴∠APB=90°， ∴∠ABP=90°-∠A=90°-α； ∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴AB//CD, ∴∠PCD=∠A=α． 【点睛】本题考查直角三角形的性质和垂直的定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等． 15．如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝80°，∠ECD＝25°，求∠ACB的度数． 【答案】75° 【分析】根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，所以EDCA可求，进而求出∠ACB的度数． 【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝80°， ∴∠DAC＝40°， ∵CE是△ADC边AD上的高， ∴∠ACE＝90°﹣40°＝50°， ∵∠ECD＝25° ∴∠ACB＝50°+25°＝75°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理．解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质． 16．如图，已知四边形纸片，，点在边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点落在边上的点处，折痕为． （1）试判定与的位置关系，并说明理由； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）AB//EF；（2）50°． 【分析】（1）根据方式折叠可得，结合，利用同位角相等两直线平行即可得证； （2）由与EF//AB平行，利用两直线平行同位角相等得到，由折叠得到，即可求出的度数． 【详解】解：（1）AB//EF，理由为： ，， ， AB//EF； （2）∵EF//AB， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的基础，由折叠的性质得出是解题关键． 17．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点B反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即，如图2，和是两块平面镜，平面镜可以绕F转动一定的角度（），入射光线经过两次反射后，得到反射光线． (1)当时，则______； (2)若光线，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)25； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． （1）由镜面反射的性质得到； （2）由平行线的性质推出，由镜面反射的性质得到，由平角的定义得到，求出，得到，因此． 【详解】（1）解：由镜面反射的性质得到：， 故答案为：25； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 由镜面反射的性质得到：， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，，D为延长线上一点，E为上一点，连接交于点F，若，求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，互余关系，结合等量代换，得到，进而求出，进而推出，即可得出结果． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 19．数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 【答案】(1)，； (2)，证明见解析； (3)结论不变，证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的角平分线性质、直角三角形的性质以及角度之间的等量代换，解题的关键是通过作辅助线（如过点A作的垂线），将所求角度与已知角（）建立联系，利用角的和差关系进行推导． （1）观察表格数据，发现与的差值存在倍数关系，通过前两组数据推测出规律，代入数值计算得出 和的值．； （2）过点 A 作 的垂线，利用角平分线性质表示出，结合直角三角形中与的关系，通过进行等量代换，推导出； （3）同样过点A作BC的垂线，借鉴小问2的推导思路，通过角度之间的和差关系，证明即使点F在直线上（不包括），仍有． 【详解】（1）由表中数据推测： ，． 故答案为：，； （2）结论：． 理由：如图，过点作于点． 则，① 平分， ，② ， ，③ 由①②③得， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图中，过点作于点． 与（2）证法过程完全相同可得结论：． 20．如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，到原点的距离为m，点B属于第三象限的一点，且m，n满足时，回答以下问题． (1)_______，_______． (2)连接，，求三角形的面积； (3)已知线段长度为10，若点P从点A出发，在射线上运动（点P不与点A和点B重合） ①如图2，若点P在线段上运动时，过点P作射线轴，且点E在点P的右侧，请直接：出，，的数量关系； ②如图3，若点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个位的速度沿x轴负半轴运动，连接、，是否存在某一时刻t，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6， (2)18 (3)①；②值为或，点坐标为或 【分析】（1）利用算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）求出，，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）①根据平行线的性质和三角形内角和直接得到结论； ②过点作于，利用的面积可求出的长，分点在线段上和延长线上两种情况，根据点、点的速度用表示出、的长，根据列方程求出值即可得答案． 【详解】（1）∵ ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴ ∴三角形的面积 （3）①，理由如下： 如图：    ∴， ， ； ②如图，过点作于， ∵，， ∴， 解得：，   当点在线段上时， ∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点坐标为； 如图，当点在延长线上时，    ∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点坐标为， 综上所述：存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍，值为或，点坐标为或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了算术平方根非负数的性质，平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形面积的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造平行线，运用分类讨论的思想计算求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.3.1三角形的内角2（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1.直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC. 定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°. 要点诠释： 两锐角互余是直角三角形固有的角度关系，其证明简洁严谨且应用广泛，是解直角三角形问题的关键基础. 例1．