14.2 三角形全等的判定 教案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第5课时　直角三角形全等的判定(“HL”) 创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣 实际情境　如图14-2-100,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 图14-2-100 (1)你能帮他想个办法吗? (2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别相等,于是他就肯定这两个直角三角形全等,你同意他的结论吗? [教学提示] 教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考,并验证他的方法,从而展开对判定两个直角三角形全等的特殊条件的探索.先利用投影给出问题,再引导学生思考、验证. 归纳探究　1.判定两个三角形全等的方法有　　　　、　　　　、　　　　、　　　　.  2.如图14-2-101,AB⊥BE于点B,DE⊥BE于点E. 图14-2-101 (1)若∠A=∠D,AB=DE,则△ABC与△DEF　　　　,依据是　　　　;  (2)若∠A=∠D,BC=EF,则△ABC与△DEF　　　　,依据是　　　　;  (3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF　　　　,依据是　　　　;  (4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF,则△ABC与△DEF　　　　,依据是　　　　.  3.我们知道:满足“SSA”条件的两个三角形不一定全等,那么满足“SSA”条件的两个直角三角形(这个相等的角是直角)是否全等呢?如图14-2-101,AB⊥BE于点B,DE⊥BE于点E,若AB=DE,AC=DF,则Rt△ABC与Rt△DEF是否全等?现在我们就来研究这个问题.(引入新课) [教学提示] 在复习巩固原有知识的基础上,进一步探究直角三角形全等的判定方法,以培养学生分析问题、解决问题的能力.教师可进一步设计如下几个问题与学生共同探究. 如图14-2-102,对于非直角三角形,满足条件AB=AB,AC1=AC2,∠ABC1=∠ABC2的三角形有两个,即△ABC1和△ABC2,显然它们不全等.因为△ABC2比△ABC1多出了阴影部分,这部分就是等腰三角形AC1C2.其实我们还可以由∠AC2B是锐角而∠AC1B是钝角作出判断. 图14-2-102 图14-2-103 　　如图14-2-103,先准备一张等腰三角形纸片ABC(AB=AC),将它沿底边上的高AD所在的直线对折. 让学生猜测:高AD两侧的部分能否完全重合.为什么? 教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教材母题——第45页习题14.2第11题 如图14-2-104,在△ABC中,AB=AC,AD是高.求证:BD=CD;∠BAD=∠CAD. 图14-2-104 【模型建立】 直角三角形是三角形中的一类,一般三角形所具有的性质,直角三角形都具有,因此判定一般三角形全等的方法(“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)均可以用来判定两个直角三角形全等.由于直角三角形是特殊的三角形,因此它具备一般三角形所没有的特殊性质,也就有特殊的判定直角三角形全等的方法,即斜边、直角边(“HL”). 【变式变形】 1.如图14-2-105是用两根拉线固定电线杆的示意图.其中,两根拉线的长AB=AC,则BD和CD的长相等吗?为什么? [提示:由题意得AD⊥BC,则可利用“HL”证明Rt△ABD≌Rt△ACD,从而得到BD=CD] 图14-2-105 图14-2-106 2.如图14-2-106所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,点E在AD上.找出图中的全等三角形,并证明它们全等. [答案:有三对全等三角形,分别是△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△EBD≌△ECD　提示:先利用“SSS”证明△ABD≌△ACD,其他两组易证] 质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【评价角度1】 利用“HL”判定两个直角三角形全等 方法指引:“HL”只适用于判定两个直角三角形全等,对于一般三角形不适用. 例　已知:如图14-2-107,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E,F,DE=BF. 图14-2-107 求证:(1)AF=CE;(2)AB∥CD. [提示:利用“HL”证明Rt△CDE≌△Rt△ABF] 【评价角度2】 综合运用各种方法证明两个三角形全等 方法指引:判定两个三角形全等时,要注意对应边、角的相对位置关系,然后按照以下思路寻求解题方法: 1.已知两边 2.已知两角 3.已知一边一角 例　如图14-2-108所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则图中全等三角形共有 (B) 图14-2-108 A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 第5课时　直角三角形全等的判定(“HL”) 教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第5课时　直角三角形全等的判定(“HL”) 授课人 学习 目标 1.在操作、比较中理解直角三角形全等的过程,并能用于解决实际问题. 2.经历探索判定直角三角形全等的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力. 3.能利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等解决简单的问题. 学习 重点 理解利用“斜边、直角边”判定直角三角形全等的方法. 学习 难点 根据题目特征,选择适当的方法判定两个三角形全等. 授课 类型 新授课 课时 教具 三角板、直尺、圆规(多媒体课件及几何画板) 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 判断:具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A'B'C'(其中∠C=∠C'=90°)是否全等?若全等,在(　　)里填写理由;若不全等,在(　　)里打“×”: (1)AC=A'C',∠A=∠A';(　　) (2)AC=A'C',BC=B'C';(　　) (3)AB=A'B',∠B=∠B';(　　) (4)∠A=∠A',∠B=∠B';(　　) (5)AC=A'C',AB=A'B'.(　　) 教师活动:操作投影仪,提出问题,组织学生讨论. 学生活动:小组讨论,发表意见:“由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了.” 　　学生填空,回顾所学判定三角形全等的方法,使学生系统地把握前面所学的知识,并为后续问题的探究做铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 前面学习的三角形全等的判定方法,对满足条件的三角形都是适用的,同样也适用于直角三角形.因为两个直角三角形的直角相等,所以对于两个直角三角形,满足一直角边和它相对(或相邻)的锐角分别相等,或斜边和一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了.如果满足斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形全等吗? 　　从学生已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲,使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 如图14-2-109,在△ABC和△A'B'C'中,∠C'=∠C=90°,A'B'=AB,B'C'=BC.这两个三角形全等吗? 图14-2-109 图14-2-110 如图14-2-110,由∠C'=∠C=90°可知,如果使点C'与点C重合,并且使射线C'A'与射线CA重合,那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C'=BC,可知点B'与点B重合. 为了判断点A'与点A是否重合,我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. 设点M在直角边AC(不包括端点)上,连接BM,则∠BMA>∠C,∠BMA是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M',则有AB>BM'>BM.设点N在线段CA的延长线上,连接BN,同理可得BN>AB.