13.2.1 三角形的边（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.2.1 三角形的边（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边（理论依据：两点之间线段最短）. 推论：三角形任意两边的差小于第三边.（理论依据：等式的性质1） 要点诠释： （1） 判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （2）应用三角形的边的关系能够证明线段之间的不等关系 【题型1 构成三角形的条件】 例1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 解题通法： 只要满足较短的两边之和大于第三边即可。 【变式1-1】．若的两边长分别为3和8，则第三边的长不可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【变式1-2】．两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 【变式1-3】．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【题型2 确定第三边的取值范围】 例2．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 解题通法： 第三边满足大于两边之差，小于两边之和列不等式组即可 【变式2-1】．若的三条边长分别为，，，则x的取值范围 ． 【变式2-2】．已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 【变式2-3】．两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 【题型3 三角形三边关系的应用】 例3．已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． ①利用三角形边的关系确定字母取值范围； ②利用三角形三边关系去绝对值，进行化简。 【变式3-1】．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【变式3-2】．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【变式3-3】．已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【题型4 利用三角形三边关系证明不等关系】 例4．如图，已知点为内任意一点.证明： （1）. （2）. （3）若，，为三个城镇，，要在内建造供水站向三个城镇按如图路线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？ 解题通法： ①把相关线段构造三角形中， ②利用三角形任意两边之和大于第三边得不等式， ③利用不等式性质证明 【变式4-1】．如图，点P是内任意一点．求证：．    【变式4-2】．如图，已知点是内一点， 连接并延长交于点，求证：．    【变式4-3】．如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【变式4-4】．如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC． （1）你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗? （2）若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗? 知识点2 三角形的稳定性 边长固定导致角度固定 任取三角形两条边，第三条边不可伸缩或弯折，连接两端点形成固定夹角。由于边长确定，三角形的三个内角也随之固定，从而实现整体稳定。因此三角形具有稳定性。 要点诠释 三角形稳定性指在三角形三边长度确定的情况下，其形状和大小完全固定，无法通过外力改变 【题型5 三角形的稳定性及其应用】 例5．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 解题通法： 根据三角形稳定性逐一判断即可。 【变式5-1】．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 【变式5-3】．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 知识点3 四边形的不稳定性 四边形等多边形在边长确定时，角度可变化（如可拉伸或压缩），因此四边形不具有稳定性。 要点诠释 虽然四边形易变形，但合理设计可发挥其优势。例如，剪叉式升降平台通过控制变形方向实现升降功能。 【题型6 四边形的不稳定性】 例6．如图，由五根木条构成的五边形，添加2根木条，能使五边形不变形的是（　　） A． B． C． D． 解题通法： 根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，对所给的四个图形分别作出分析，再作出判断。 【变式6-1】．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【变式6-2】．妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【变式6-3】．2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 1、 辨易错 1.三边关系定理的忽视 忘记“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”这一核心条件，导致多解或无解。 例7．的两边分别为方程组的解，第三边能被3整除，这样的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】．已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是，，则满足条件的的值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2.等腰三角形存在性讨论不足 例8．等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为 ． 【变式8-1】．已知的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长． 二、综合应用 例9．（1）如图，已知P是的角平分线上任一点，且，求证：． （2）如图，三所学校分别记作A，B，C，，体育场记作O，它是的内心，O，A，B，C每两地之间有道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校再回到O点，指出哪条线路跑的距离最短，并说明理由． 【变式9-1】．如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 3．若的周长为，则的长可能为（    ） A． B． C． D． 