13.3.1 三角形的内角（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.3.1 三角形的内角（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 三角形内角和定理 1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． 要点诠释： 三角形的三个内角之和恒等于180°，这一结论与三角形的形状、大小无关. 【题型1 三角形内角和定理的证明】 例1．用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 解题通法 把三角形内角和问题转化为平行线的性质，利用平行线性质构造一个平角，证明三角形内角和 【答案】证法1：；；证法2见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 证法1中，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补求证；证法2中，利用两直线平行内错角相等，构造一个平角求证． 【详解】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 【变式1-1】．现在通过平行线的性质于平角的定义证明“三角形的内角和等于180°”这个结论、 已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：过点A作直线l，使l//BC， ∵l//BC， ∴∠2＝∠4（         ） 同理∠3＝ ， ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（        ） ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（       ） 【答案】两直线平行，内错角相等；∠5；平角定义；等量代换 【解析】略 【变式1-2】．小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【答案】；两直线平行，内错角相等 ；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【详解】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 【变式1-3】．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可． 【详解】解：已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 知识点2 三角形内角和定理的应用： 主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 【题型2 三角形内角和定理的应用】 例2．如图，在中，，求的度数． 解题通法 把有关问题转化为三角形内角和，利用三角形内角和计算 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度，计算出，，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ． 【变式2-1】．如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键． 本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】．求出下列各图形中x的值： 【答案】图（1）中；图（2）中；图（3）中；图（4）中 【分析】本题考查三角形内角和定理，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：图（1）中：，即； 图（2）中：，解得：，即； 图（3）中：，解得：，即； 图（4）中：，解得：，即． 【变式2-3】．【学科融合】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 【应用探究】 有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线． (1)如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证． (2)如图3，光线与相交于点P，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． （1）根据平面镜反射光线的规律得，，再利用，可得，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可； （2）根据三角形内角和定理求得，根据平面镜反射光线的规律得，，再结合平角的定义得出，然后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型3 与平行线有关三角形内角和问题】 例3．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 解题通法 由平行线的性质，结合三角形内角和定理，把相关条件构造在一个三角形中，利用三角形内角和计算 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式3-1】．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式3-2】．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和，对顶角相等，直角三角形两锐角互余的应用； 根据，得，再，即可求解； 【详解】解：∵，如图； ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： . 【变式3-3】．已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4 与角平分线有关三角形内角和问题】 例4．如图，在中，，是的角平分线，交于点D，点E在边上，连接，，，求的度数． 解题通法 利用角平分线的定义，三角形内角和把相关问题集中在一个三角形中解决。 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和，先利用两直线平行内错角相等求出，结合角平分线定义求出的度数，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：， ． 是的角平分线， ． ， ． 【变式4-1】．如图，在中，，，为三角形的角平分线，交于点D，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，角平分线求出的度数，根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：因为，平分， 所以． 又因为，， 所以， 所以． 【变式4-2】．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 【变式4-3】．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 例5．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解题通法 利用折叠重叠部分对应角相等，结合三角形内角和解决 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 【变式5-1】．如图，将一角折叠，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】．如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理的应用，平行线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 当时，，分两种情况考虑，根据翻折可得或，再根据三角形内角和定理，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知，， 当点在上方时，如图所示，    ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴． 当点在下方时，如图所示， ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴．   故答案为：；或． 【变式5-3】．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ， ， ． 一、辨易错 混淆等腰三角形特殊性质出错。 例6．如图，中，，，D点在边AB上运动（与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点若是等腰三角形，则的值为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】解：将沿翻折至处， ，，， ，， 当，则， ， ； 当，则， ， ， 故答案为：或． 【变式6-1】．已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是，那么这个等腰三角形顶角的度数是 【答案】 【分析】画出图形，根据且，求出∠C的度数，根据求出∠ABC的度数，再利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，数据等腰三角形的性质是解题的关键． 2、 综合应用 例7．将三角尺（，）放置在上（点D在内），如图1，三角尺的两边，恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：当时，______°，______°； (2)类比探索：写出，与之间的数量关系，并说明理由； (3)变式探索：如图2，改变三角尺的位置，使点D在外，三角尺的两边，仍恰好经过点B和点C，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)90；54 (2)．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角板中角度的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在中利用三角形内角和即可求出的度数，再根据三角形内角和得到得到，进而求出最后结果． （2）利用得到的度数，再根据三角形内角和定理得出，进而得到结论． （3）设交于点O，根据对顶角相等得到，进而得到从而得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：90，54； （2）．