因此,在射线CA上,与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A'在射线CA上,A'B'=AB,可知点A'与点A重合.这样,△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合,△A'B'C'与△ABC能够完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC. 一般地,有如下判定直角三角形全等的方法: 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言: 已知∠C=∠C1=90°.在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中, ∴Rt△ABC≌Rt△A1B1C1(HL). 　　1.巩固三角形的画法,培养学生的归纳、概括能力. 2.操作探究活动的设计不仅让学生直观地感受了“斜边、直角边”可以确定一个直角三角形的大小和形状,而且也让学生较好地感悟到了“斜边、直角边”可以判定两个直角三角形全等. 【应用举例】 例1　如图14-2-111,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证:BC=AD. 分析:如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD,就可以得出BC=AD.由题意可知,Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件. 证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠C=∠D=90°. 在Rt△ABC和Rt△BAD中, ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD. 教师活动:引导学生共同参与分析例题. 学生活动:参与教师分析,提出自己的见解. 图14-2-111 图14-2-112 变式　如图14-2-112,已知∠ACB=∠ADB=90°,要使△ABC≌△BAD,还需增加一个什么条件?把增加的条件填在横线上,并在后面相应的括号内填上判定它们全等的理由: (1)　　　　(　　　　);　(2)　　　　(　　　　);  (3)　　　　(　　　　);　(4)　　　　(　　　　).  [答案:(1)AC=BD　HL　(2)∠ABC=∠BAD　AAS　 (3)∠BAC=∠ABD　AAS　(4)BC=AD　HL] (续表) 活动 二: 探究 与 应用 例2　如图14-2-113,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠EFD的大小有什么关系? 解:由题意,得∠BAC=∠EDF=90°,BC=EF,AC=DF, ∴∠DEF+∠EFD=90°. 在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ∴∠ABC=∠DEF(全等三角形的对应角相等). ∴∠ABC+∠EFD=90°. 图14-2-113 图14-2-114 变式　如图14-2-114,AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,垂足分别为F,E,AE=CF.求证:BF=DE. 证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°. ∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中, ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE. 　　1.规范使用“HL”判定方法证明三角形全等的书写格式.在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用“SSA”来证明. 2.例题的设计在巩固新知识的同时也有效地培养了学生运用新知识解决问题的能力. 【拓展提升】 例3　(1)若两个直角三角形的两条直角边分别相等,则这两个直角三角形全等,依据是　SAS　;  (2)若两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等,则这两个直角三角形全等,依据是　AAS　;  (3)若两个直角三角形的一个锐角和一条直角边分别相等,则这两个直角三角形全等,依据是　AAS或ASA　;  (4)两个直角三角形全等的特殊条件是　斜边　和　直角边　分别相等.  问题:谈谈你对“两条边对应相等的两个直角三角形全等”这句话的理解. 例4　如图14-2-115,已知∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,BE=CD,AB交DC于点M,AC交BE于点N. 图14-2-115 求证:△ADM≌△AEN. [答案:略] 教师点拨:要证明△ADM≌△AEN,我们容易寻找到的条件是∠ADC=∠AEB=90°,其他条件都是未知的.考虑到AD=AE,∠DAM=∠EAN都可通过△ADC≌△AEB得到,故可考虑先证明△ADC≌△AEB.寻找未知的等边或等角时,常考虑转移到其他三角形中,利用三角形全等来进行证明. 学生活动:在教师的点拨和引导下,学生自主探究答案. 　　1.使学生准确把握直角三角形全等的所有判定方法. 　　2.该环节不仅进一步巩固了新知识,而且有效地拓展了学生的知识面和综合运用三角形全等的判定方法解决问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.满足下列条件的两个直角三角形不全等的是 (D) A.两条直角边分别相等 　　　 　　　 B.斜边和一锐角分别相等 C.斜边和一条直角边分别相等 　　　　 D.两个锐角分别相等 活动 三: 课堂 总结 反思 2.如图14-2-116,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,则△ADB与△ADC　全等　(填“全等”或“不全等”),依据为　HL　.  图14-2-116 图14-2-117 3.如图14-2-117所示,在四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,则∠BCD=　110°　.  4.如图14-2-118,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证:Rt△ABE≌Rt△CBF. 图14-2-118 证明:∵∠ABC=90°, ∴∠CBF=∠ABE=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). 　　当堂训练,及时反馈学习效果,进一步巩固所学知识. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行.在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时,要让学生进行合作交流.在寻找未知的等边或等角时,常考虑将其转移到其他三角形中,利用三角形全等来进行证明.此外,还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识. ②[讲授效果反思] 本节课从操作探究活动入手,有效地激发了学生的学习积极性和探究热情,提高了课堂的教学效率,促进了学生对新知识的理解和掌握.从课堂教学的情况来看,学生对“斜边、直角边”掌握较好,达到了教学的预期目的,存在的问题是少数学生在书写证明过程时,容易漏掉直角这一条件,还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练. ③[师生互动反思] 对于学生独立思考的问题,教师点拨在于关注关键点,细化问题,引导学生通过自主学习完成任务.对于通过小组合作完成的学习,教师在巡视过程中,参与学生的讨论,发现典型问题,讨论结束后由学生展示,以学生为主进行补充完善,教师总结提升. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　通过反思,更进一步提升教师的教学能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　尺规作图 创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣 置疑探究　学生思考并回答以下问题: 1.你知道什么是尺规作图吗? 2.你知道在尺规作图中直尺、圆规的作用吗? 3.你已经掌握了哪种基本的尺规作图? 4.你会利用尺规完成作一条线段等于已知线段的作图吗? 5.过直线外一点,作这条直线的平行线,又该如何作图呢? [教学提示] 这节课所学习的内容是在学生已有知识的基础上,通过回顾、动手操作、交流、讨论,激励学生主动参与到学习的过程中来,从而实现对新知识的理解和掌握. 质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【评价角度1】 利用尺规完成作一个角等于已知角及角的和、差、倍 方法指引:利用尺规完成角的作图时,往往会涉及角的和、差、倍,作图时要注意角的终边的位置. 