4．一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为奇数，则这个三角形第三边的长不可能为（   ） A．7 B．5 C．3 D．1 5．小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（   ） A． B． C． D． 6．三条边长均为整厘米数，最长边为11厘米的三角形有（    ）个 A．37 B．38 C．36 D．35 7．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 8．已知等腰三角形的一边为5，另一边恰好是一元二次方程的一个解，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．9或17 B．12或16 C．12或16或17 D．9或12或16或17 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值 ． 10．一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为 ． 11．三角形的三边长分别为，则x的取值范围是 ． 12．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 13．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．判断下列各组线段中，哪些首尾相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由． (1)a＝2.5cm，b＝3cm，c＝5cm； (2)e＝6.3cm，f＝6.3cm，g＝12.6cm． 15．如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 16．已知分别为的三边，且满足．求的取值范围； 17．在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 18．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 19．已知a，b，c分别为的三边长，且满足，． (1)求c的取值范围． (2)若的周长为22，求a，b，c的值． 20．交通安全中的数学问题 【问题缘起】 星期天早晨，轩轩和爸爸骑公共自行车去郊游．一路上看到许多交通安全的宣传标语“戴好安全帽，平安身旁绕”“红绿灯，认真瞧，交通安全很紧要”“人过马路口，斑马线内走”……在经过一个十字路口时，轩轩观察到一些数学问题． 【问题探索一】斑马线的设置 为了提高路口行人过街通行效率，交警大队尝试在一些路口设置对角斑马线（如图）．这是利用了三角形的（    ）． A． 稳定性           B． 任意两边之和大于第三边 C． 内角和      D． 三个顶点不在同一条直线上 `【问题探索二】放行车道的设置 如图，分别是南北方向的直行车道，分别是南北方向的左拐车道．与车道可以同时放行的车道是（    ） ．（填“”“”或“”) 【问题探索三】红绿灯时长的设置 交通部门根据车流量设置不同方向的红绿灯时长．下面是交警赵叔叔日常情况下某一天部分时段的车流量统计表． 南北方向 350 260 170 390 90 东西方向 225 170 110 255 59 根据统计的数据，赵叔叔将南北方向的绿灯时长设置为60秒，他应该把东西方向的绿灯时长设置为多少秒为宜？请你算一算、写一写． 【学习感悟】安全出行你我他 通过以上问题的探索．结合自己出行经历，你对小学生安全出行的建议是（至少写1条）： _____________________________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.2.1 三角形的边（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边（理论依据：两点之间线段最短）. 推论：三角形任意两边的差小于第三边.（理论依据：等式的性质1） 要点诠释： （1） 判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （2）应用三角形的边的关系能够证明线段之间的不等关系 【题型1 构成三角形的条件】 例1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 解题通法： 只要满足较短的两边之和大于第三边即可。 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 【变式1-1】．若的两边长分别为3和8，则第三边的长不可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，即三角形的任意两边之和必须大于第三边，任意两边之差必须小于第三边．理解三角形三边关系定理是解题的关键． 设第三边为x，根据三边关系列不等式组即可求解． 【详解】解：设第三边长为x，依题意得，， ， 能构成三角形的三边可能是B，C，D，不可能构成三角形的是A， 故选：A． 【变式1-2】．两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，设第三根木棒的长为x，根据三角形的三边关系，得到，再根据题意，得到，求解即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为x， ∵两根木棒的长分别是m和， ∴， ∴． ∵由张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务， ∴， ∴． 【变式1-3】．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【答案】有两种选法，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 【题型2 确定第三边的取值范围】 例2．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 解题通法： 第三边满足大于两边之差，小于两边之和列不等式组即可 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 【变式2-1】．若的三条边长分别为，，，则x的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键．根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可得到， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】．已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 解得． ∴． 故答案为：8 【变式2-3】．