理由如下： ， ． ， ， ， ． （3）．理由如下： 设交于点O，如图． ， ，即， ． 【变式7-1】．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则________； (2)已知 是直角三角形，． ①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②E是边上一点，是“准互余三角形”，且，则的度数为__________． 【答案】(1) (2)①是，见解析；②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角等知识． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答； ②由题意可得，所以分两种情况，，． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 故答案为：或． 例8．如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 例9．已知，如图，在中，平分交于点H，D、E分别在的延长线上，，． (1)求证：； (2)若比大．求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由平行线的性质与角平分线的定义推出．再由，得到，则． （2）设，则，．由平行线的性质得到．由角平分线的定义得到，则．进而得到，解方程求得x值，再结合三角形内角和定理进行求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵比大， ∴， 即， 解得． ∴， ∴． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和等于是解题关键． 【详解】解：在中，若， 则， 故选：A． 2．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和为，已知两个角的度数，第三个角可通过180°减去已知两角的和求得． 【详解】解：在中，已知，根据三角形内角和定理，得： ， 故选：C． 3．如图，，连接，是线段上一点，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数．本题主要考查平行线的性质与三角形内角和定理，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）． 在中，，， ∴． 故选： ． 4．自行车尾灯内部的角反射器由许多垂直的平面镜组成（如图①），其工作原理如图②所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，由题意可得，，结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．已知三角形的一个内角是，另两个内角的度数比为，则最大内角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 先求出另两个内角的度数之和，再由另两个内角的度数比，可求出另两个内角的度数，即可求解． 【详解】解：∵三角形的一个内角是， ∴另两个内角的度数之和为， ∵另两个内角的度数比为， ∴另两个内角的度数分别为，， ∴最大内角的度数是． 故选：B． 6．如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了高线以及角平分线的定义，根据高线的定义得出，，根据角平分线的定义得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高，且，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 7．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，根据这个定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键． 根据三角形内角和为，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ②∵， ∴最大角， 故②正确 ③∵， ∴， ∴， 故③正确 ④∵， ∴， ∴， 故④正确 综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个． 故选：D． 8．如图，已知中，，平分，，为上一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线的性质求出和的度数，再利用直角三角形的性质求出的度数，接着根据平行线的性质求出的度数，最后求出的度数．本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】解：平分， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．一个三角形的三个角的比是，这是一个 三角形．（填“钝角”“锐角”“直角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理． 利用三角形的内角和定理及各角的比值，求出最大内角即可． 【详解】解：这个三角形最大的内角为， ∴这是一个钝角三角形， 故答案为：钝角． 10．如图，在中，和的平分线，相交于点G，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线和三角形内角和定理，熟练利用角平分线的性质和三角形内角和定理找出题目中角的等量关系是解答本题的关键．由角平分线的性质可知，，再由三角形内角和定理可知，即可求解． 【详解】解：， ， 和分别是和的平分线， ，， ， 故答案为：． 11．如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，由，，，得，然后代入即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，位于A处的一艘军舰观测到一艘巡逻艇B在其南偏西的方向上，巡逻艇C在其南偏东方向上，已知，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质与三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理．先根据平行线的性质，由得出，进而求出；再求出，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】由题意得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CF平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形． 【答案】（1）∠ACE=45°;(2)详见解析. 【分析】（1）先根据内角和定理求得∠ACB=90°，再由角平分线性质可得答案； （2）根据CD⊥AB知∠BCD=90°-∠B=30°，∠FCD=∠ECB-∠BCD=15°，结合∠CDF=75°可得∠CFD=180°-∠FCD-∠CDF=90°，即可得证． 【详解】解：（1）∵∠A=30°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=90°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°； （2）∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD=90°-∠B=30°， ∴∠FCD=∠ECB-∠BCD=15°， ∵∠CDF=75°， ∴∠CFD=180°-∠FCD-∠CDF=90°， ∴△CFD是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握垂直的定义、角平分线的性质和三角形的内角和定理． 15．如图，在中，．求x的值． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，由题意利用三角形内角和定理求出，由，求出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ，即， ∵， ∴， ∴，即． 16．如图，已知：在中，，，点E、F分别为边、上的点，且．求证：． 证明：， （______）， ． 又， ____________． ， ______． （______）． 【答案】垂直的定义；；B；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由余角的性质推出，得到．判定． 【详解】证明：， （垂直的定义）， ， 又， ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；ACD；B；ACD；同位角相等，两直线平行． 17．如图，在四边形中，，连接，点E在边上，点F在边上，且． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得，结合已知可得，即可得证； （2）由两直线平行，同旁内角互补可得，由角平分线的定义可得，由两直线平行，同位角相等可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，将三角形沿方向平移，得到三角形． (1)若，，求的度数； (2)若，，求平移的距离的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【详解】（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 即平移的距离的长为． 19．物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）利用这个知识人们制作了潜望镜，图①是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的．（请把下面的说理过程补充完整） 理由：（已知）， ∴______． （已知），， ，即______， （______）； 【尝试探究】 （2）如图②，若平面镜与的夹角，光线经过两次反射后，，仍可以使入射光线与反射光线平行，但方向相反．求的度数； 【拓展应用】 （3）两块平面镜，如图③放置，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，，，光线与相交于点O，请直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，三角形的内角和定理解答即可； （2）仿照（1）证明解答即可； （3）仿照2的证明解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）：（已知）， ∴． （已知）， ， ，即， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：    内错角相等，两直线平行 （2）解：， ． ， ． ， ， ． ， ， 即． （3）解：，理由如下： ， ． ， ． ， ． 