例　如图14-2-81,已知∠BAC=α,∠DEF=β(α>β),求作∠MON=α-β. [答案:略] 图14-2-81 图14-2-82 【评价角度2】 利用尺规过直线外一点作一条或多条直线的平行线 方法指引:利用尺规过直线外一点作一条或多条直线的平行线时,需要注意已知直线的位置. 例　如图14-2-82,利用尺规,过点O分别作直线AB,CD的平行线l1,l2. [答案:略] 第4课时　尺规作图 教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第4课时　尺规作图 授课人 学 习 目 标 1.能用尺规完成作一个角等于已知角及角的和、差、倍. 2.能利用基本作图完成较复杂的图形作图过程. 3.在尺规作图过程中积累数学活动经验,培养学生的好奇心、探究问题的能力,提高学生的动手能力. 学习 重点 作一个角等于已知角. 学习 难点 利用基本作图完成相关图形的作图. 授课 类型 新授课 课时 教具 直尺、圆规(多媒体课件) 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 学生思考并回答以下问题: 1.你知道什么是尺规作图吗? 2.你知道在尺规作图中直尺、圆规的作用吗? 3.你已经掌握了哪种基本的尺规作图? 4.如图14-2-83,要在长方形木板上截一个平行四边形ABDC,使它的一组对边BD,AC与长方形木板的边缘重合. (1)请画出平行四边形ABDC; (2)如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺,你能画出平行四边形ABDC吗? 图14-2-83 　　在学生已有知识的基础上,通过回顾、动手操作、交流、讨论,激励学生主动参与到学习的过程中来,从而实现对新知识的理解和掌握. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 作一个角等于已知角 学生分小组讨论、交流上述问题的解决方法——过点C作AB的平行线. 教师再问:怎样才能保证我们作的过点C的直线一定能与直线AB平行呢? 学生再次进行小组讨论——使∠BAC的同位角与∠BAC相等. 例　如图14-2-84,已知:∠AOB. 求作:∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB. 图14-2-84 图14-2-85 教师讲解示范作图步骤,引导学生思考: (1)如图14-2-85所示的作图过程中,在两个图形中,能找出哪些对应相等的线段? 　　1.通过小组讨论、探究,培养学生合作交流的意识. 2.规范尺规作图的步骤,体会其中蕴含的数学知识,加深对尺规作图方法与原理的理解. 活动 二: 探究 与 应用 (2)这些对应相等的线段分别分布在哪些三角形中? (3)能判定这些三角形全等吗?依据是什么? (4)能否得到∠A'O'B'=∠AOB的结论? 学生按照教师示范,独立完成尺规作图,并思考以上问题,同桌之间订正作图步骤,并交流对以上问题的思考. 教师强调作一个角等于已知角与作一条线段等于已知线段一样,是基本的、常规的尺规作图.利用它可以进一步完成其他尺规作图. 【应用举例】 例1　如图14-2-86,已知∠α,求作∠β=2∠α. 图14-2-86　　　　　图14-2-87 解:作出∠β如图14-2-87所示. 学生独立完成,教师巡视,发现问题及时解决. 变式　如图14-2-88,已知∠BAC=α,∠DEF=β(α>β),求作∠MON=α+β. 图14-2-88 [答案:略] 例2　如图14-2-89,已知直线AB及直线AB外一点C.利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD. 图14-2-89 图14-2-90 解:作法:如图14-2-90. (1)过点C作一条直线,与直线AB相交于点E; (2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD,使∠FCD=∠CEB; (3)反向延长CD,得直线CD,则直线CD∥AB. 变式　如图14-2-91,要在长方形木板上截一个平行四边形ABDC,使它的一组对边BD,AC与长方形木板的边缘重合. (1)请画出平行四边形ABDC; (2)如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺,你能画出平行四边形ABDC吗? 图14-2-91 (续表) 活动 二: 探究 与 应用 例3　如图14-2-92,已知线段a,b和∠α,求作△ABC,使AB=a,AC=b,∠A=∠α. 图14-2-92 分析:①本题包含几种基本作图? ②对于本题先做哪种基本作图较容易些? 同学们以小组为单位,讨论、探究得出结论.(先作角相等,再作边相等) 解:作法:如图14-2-93. (1)作∠DAE=∠α; (2)在射线AD上作AB=a,在射线AE上作AC=b; (3)连接BC,则△ABC就是所求作的三角形. 图14-2-93 　　通过一系列问题的解决,训练学生发散性思维能力,解决问题的能力. 【拓展提升】 例4　如图14-2-94,打台球时,台球由点A出发撞击到台球桌边CD的点O处,请用尺规作图的方法作出台球反弹后的运动方向.(要求:不写作法,保留作图痕迹) 图14-2-94 图14-2-95 解:如图14-2-95,作∠DOA'=∠AOC,得到的射线OA'就是小球反弹后的运动方向. 　　该环节不仅进一步巩固了新知识,而且有效地拓展了学生的知识面,提高了综合所学基本作图方法解决问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图14-2-96,用尺规作出∠OBF=∠AOB,所作痕迹弧MN是 (D) 图14-2-96 A.以点B为圆心,OD为半径的弧 B.以点C为圆心,CD为半径的弧 C.以点E为圆心,OD为半径的弧 D.以点E为圆心,CD为半径的弧 2.小华在复习用尺规作一个角等于已知角时,回顾了作图的过程,如图14-2-97,她发现△OCD与△O'C'D'全等,小华的依据是 (A) 图14-2-97 A.SSS　　　B.SAS　　　C.ASA　　　D.AAS 　　1.当堂训练,巩固深化,及时反馈学习效果. 2.培养学生良好的学习习惯,巩固所学的知识,形成一定的数学能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 3.已知:如图14-2-98,D是△ABC的边AB上一点.求作:射线DE,使DE∥BC,交AC于点E. 图14-2-98 图14-2-99 解:如图14-2-99所示. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等,逐步探索出解决问题的方法,在这个过程中,学生不仅掌握了基本的作图技能,同时也增强了数学体验. ②[讲授效果反思] 在教学过程中注意规范尺规作图的步骤及作图语言的规范性. ③[师生互动反思] 例题教学时教师要注意:先让学生独立思考,再合作交流,更要注意师生互动. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师的教学能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2　三角形全等的判定 第1课时　三角形全等的判定(一)(“SAS”) 创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣 图14-2-1 实际情境　小伟作业本上画的三角形的一边被墨迹污损了,他想画一个与原来完全一样的三角形,他该怎么办呢?请你帮助小伟想一个办法,并说明你的理由. 问题:三角形有六个要素,我们从这个图形中能得到几个要素呢? 引导学生观察分析,继而引导学生分析“SAS”能否确定唯一的三角形. [教学提示] 通过污损图形引起学生的兴趣,使学生无法确定三角形的三边,为学习新课做好铺垫.尽量让学生充分探究“SSA”“AAS”“ASA”能否确定唯一的三角形,注意把握好度,探究出“SSA”不能确定唯一的三角形即可,判定方法“AAS”“ASA”可让学生课后思考. 置疑探究　 图14-2-2 1.猜一猜: 教师演示:把两根木条的一端用螺栓固定在一起. (1)连接另两端所成的三角形能唯一确定吗? (2)如果将两根木条之间的夹角(即∠BAC)大小固定,那么△ABC能唯一确定吗? 2.做一做: (1)用量角器和刻度尺画△ABC,使AB=2 cm,BC=2.5 cm,∠ABC=60°.学生动手画图,然后剪下来,再与其他同学进行比较.(带着以上两个问题,学生小组合作动手实验,验证猜想) (2)将∠ABC的度数换成20°,再试一试,情况会怎么样? 通过“猜一猜”和“做一做”,你能归纳两个三角形全等的判定方法吗?(引入新课) [教学提示] 通过操作、观察、分析、归纳、总结,让学生体会到成功的喜悦,培养学生的观察、分析能力.教学中教师要注意引导学生讨论、交流并归纳得出“边角边”.教师可进一步设计如下问题:(3)画△ABC,使AB=2 cm,BC=2.5 cm,∠ACB=40°.