两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，设第三根木棒的长为x，根据三角形的三边关系，得到，再根据题意，得到，求解即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为x， ∵两根木棒的长分别是m和， ∴， ∴． ∵由张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务， ∴， ∴． 【题型3 三角形三边关系的应用】 例3．已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． ①利用三角形边的关系确定字母取值范围； ②利用三角形三边关系去绝对值，进行化简。 【答案】(1) (2)为等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （）根据三角形的三边关系即可求解； （）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； （）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵第三边为奇数， ∴， ∴三边为，，， ∴为等腰三角形； （3）解：∵，，， ∴ ． 【变式3-1】．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴等边三角形． 【变式3-2】．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （3）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴，解得：． （2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4． （3）解：设， 由题意可得：，解得：． 【变式3-3】．已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【答案】(1)、、、、 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系； （1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解； （2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解； 【详解】（1）的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为 【题型4 利用三角形三边关系证明不等关系】 例4．如图，已知点为内任意一点.证明： （1）. （2）. （3）若，，为三个城镇，，要在内建造供水站向三个城镇按如图路线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？ 解题通法： ①把相关线段构造三角形中， ②利用三角形任意两边之和大于第三边得不等式， ③利用不等式性质证明 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）水管长度应在到之间. 【分析】（1）在、、中，分别有，， ，三个式子相加即可证得要求 （2），，，三个式子相加即可证得要求 （3）由，点为内一点，及（1）（2）可知，所以.所以水管长度应在到之间. 【详解】（1）在中，，① 在中，，② 在中，.③ 由，得. 故. （2），① 同理，，② .③ 由，得， 即. （3）由，点为内一点，及（1）（2）知 ∴ 故水管长度应在到之间. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，准确找到三角形来写对应关系是本题的解题关键. 【变式4-1】．如图，点P是内任意一点．求证：．    【答案】见解析 【分析】延长交于点D．利用三角形三边关系得到．即，同理可得，，进一步即可得到结论． 【详解】证明：延长交于点D．    在中，， 在中，， ∴． 即， 同法可证：，， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 【变式4-2】．如图，已知点是内一点， 连接并延长交于点，求证：．    【答案】见解析 【分析】在中运用三角形三边关系可得，再根据线段的和差可得，可得：；同理可得：，最后运用等量代换即可证明结论． 【详解】证明：∵在中，可得，， ∴可得：． ∵在中，可得③，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，找准三角形并灵活运用三角形的三边关系是解答本题的关键． 【变式4-3】．如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】证明：∵在中，， 在中，， ∴， 即， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键． 【变式4-4】．如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC． （1）你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗? （2）若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗? 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）添加辅助线，得到三角形，根据三角形三边之间的关系，进行等量代换即可； （2）根据三角形三边之间的关系，借助（1）中的结论即可求解． 【详解】解：(1)如图，延长交于点，根据三角形的三边关系可以得到， 在中，； 在中，， 两不等式相加，得． 由图可知，． ， 即． (2)， ． 又，AB＝5，AC＝6， ， ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的性质，解题的关键是：充分利用三角形三边之间的关系进行解题． 知识点2 三角形的稳定性 边长固定导致角度固定 任取三角形两条边，第三条边不可伸缩或弯折，连接两端点形成固定夹角。由于边长确定，三角形的三个内角也随之固定，从而实现整体稳定。因此三角形具有稳定性。 要点诠释 三角形稳定性指在三角形三边长度确定的情况下，其形状和大小完全固定，无法通过外力改变 【题型5 三角形的稳定性及其应用】 例5．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 解题通法： 根据三角形稳定性逐一判断即可。 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 【变式5-1】．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键 根据三角形具有稳定性判断． 【详解】解：A、平行四边形是四边形不具有稳定性，不符合题意； B、三角形具有稳定性，符合题意； C、五边形不具有稳定性，不符合题意； D、六边形不具有稳定性，不符合题意． 故选：B． 【变式5-2】．大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性．