20．已知：如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“8字形”．试解答下列问题： (1)根据图①，求之间的数量关系； (2)仔细观察，图②中“8字形”的个数有 个； (3)在图②中，若，，和分别平分和，求的度数． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，理解题目中“8字形”的角的规律为解题关键． （1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得，再根据角平分线的定义，得出，计算可得，进而求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，， 在中，， ， ； （2）①线段相交于点O，形成“8字形”； ②线段相交于点O，形成“8字形”； ③线段相交于点N，形成“8字形”； ④线段相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； 故答案为：6； （3），， ， ． 和分别平分和， ，． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.3.1 三角形的内角（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 三角形内角和定理 1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． 要点诠释： 三角形的三个内角之和恒等于180°，这一结论与三角形的形状、大小无关. 【题型1 三角形内角和定理的证明】 例1．用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 解题通法 把三角形内角和问题转化为平行线的性质，利用平行线性质构造一个平角，证明三角形内角和 【变式1-1】．现在通过平行线的性质于平角的定义证明“三角形的内角和等于180°”这个结论、 已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：过点A作直线l，使l//BC， ∵l//BC， ∴∠2＝∠4（         ） 同理∠3＝ ， ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（        ） ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（       ） 【变式1-2】．小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【变式1-3】．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 知识点2 三角形内角和定理的应用： 主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 【题型2 三角形内角和定理的应用】 例2．如图，在中，，求的度数． 解题通法 把有关问题转化为三角形内角和，利用三角形内角和计算 【变式2-1】．如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【变式2-2】．求出下列各图形中x的值： 【变式2-3】．【学科融合】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 【应用探究】 有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线． (1)如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证． (2)如图3，光线与相交于点P，若，求的度数． 【题型3 与平行线有关三角形内角和问题】 例3．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 解题通法 由平行线的性质，结合三角形内角和定理，把相关条件构造在一个三角形中，利用三角形内角和计算 【变式3-1】．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 【变式3-3】．已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【题型4 与角平分线有关三角形内角和问题】 例4．如图，在中，，是的角平分线，交于点D，点E在边上，连接，，，求的度数． 解题通法 利用角平分线的定义，三角形内角和把相关问题集中在一个三角形中解决。 【变式4-1】．如图，在中，，，为三角形的角平分线，交于点D，求的度数． 【变式4-2】．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【变式4-3】．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 例5．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解题通法 利用折叠重叠部分对应角相等，结合三角形内角和解决 【变式5-1】．如图，将一角折叠，若，则 ． 【变式5-2】．如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 【变式5-3】．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 一、辨易错 混淆等腰三角形特殊性质出错。 例6．如图，中，，，D点在边AB上运动（与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点若是等腰三角形，则的值为 ．    【变式6-1】．已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是，那么这个等腰三角形顶角的度数是 2、 综合应用 例7．将三角尺（，）放置在上（点D在内），如图1，三角尺的两边，恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：当时，______°，______°； (2)类比探索：写出，与之间的数量关系，并说明理由； (3)变式探索：如图2，改变三角尺的位置，使点D在外，三角尺的两边，仍恰好经过点B和点C，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 【变式7-1】．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则________； (2)已知 是直角三角形，． ①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②E是边上一点，是“准互余三角形”，且，则的度数为__________． 例8．如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 例9．已知，如图，在中，平分交于点H，D、E分别在的延长线上，，． (1)求证：； (2)若比大．求的度数． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，连接，是线段上一点，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．自行车尾灯内部的角反射器由许多垂直的平面镜组成（如图①），其工作原理如图②所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．已知三角形的一个内角是，另两个内角的度数比为，则最大内角的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，已知中，，平分，，为上一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．一个三角形的三个角的比是，这是一个 三角形．（填“钝角”“锐角”“直角”） 10．如图，在中，和的平分线，相交于点G，若，则的度数为 ． 12．如图，位于A处的一艘军舰观测到一艘巡逻艇B在其南偏西的方向上，巡逻艇C在其南偏东方向上，已知，则的度数为 ． 13．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CF平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形． 15．如图，在中，．求x的值． 16．如图，已知：在中，，，点E、F分别为边、上的点，且．求证：． 证明：， （______）， ． 又， ____________． ， ______． （______）． 17．如图，在四边形中，，连接，点E在边上，点F在边上，且． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 18．如图，将三角形沿方向平移，得到三角形． (1)若，，求的度数； (2)若，，求平移的距离的长． 19．物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）利用这个知识人们制作了潜望镜，图①是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的．（请把下面的说理过程补充完整） 理由：（已知）， ∴______． （已知），， ，即______， （______）； 【尝试探究】 （2）如图②，若平面镜与的夹角，光线经过两次反射后，，仍可以使入射光线与反射光线平行，但方向相反．求的度数； 【拓展应用】 （3）两块平面镜，如图③放置，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，，，光线与相交于点O，请直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 20．已知：如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“8字形”．试解答下列问题： (1)根据图①，求之间的数量关系； (2)仔细观察，图②中“8字形”的个数有 个； (3)在图②中，若，，和分别平分和，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$