学生动手画图,然后剪下来,再与其他同学进行比较(学生画出的三角形可能有锐角三角形,也可能有钝角三角形),并与学生一起归纳得出:“SSA”不能作为判定两个三角形全等的依据,进而强调“SAS”中的角必须是对应相等的两边的夹角. 教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教材母题——第43页习题14.2第2题 如图14-2-3,AB=AC,AD=AE.求证∠B=∠C. 图14-2-3 【模型建立】 解决此类问题要先找出证明两个三角形全等所需的条件,利用“SAS”证明两个三角形全等要充分利用公共角或对顶角等相等条件,有时还要注意等式性质的应用. 【变式变形】 1.如图14-2-4,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于 (A) 　图14-2-4 A.60° B.50° C.45° D.30° 2.如图14-2-5,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,求证:△ABC≌△AED. [提示:先由∠BAD=∠EAC得到∠BAC=∠EAD,再利用“SAS”证明△ABC≌△AED] 图14-2-5 3.如图14-2-6,AD=AE,∠EAB=∠DAC,AB=AC.求证:∠B=∠C. [提示:证明△ABD≌△ACE] 4.如图14-2-7所示,已知AB=AC,∠1=∠2,AD=AE.求证:∠C=∠B. [提示:证明△ABD≌△ACE] 图14-2-6 图14-2-7 图14-2-8 5.已知:如图14-2-8,点D在AC上,点E在AB上,AE=AD,BD,CE相交于点O,连接AO,∠1=∠2.求证:∠B=∠C. 证明:在△AEO和△ADO中,∴△AEO≌△ADO(SAS). ∴∠AEO=∠ADO(全等三角形的对应角相等). ∵∠AEO=∠EOB+∠B,∠ADO=∠DOC+∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和), ∴∠EOB+∠B=∠DOC+∠C(等量代换). 又∵∠EOB=∠DOC(对顶角相等), ∴∠B=∠C(等式的性质). 质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　【评价角度1】 依据“SAS”补充判定两个三角形全等的条件 方法指引:对照“SAS”应具备的三个条件,找出缺少的一个.解题时注意两点:一是挖掘公共边、公共角等图形中的隐含条件,二是注意“SAS”中的“角”是两条对应边的夹角,而非两条对应边中一边的对角. 例　如图14-2-9,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,你添加的条件是　AB=DE　.  图14-2-9 【评价角度2】 利用“SAS”及全等三角形的性质进行证明 方法指引:利用全等解决问题的思路:(1)从已知出发,探究要证明的线段或角分别在哪两个三角形中;(2)分解图形——将要证全等的三角形从“复合”图形中分离出来;(3)“移植”条件——将已知转移至图形,再根据已知条件及隐含条件寻求恰当的判定方法. 例1　如图14-2-10,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证:△ADF≌△BCE. [提示:先由AE=BF得到AF=BE,再利用“SAS”证明△ADF≌△BCE] 图14-2-10 例2　如图14-2-11所示,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD. 求证:AB∥CD. 图14-2-11 [提示:图中隐含对顶角,利用“SAS”证明△AOB≌△COD] 【评价角度3】 利用“SAS”及全等三角形的性质进行计算 方法指引:先证明与所求角或者线段有关的两个三角形全等,再利用全等三角形的性质得到相等关系,进而求出角度或者线段长. 例1　如图14-2-12,已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE. 图14-2-12 (1)求证:△ABE≌△DCE; (2)若AB=5,求CD的长. [答案:(1)略　(2)5] 例2　如图14-2-13,点B,F,C,E在同一直线上,AC,DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE. 图14-2-13 (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)若∠A=65°,求∠AGF的度数. [答案:(1)略　(2)50°] 14.2　三角形全等的判定 第1课时　三角形全等的判定(一)(“SAS”) 教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第1课时　 三角形全等的判定(一)(“SAS”) 授课人 学习 目标 1.掌握利用“边角边”判定两个三角形全等的方法. 2.经历探究三角形全等的判定方法的过程,学会解决简单的推理问题. 3.培养学生严谨的推理能力及自主合作的精神,体会逻辑推理的思维价值. 学习 重点 掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法. 学习 难点 掌握图形特征,寻找适合条件的两个三角形. 授课 类型 新授课 课时 教具 三角板、圆规(多媒体课件及几何画板) 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.什么叫作全等三角形? 答:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 2.全等三角形有什么性质? 答:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等. 　 复习学过的旧知识,为新知识的建构奠定基础. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 具备什么条件的两个三角形全等呢?我们从构成三角形的元素——边、角的关系出发,研究三角形全等的判定方法.根据全等三角形的定义,如果△ABC与△A'B'C'满足三条边分别相等,三个角分别相等,即AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A',∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',就能判定△ABC≌△A'B'C'(如图14-2-14). 图14-2-14 一定要满足三条边分别相等,三个角也分别相等,才能保证两个三角形全等吗?上述六个条件中,有些条件是相关的.能否在上述六个条件中选择部分条件,简捷地判定两个三角形全等呢? 我们按照条件由少到多的顺序进行研究. 　由已学习的知识提出设问,引发学生自己思考,激发学生的学习兴趣,探究新知. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 探究满足六个条件中的几个可以证明两个三角形全等 思考:如果只满足六个条件中的一部分,那么△ABC与△A'B'C'全等吗? 先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C'满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等).你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 问题1:当满足一个条件时,△A'B'C'与△ABC全等吗? ①当只有一条边相等时,如BC=B'C',画△ABC与△A'B'C'如图14-2-15: 图14-2-15 ②当只有一个角相等时,如∠B=∠B'=60°,画△ABC与△A'B'C'如图14-2-16: 图14-2-16 答:不能. 问题2:当满足两个条件时,△A'B'C'与△ABC全等吗? ①当一条边和一个角相等时,如∠B=∠B'=30°,BC=B'C',画△ABC与△A'B'C'如图14-2-17: 图14-2-17 ②当有两个角相等时,如∠B=∠B'=30°,∠C=∠C'=50°,画△ABC与△A'B'C'如图14-2-18: 图14-2-18 　　1.进一步学习三角形的画法,从操作中体会三角形全等的条件. 活动 二: 探究 与 应用 ③当有两条边相等时,如AB=A'B',BC=B'C',画△ABC与△A'B'C'如图14-2-19: 图14-2-19 答:不能. 问题3:当满足三个条件时,△A'B'C'与△ABC全等吗?满足三个条件时,又分为几种情况呢? 我们依次讨论:①两边一角;②两角一边;③三边;④三角. 本节我们先探究两边一角. 【探究2】 利用“SAS”判定两个三角形全等 思考:如图14-2-20,直观上,如果∠A,AB,AC的大小确定了,△ABC的形状、大小也就确定了.也就是说,在△A'B'C'与△ABC中,如果∠A'=∠A,A'B'=AB,A'C'=AC,那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗? 