如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 解题通法 利用直角三角形两锐角互余，同角的余角相等找出相等角 【变式1-1】．如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，，交于点O，与有什么关系？ 【变式1-3】．如图，是的边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 知识点2.直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理应用格式： ∵ ∠A+∠B=90°， ∴ △ABC是直角三角形. 要点诠释： 易错点提示 ①需注意区分“两角互余”与“有一个角为90°”的判定条件，前者是定理，后者是定义。 ②在证明过程中，避免混淆角的关系，确保逻辑严密。 两个角互余是直角三角形的判定定理，通过证明两角和为90°即可确定三角形为直角三角形，需结合具体题目条件灵活运用。 例2．如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解题通法 通过推理证明两角和为90°即可确定三角形为直角三角形 【变式2-1】．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【变式2-3】．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 知识点3 利用三角形内角和定理推理或计算 证明时需明确平行线的选择方向（如作平行线时需注意对应角关系）。 计算时注意角度单位统一，避免符号错误 例3．如图．在中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：；；；；其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 解题通法 熟练掌握直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理是解题关键 【变式3-1】．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】．如图，若，则 ． 【变式3-3】．如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 一、辨易错 1、（1）定理证明易错点 （2）平行线条件错误  在作平行线辅助线时，需确保对应边平行。例如，过顶点作平行线时，若未正确标记对应角（如内错角、同位角），会导致角度计算错误。 （3）角度关系混淆  证明过程中易混淆内错角、同位角与同旁内角的关系。 例4．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【变式4-2】．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 【变式4-3】．【探究】（1）请把下面证明步骤括号里的内容补充完整．    如图1，点D，E，F分别是三角形的边上的点，．求证：． 证明：， （①） ， （②） ． 【归纳】在四边形中，如果，，则． 【运用】（2）如图2，过三角形内的一点P，分别画的平行线与三角形的两边交于M、N点；画的平行线与三角形的两边交于G、H点；画的平行线与三角形的两边交于E、F点．请你运用上面归纳的结论，说明三角形的内角和为（即：） 【拓展】（3）如图3，受以上思路的启发，你能再寻找一种方法说明三角形内角和为吗？请你试一试． 2、计算易错点 （1）已知两角求第三角时计算错误 （2）比例关系应用错误  例5．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式5-1】．如图，，，，则 ． 【变式5-2】．如图，在△ABC中有两个内角相等，且BD是△ABC的角平分线，，．若DF//BC，则 °． 3.逻辑推理跳跃  在证明三角形内角和时，需通过平行线将三个角转化为平角。例如，延长边作平行线后，利用同位角、内错角证明角度关系，若忽略辅助线构造，易导致推理中断。 例6．把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【变式6-1】．【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 二、综合应用 例7．在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【变式7-1】．如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 例8．如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 【变式8-1】．【探索发现】(1)在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题： 如图①，在中，平分，平分，请你判断和间的数量关系并说明理由． 【模型发展】(2)如图②，点是的外角平分线与的交点，请你判断和间的数量关系______． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 4．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 5．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 9．如图，在中，，，，则的度数为 ．    10．如图，在中，，是的角平分线，过点作的垂线，交的延长线于点，若，则的度数为 ． 11．如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为 ． 12．在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 13．如图，将沿着平行于的直线折叠，点A落在点处．若，，则的度数为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，，，，垂足为P．如果，那么和分别等于多少？ 15．如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝80°，∠ECD＝25°，求∠ACB的度数． 16．如图，已知四边形纸片，，点在边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点落在边上的点处，折痕为． （1）试判定与的位置关系，并说明理由； （2）如果，求的度数． 17．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点B反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即，如图2，和是两块平面镜，平面镜可以绕F转动一定的角度（），入射光线经过两次反射后，得到反射光线． (1)当时，则______； (2)若光线，判断与的位置关系，并说明理由． 18．如图，在中，，D为延长线上一点，E为上一点，连接交于点F，若，求证：是直角三角形． 19．数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 20．如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，到原点的距离为m，点B属于第三象限的一点，且m，n满足时，回答以下问题． (1)_______，_______． (2)连接，，求三角形的面积； (3)已知线段长度为10，若点P从点A出发，在射线上运动（点P不与点A和点B重合） ①如图2，若点P在线段上运动时，过点P作射线轴，且点E在点P的右侧，请直接：出，，的数量关系； ②如图3，若点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个位的速度沿x轴负半轴运动，连接、，是否存在某一时刻t，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$