图14-2-20 图14-2-21 如图14-2-21,由∠A'=∠A可知,如果使点A'与点A重合,并且使射线A'B'与射线AB重合,那么射线A'C'与射线AC重合.再由A'B'=AB,A'C'=AC,可知点B',C'分别与点B,C重合.这样,△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合,△A'B'C'与△ABC能够完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC. 结论:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 几何语言:如图14-2-22,在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SAS). 图14-2-22 【探究3】 利用“SSA”不能判定两个三角形全等 思考:我们知道,如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等.如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等,那么这两个三角形全等吗? 如图14-2-23,△ABC和△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等,即AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD显然不全等. 图14-2-23 结论:两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 强调:利用“SAS”判定两个三角形全等时,角必须是两条相等边的夹角,边必须是夹相等角的两边. 　　2.使学生认识到“边边角”不能判定两个三角形全等,只有两边和它们的夹角分别相等才能判定两个三角形全等. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　如图14-2-24,AC=AD,AB平分∠CAD,求证:∠C=∠D. 图14-2-24 证明:∵AB平分∠CAD, ∴∠CAB=∠DAB. 在△ABC和△ABD中, ∴△ABC≌△ABD(SAS).∴∠C=∠D. 例2　如图14-2-25,点C,D在AB上,且AC=BD,AE=BF,AE∥BF.求证:△AED≌△BFC. 图14-2-25 证明:∵AE∥BF,∴∠A=∠B. ∵AC=BD,∴AC+CD=BD+CD, 即AD=BC. 在△AED和△BFC中, ∴△AED≌△BFC(SAS). 变式一　如图14-2-26,CA=CD,∠1=∠2,BC=EC.求证:AB=DE. 图14-2-26 分析:(1)要证AB=DE,可以证明AB与DE所在的　△ABC　和　△DEC　全等;  (2)在证明△ABC与△DEC全等时,题目中哪些条件可以直接使用?为什么? (3)在证明△ABC与△DEC全等时,题目中哪些条件不可以直接使用?为什么?但由这个条件可以推出　∠ACB　=　∠DCE　,从而可以用什么方法判定△ABC与△DEC全等?  (4)写出证明过程. [答案:(2)条件CA=CD,BC=EC可以直接使用　理由略　(3)条件∠1=∠2不可以直接使用　理由略　可以利用“SAS”判定△ABC与△DEC全等　(4)略] 变式二　已知:如图14-2-27,点A,F,E,C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF. 图14-2-27 求证:AB∥CD. 证明:∵BE∥DF,∴∠BEA=∠DFC. ∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF. 在△AEB和△CFD中, ∴△AEB≌△CFD(SAS).∴∠A=∠C.∴AB∥CD. 　　1.让学生参与到教师的讲例之中,领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写. 2.教师讲例,学生接受式学习,但要积极参与,强化学生对“边角边”判定方法的理解. 3.通过例题及变式,强化学生对“边角边”判定方法的理解. 【拓展提升】 例3　如图14-2-28,已知点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,且AB=CD,BC=DE,AC是否垂直于CE?为什么? 图14-2-28 [答案:AC⊥CE　理由略] 引申:若将△CDE沿CB方向平移,且其余条件不变,如图14-2-29所示的各种情况,则结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由. 活动 二: 探究 与 应用 图14-2-29 [答案:AC1⊥C2E　理由略] 这组提高题是围绕着图14-2-28展开的,在拓展思维的同时也培养了学生综合运用知识的能力,实现了方法上的迁移. 学生运用所学由浅入深,由一题展开,攻克了一个个难关,在提高综合运用知识的能力的同时,也体会到较复杂图形都是由一些基本图形经过几何变换得到的,体会变化中不变的量,提供分析的思路和方法,突出了“训练为主线,思维为主攻”的原则. 　　1.通过动态形象地演示,使学生发现规律,并加强学生对知识的理解,借此也培养了学生仔细观察的能力. 2.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图14-2-30,AB=AE,若要直接根据“SAS”判定△ABC≌△AED,则需添加条件:　答案不唯一,如AC=AD　(写出一个即可).  图14-2-30 图14-2-31 2.如图14-2-31,AB=DB,BC=BE,若要根据“SAS”判定△ABE≌△DBC,则需要增加的条件是 (D) A.∠A=∠D　　　　　　　　B.∠E=∠C C.∠A=∠C D.∠ABD=∠EBC 3.某学校计划为新生配备如图14-2-32①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(材料的宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长度相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB=　30　cm.  图14-2-32 图14-2-33 4.如图14-2-33,点E,F在AC上,AD∥BC,AD=CB,AE=CF. 求证:∠D=∠B. 证明:∵AD∥BC,∴∠A=∠C. ∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE. 在△AFD和△CEB中, ∴△AFD≌△CEB(SAS).∴∠D=∠B. 　　当堂训练,巩固深化,强化学生对“边角边”判定方法的理解,规范证明三角形全等的书写格式. 活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 (1)请你叙述判定三角形全等的基本事实——“边角边”.全等三角形的判定方法“SAS”(“边角边”)中的“角”是两条对应边的夹角,三个条件放在一起书写时通常把等角条件放在两个等边条件中间.注意这个对应角不能是其中一条对应边的对角,即不存在全等三角形的判定方法“SSA”. (2)证明两个三角形全等的思路:首先分析条件,观察已经具备了什么条件;然后以已具备的条件为基础,根据全等三角形的判定方法来确定还需要证明哪些边或角相等,再设法证明这些边或角相等. 　　系统归纳本节知识点,提高学生归纳问题的能力. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 让学生在作图过程中体会三角形全等的条件,在直观的操作过程中发现问题、获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力. ②[讲授效果反思] 教师讲解例题时要使学生明确:证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.学习要善于总结,在总结中提高.应给学生搭建一个质疑、交流和相互学习的平台,保证此环节的时间(3~4分钟)和质量,引导学生从知识、方法、学习习惯等多方面进行总结和反思. ③[师生互动反思] 知识、方法方面的收获,教师要适时点拨,点出本节课所用到的数学思想、方法,这是学习的精髓,但不能忽视学生其他方面的收获,如好的听课习惯,好的思维、设想,要互相学习,这些好的收获更有助于学生全面、和谐发展. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及数学体系,更进一步提升教师的教学能力. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　 三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”) 创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣 悬念激趣　创设情境: 图14-2-34 一天,小明不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块,为了换一块完全一样的玻璃,他从打碎的三块玻璃中选一块带到玻璃店,小明的想法可行吗?若可行,你认为小明应该带哪块玻璃去玻璃店呢?为什么?请同学们讨论一下.(思考后请同学们回答) [教学提示] 创设学生所熟悉的、鲜活的生活情境,从学生已有的生活经验和知识体验开始导入新课,使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程,激发学生强烈的好奇心和求知欲.学生回答后,教师应给予鼓励,对回答的正确与否不做解释与评价,留一个悬念而后展开新课. 教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教材母题——第45页习题14.2第15题 如图14-2-35,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥DE,AC∥DF.求证:AB=DE,AC=DF. 【模型建立】 (1)证明两条线段相等,可证它们所在的两个三角形全等;(2)由两直线平行可得同位角相等或者内错角相等或者同旁内角互补;(3)若能证明两个三角形的两组角分别相等,则证明两个三角形全等时,应选择判定方法“ASA”或“AAS”. 图14-2-35 图14-2-36 【变式变形】 1.如图14-2-36,已知AE=CF,∠A=∠C,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是 (C) A.∠D=∠B B.AD=CB C.BE=DF D.∠AFD=∠CEB 2.如图14-2-37,点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,AB∥DE,AC∥DF. 求证:FB=CE.[提示:利用“AAS”证明△ABC≌△DEF] 3.如图14-2-37,点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,FB=CE,AB∥DE. 求证:AC∥DF.[提示:利用“SAS”证明△ABC≌△DEF] 图14-2-37 图14-2-38 4.如图14-2-38,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F. 求证:△ABC≌△DEF.[提示:利用“ASA”证明△ABC≌△DEF] 5.如图14-2-39,已知点A,F,E,C在同一直线上,AB∥CD,∠1=∠2,AF=CE. (1)写出图中所有全等的三角形; (2)选择其中一对进行证明. 图14-2-39 [答案:(1)△AFD≌△CEB,△ABC≌△CDA,△ABE≌△CDF　(2)略] 质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　【评价角度1】 利用“角边角”或“角角边”证明两个三角形全等 方法指引:(1)已知两个三角形的两组角分别相等,要证明这两个三角形全等,应选择判定方法“ASA”或“AAS”;(2)在利用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等时,要注意题目的隐含条件,如公共边、公共角、对顶角等;(3)在利用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等时,经常与平行线结合,利用平行线的性质得到两角相等或互补,再证明全等. 　　例　如图14-2-40,在四边形ABCD中,点E在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE.求证:△ABC≌△DEC. 图14-2-40 证明:如图14-2-41,∵∠BCE=∠ACD=90°, ∴∠3+∠4=∠4+∠5.∴∠3=∠5. 在△ACD中,∵∠ACD=90°,∴∠2+∠D=90°. 图14-2-41 ∵∠BAE=∠1+∠2=90°, ∴∠1=∠D. 在△ABC和△DEC中, ∴△ABC≌△DEC(AAS). 【评价角度2】 利用三角形全等证明线段(或角)相等 方法指引:证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.证三角形全等时,缺少的条件有时需要另一对全等三角形来提供.证线段(或角)相等往往转化为证线段(或角)所在的两个三角形全等,当需要证的两个三角形不满足全等的条件时,还需要添加辅助线,构造出全等三角形. 例　已知:如图14-2-42所示,∠ACB=∠CBD=90°,点E在BC边上,过点C作CF⊥AE于点F,延长CF交BD于点D,且CD=AE. 图14-2-42 求证:AC=BC. [答案:略] 【评价角度3】 利用全等三角形的判定与性质求线段长或角度 方法指引:通常先判定两个三角形全等,再利用全等三角形的性质确定线段(或角)之间的相等关系,最后将所求线段(或角)转化为已知量进行计算,解题步骤中体现了转化思想的具体应用. 例　如图14-2-43,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=8,CF=5,求BD的长. 图14-2-43 [答案:3] 【评价角度4】 利用全等三角形证明线段的和差问题 方法指引:当一个图形中有多个垂直关系时,常用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等.证明线段的和差问题通常采用的方法有等量代换法和截长补短法. 例　如图14-2-44所示,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,过点A任作一条直线AN,分别过点B,C作BD⊥AN于点D,CE⊥AN于点E.求证:DE=BD-CE. 图14-2-44 证明:∵∠BAC=90°,BD⊥AN, ∴∠BAD+∠CAE=90°,∠ABD+∠BAD=90°. ∴∠CAE=∠ABD. ∵BD⊥AN,CE⊥AN,∴∠BDA=∠AEC=90°. 在△ABD和△CAE中, ∴△ABD≌△CAE(AAS). ∴BD=AE,AD=CE(全等三角形的对应边相等). ∵DE=AE-AD,∴DE=BD-CE. 第2课时　 三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”) 教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第2课时　三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”) 授课人 学 习 目 标 1.理解“角边角”“角角边”条件的内容;能利用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等. 2.使学生经历探究三角形全等的条件的过程;体验用操作、归纳得出数学结论的过程. 3.会用“角边角”“角角边”解决具体问题;能利用全等解决角相等和线段相等的问题. 4.培养学生严谨的推理能力,感悟三角形全等的应用价值. 学习 重点 应用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等. 学习 难点 把握综合分析法的思想,寻找问题的切入点. 授课 类型 新授课 课时 教具 三角板、圆规(多媒体课件及几何画板) 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图14-2-45,一个教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了,你能制作一张和原来一样的三角形硬纸板吗? 图14-2-45 　　1.创造性的问题设计使学生快速集中精力,调整听课状态. 2.知识的呈现过程与学生的生活密切联系起来,学有用的数学,激发学生的学习兴趣. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 利用“ASA”判定两个三角形全等 思考: 1.在△ABC中,如果AB,∠A,∠B的大小确定了,那么△ABC的形状、大小确定了吗?(确定了) 2.如图14-2-46,在△A'B'C'和△ABC中,如果A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B,那么△A'B'C'≌△ABC,这个判断正确吗? 图14-2-46 学生活动:动手操作,感知问题的规律. 作法:(1)如图14-2-47,由A'B'=AB可知,如果使点A与点A'重合,点B'在射线AB上,那么点B'与点B重合. 图14-2-47 (2)由∠A'=∠A,∠B'=∠B,可知射线A'C'与射线AC,射线B'C'与射线BC重合. (3)射线A'C',B'C'的交点C'与射线AC,BC的交点C重合. 结论:△A'B'C'≌△ABC成立. 3.再换两个三角形试一下,结论是否仍然成立呢? 4.你能用语言描述上面的基本事实吗? 探究规律:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 几何语言: 如图14-2-48,在△ABC和△A'B'C'中, 图14-2-48 ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA). 【探究2】 利用“AAS”判定两个三角形全等 思考:如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等,那么这两个三角形全等吗? 我们发现:已知两个三角形的两角分别相等,那么它们的第三个角也相等.如图14-2-49,在△A'B'C'和△ABC中,如果∠A'=∠A,∠B'=∠B,那么∠C'=∠C,你知道为什么吗? 图14-2-49 学生回答: 根据三角形的内角和定理,得∠C'=180°-∠A'-∠B', ∠C=180°-∠A-∠B. 又∵∠A'=∠A,∠B'=∠B, ∴∠C'=∠C. 教师提问:如图14-2-50,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C',△ABC与△A'B'C'全等吗? 图14-2-50 　　让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析问题、探究问题的能力,合作和竞争的意识,体会合作交流的重要性. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 学生活动:运用三角形的内角和定理以及“ASA”便能证出△ABC≌△A'B'C',并且归纳如下: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言: 如图14-2-51,在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'(AAS). 图14-2-51 【应用举例】 例1　如图14-2-52,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.[答案:略] 图14-2-52 教师活动:引导学生,分析例题.关键是寻找和已知条件有关的△ACD和△ABE,再证它们全等,从而得出AD=AE. 师生互动:先让学生独立思考,再互相讨论、交流,然后引导学生分析已知条件,以及判定两个三角形全等还需要的条件,写出判定两个三角形全等的过程. 例2　如图14-2-53,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B,D,且∠1=∠2.求证:AB=AD. 图14-2-53 证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°. 在△ABC和△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(AAS).∴AB=AD. 变式　如图14-2-54,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O.求证:△BOD≌△COE. 图14-2-54 [答案:略] 教师点拨:由已知条件容易得到:∠BOD=∠COE,∠BDO=∠CEO,因此,要证明△BOD≌△COE还差一组边相等,由于AB=AC,所以可考虑证明BD=CE. 学生活动:在教师的点拨和引导下,学生自主探究答案. 　　1.培养学生的逻辑推理能力和独立思考的能力,会利用 “ASA”“AAS”判定两个三角形全等,规范书写证明过程. 2.培养学生的符号感,体会数学知识的严谨性. 【拓展提升】 例3　如图14-2-55,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,求BE的长. 图14-2-55 [答案:BE=0.8 cm] 注意事项: 在合作探究环节中,教师要关注学生在展示过程中出现的问题,并及时予以点拨. 　　巩固本节课所学知识,提升学生综合应用所学知识解决问题的能力. (续表) 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图14-2-56,甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的是(D) 图14-2-56 A.只有乙　　　B.只有丙　　　C.甲和乙　　　D.乙和丙 2.如图14-2-57,已知∠1=∠2,BE=CD,根据“　AAS　”可知△ABE≌△ACD.若AB=5,AE=2,则CE=　3　.  图14-2-57 图14-2-58 3.如图14-2-58,已知∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,求证:△ABC≌△DCB. 证明:在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB(ASA). 图14-2-59 4.如图14-2-59,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使CD=BC,再画出BF的垂线DE,使点E与点A,C在一条直线上,这时测得DE的长度就是AB的长.为什么?[提示:证明△EDC≌△ABC] 　　当堂训练,及时反馈学习效果. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 新课导入要注意培养学生的逻辑推理能力、语言表达能力,规范书写证明过程.课堂总结中,对学过的全等三角形的判定方法进行总结,形成知识结构示意图,沟通知识联系,构建知识体系. ②[讲授效果反思] 教学中应使学生正确地理解全等三角形的判定方法,并能用它来解决实际问题.教师应注意及时了解学生掌握全等三角形判定方法的情况. ③[师生互动反思] 本节课通过生活情境引入问题,让学生亲身体验、动手操作来探究三角形全等的条件.整个探索过程,不仅是教师引导学生的过程,同时也是教师从学生的角度考虑问题、顾及全面、充分准备好自己的心理提升. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　通过反思,更进一步提升教师的教学能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　三角形全等的判定(三)(“SSS”) 创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣 置疑探究　探究一:请各位同学用课前准备好的长度分别为3 cm,4 cm,6 cm的细棒拼三角形,和邻桌同学比较,你们拼出的三角形一定全等吗? 图14-2-60 探究二:先任意画出一个△ABC,再画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC.把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们能重合吗? [教学提示] 通过学生拼接、画图、观察、比较、交流等,初步探索出两个三角形全等的条件,同时增强学生的动手操作能力.本环节要注重学生的操作过程,让学生体会利用“SSS”判定三角形全等,为后面进一步探究做铺垫.教师鼓励学生大胆猜测分析,尽量让学生自主、充分地探究. 教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教材母题——教材第44页习题14.2第7题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 如图14-2-61,AB=AD,AC=AE,BC=DE.求证∠BAC=∠DAE. 图14-2-61 【模型建立】 解决此类问题要先根据图形分析证明三角形全等所需要的条件,分析条件时注意公共边是对应边,还要注意等式性质的应用. 【变式变形】 1.如图14-2-62,在四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD.求证:△ABC≌△CDA. 证明:在△ABC和△CDA中, ∴△ABC≌△CDA(SSS). 2.已知:如图14-2-63,A,E,F,C四点共线,BF=DE,AB=CD.请你添加一个条件,使△DEC≌△BFA.[答案:答案不唯一,如AE=CF] 3.已知:如图14-2-64,点B,E,C,F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:AB∥DE,AC∥DF.[提示:利用“SSS”证明△ABC≌△DEF] 图14-2-62 图14-2-63 图14-2-64 图14-2-65 4.如图14-2-65所示,AB=AE,BC=DE,AC=AD. 求证:∠1=∠2.[提示:利用“SSS”证明△ABC≌△AED] 质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【评价角度1】 根据“SSS”补充判定两个三角形全等的条件 方法指引:若两个三角形中已知两边分别相等,则当第三边也相等时,这两个三角形全等.有时要注意挖掘公共边或者有重叠部分的边的关系. 例　如图14-2-66,在△ABC和△DEF中,点B,E,C,F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个什么条件? 图14-2-66 小明的答案是:BC=EF;小红的答案是:BE=CF. 则以下判断正确的是 (C) A.小明的答案正确,小红的答案错误 B.小明的答案错误,小红的答案正确 C.小明与小红的答案都正确 D.小明与小红的答案都错误 【评价角度2】 直接利用判定三角形全等的基本事实——“SSS”证明两个三角形全等 方法指引:运用“SSS”证明两个三角形全等时,注意题目中的隐含条件,例如公共边、线段的中点等. 例　工人师傅常用角尺平分一个任意角.如图14-2-67,在∠AOB的边OA,OB上分别取点M,N,且OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合.过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线.为什么? 图14-2-67 解:在△CMO和△CNO中, ∴△CMO≌△CNO(SSS). ∴∠COM=∠CON. ∴OC是∠AOB的平分线. 【评价角度3】 通过添加辅助线利用“SSS”证明两个三角形全等 方法指引:若要证两个角相等,但由已知无法证得它们所在的两个三角形全等,这时可以通过添加适当的辅助线(常常为公共边),让它们在两个合适的三角形中,通过证明它们所在的两个三角形全等来证明这两个角相等. 例　已知:如图14-2-68,AC=BD,AD=BC. 图14-2-68 求证:∠D=∠C. [提示:连接AB,利用“SSS”证明△ABD≌△BAC] 第3课时　三角形全等的判定(三)(“SSS”) 教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第3课时　三角形全等的判定(三)(“SSS”) 授课人 学 习 目 标 1.掌握已知三边画三角形的方法. 2.初步掌握运用“SSS”判定两个三角形全等的方法. 3.使学生经历探索三角形全等的条件的过程. 4.通过基本事实的初步应用,培养学生的逻辑推理能力. 学习 重点 通过观察和实验操作,利用“SSS”判定两个三角形全等. 学习 难点 会利用“SSS”判定两个三角形全等. 授课 类型 新授课 课时 教具 直尺、圆规、三角板、量角器、剪刀、硬纸片(多媒体课件) 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.什么叫作全等三角形? 2.全等三角形有什么性质? 3.你知道的全等三角形的判定方法有哪些? 　　回忆旧知识,为探究新知识做好准备. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 思考:如图14-2-69,直观上,AB,BC,CA的大小确定了,△ABC的形状、大小也就确定了.也就是说,在△A'B'C'与△ABC中,如果A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗? 图14-2-69 　　提出问题,明确探究方向,激发学生的探究欲望. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 利用“SSS”判定两个三角形全等 如图14-2-70,由A'B'=AB可知,如果使点A'与点A重合,点B'在射线AB上,那么点B'与点B重合.另外,使点C'落在直线AB的含有点C的一侧.由于点C是以点A为圆心、AC为半径的圆和以点B为圆心、BC为半径的圆的交点,点C'是以点A'为圆心、A'C'为半径的圆和以点B'为圆心、B'C'为半径的圆的交点,所以由A'C'=AC,B'C'=BC可知点C'与点C重合.这样,△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合,△A'B'C'与△ABC能够完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC. 图14-2-70 【探究2】 已知三边作三角形 学生活动:拿出直尺和圆规按下面的要求作图. 如图14-2-71,已知三条线段a,b,c(其中任意两条线段的和大于第三条线段),求作△ABC,使其三边分别为a,b,c. 图14-2-71 图14-2-72 作法:如图14-2-72. (1)作段AB=c; (2)分别以点A,B为圆心,线段b,a为半径作弧,两弧相交于点C; (3)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形. 　　让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力,合作和竞争的意识,体会合作交流的重要性. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 教师活动:巡视、指导,引入问题:上述尺规作图的结果反映了什么规律? 学生活动:在思考、实践的基础上归纳出判定两个三角形全等的基本事实:三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 再次让学生描述全等三角形的性质,从而为全等三角形的应用做铺垫. 【探究3】 利用“AAA”不能判定两个三角形全等 教师提问:三角分别相等的两个三角形全等吗? 学生活动:与同伴交流,得到三角分别相等的两个三角形不一定全等.拿出三角板进行说明,如图14-2-73,在三角板的内外边形成的△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',但是△ABC和△A'B'C'不全等(形状相同,大小不等). 图14-2-73 注意事项: 有了前几次探究三角形全等的经验,学生会比较顺利地画图验证,互相之间进行比较,得出结论,但是在表达判定方法时,部分学生会有困难,教师要着重锻炼学生准确、严谨、简练的数学语言的表达. 【应用举例】 例1　在如图14-2-74所示的三角形钢架中,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证:AD⊥BC. 图14-2-74 分析:如果△ABD≌△ACD,那么∠ADB=∠ADC,从而有AD⊥BC.而△ABD与△ACD具备“边边边”的条件. 证明:∵D是BC的中点, ∴BD=CD. 在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠ADB=∠ADC. 又∠ADB+∠ADC=180°, ∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC. 变式　如图14-2-75,AB=AE,AC=AD,BD=CE.求证:△ABC≌△AED.　 图14-2-75 证明:∵BD=CE, ∴BD-CD=CE-CD, 即BC=ED. 在△ABC和△AED中, ∴△ABC≌△AED(SSS). 　　1.范例点击,应用所学. 2.教师充分利用例1使学生明确:证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　如图14-2-76所示,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成一对全等的三角形吗?你有几种方法?能证明你的方法吗? 图14-2-76　　 [答案:略] 学生根据全等三角形的判定方法“边边边”独立解题,教师巡视,适时指导,之后集体订正,学生互相释疑. 　　通过开放性问题训练学生发散性思维能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图14-2-77,已知AC=AD,当　BC=BD　时,可直接根据“SSS”判定△ABC≌△ABD.  图14-2-77 2.如图14-2-78,D,F是线段BC上的两点,AB=CE,AF=DE,要使△ABF≌△ECD,还需要添加条件　答案不唯一,如BF=CD　.(填一个条件即可)  图14-2-78 3.春天,小明制作了如图14-2-79所示的风筝(BD>AB,CD>AC),他想验证∠B和∠C是否相等,但他手头上只有一把足够长的尺子,你能帮他想个办法吗?请说明你的理由. [答案:用尺子测量AB,AC,BD,CD的长度.若AB=AC,BC=CD,则∠B=∠C　理由略] 图14-2-79 　 图14-2-80 4.如图14-2-80,在一个平分角的仪器中,AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的平分线,你能说明其中的道理吗? [提示:利用“SSS”证明△ACD≌△ACB] 　　1.当堂训练,巩固深化,及时反馈学习效果. 2.培养学生良好的学习习惯,巩固所学的知识,形成一定的数学能力. (续表) 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等,逐步探索出最后的结论——“边边边”,在这个过程中,学生不仅得到了判定两个三角形全等的方法,同时增强了数学体验. ②[讲授效果反思] 证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,也可以是定义、基本事实、定理等. ③[师生互动反思] 例题教学时教师要注意:先让学生独立思考,再合作交流,更要注意师生互动. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师的教学能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$