利用三角形的稳定性求解即可． 【详解】解：大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这种做法的依据是：三角形的稳定性． 故选：A． 【变式5-3】．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：由“放一个三脚架来固定和支撑相机”可知，这里用到的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：B． 知识点3 四边形的不稳定性 四边形等多边形在边长确定时，角度可变化（如可拉伸或压缩），因此四边形不具有稳定性。 要点诠释 虽然四边形易变形，但合理设计可发挥其优势。例如，剪叉式升降平台通过控制变形方向实现升降功能。 【题型6 四边形的不稳定性】 例6．如图，由五根木条构成的五边形，添加2根木条，能使五边形不变形的是（　　） A． B． C． D． 解题通法： 根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，对所给的四个图形分别作出分析，再作出判断。 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，四边形的不稳定性，解题关键是掌握三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，对所给的四个图形分别作出分析，再作出判断． 【详解】解：A、B、D四个图中都有四边形，四边形具有不稳定性，故都不符合； C图中没有四边形，只有三角形，三角形具有稳定性，故C符合， 故选：C． 【变式6-1】．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 【变式6-2】．妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【答案】四边形不具有稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据四边形的不稳定性作答即可． 【详解】解：小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明四边形不具有稳定性． 故答案为：四边形不具有稳定性． 【变式6-3】．2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 1、 辨易错 1.三边关系定理的忽视 忘记“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”这一核心条件，导致多解或无解。 例7．的两边分别为方程组的解，第三边能被3整除，这样的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，二元一次方程组的求解，首先利用加减消元法求出x，y的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：方程组 ，整理得：， 解得：， 的两边分别为4，6， 设第三边长为a，则， 第三边能被3整除， 或6或9， 所以这样的三角形有3个． 故选：C． 【变式7-1】．已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是，，则满足条件的的值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，不等式（组）的应用． 根据三角形三边关系，分最大边为和两种情况讨论，列出不等式组求解，再合并所有符合条件的正整数解． 【详解】解：由得 ①当最大边为时，有 ， 解得， 三角形三边需满足： 解得， ∴， ∵是正整数， ∴． ②当最大边为时，有 ， 解得， 三角形三边需满足： ， 解得， ∴， ∵是正整数， ∴． 综上所述，符合条件的为2、3、4、5、6、7，共6个． 故选C. 2.等腰三角形存在性讨论不足 例8．等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的三边关系，求不等式组的解集，由题意可得等腰三角形的底边长为，然后根据三角形的三边关系可得关于的不等式组，解不等式组即可求出答案． 【详解】解：等腰三角形的周长为，腰长为，则底边长为， 根据三边关系可得，，解得，； ，解得，， 的取值范围是． 故答案为：． 【变式8-1】．已知的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长． 【答案】其余两边长都为6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设的三边长分别为、、，其中，分为腰长或为底边两种情况进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：为等腰三角形，且周长为， 设的三边长分别为、、，其中， 分两种情况： 当为腰长时， 底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时， 腰长， 为底边，为腰长符合三角形的三边关系， ． 则其余两边长都为6． 二、综合应用 例9．（1）如图，已知P是的角平分线上任一点，且，求证：． （2）如图，三所学校分别记作A，B，C，，体育场记作O，它是的内心，O，A，B，C每两地之间有道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校再回到O点，指出哪条线路跑的距离最短，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）路线O→B→A→C→O的距离最短，理由见解析 【分析】（1）在AB上取一点E，使AE=AC，连接PE，可证得△AEP≌△ACP，从而得到PE=PC，AE=AC，再根据三角形的三边关系，即可求证； （2）先判断出所跑的路线有三条，得出此三种路线所跑的路程，再判断出△OAB'≌△OAB，可得OB'=OB，从而得到CO＜B'C+B'O，再比较三条路线中，最短的那条路线，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，在AB上取一点E，使AE=AC，连接PE， ∵AP为∠BAC的平分线， ∴∠EAP=∠CAP， 在△AEP和△ACP中， ∴△AEP≌△ACP（SAS）， ∴PE=PC，AE=AC， ∴BE=AB-AE=AB-AC， 在△PBE中，BE>PB-PE， ∴PB-PC<AB-AC； （2）路线O→B→A→C→O的距离最短，理由如下： 根据题意得：所跑的路线有三条 第一条路线为：O→A→B→C→O（或O→C→B→A→O）， 所走的路程为OA+AB+BC+CO； 第二条路线为：O→A→C→B→O（或O→B→C→A→O）， 所走的路程为OA+AC+CB+OB； 第三条路线为：O→B→A→C→O（或O→C→A→B→O）， 所走的路程为OB+AB+AC+CO， 如图，在AC上取一点B '，使AB'=AB， ∵O是的内心， ∴点O是△ABC的三条角平分线的交点， ∴∠OAB'=∠OAB， 在△OAB'和△OAB中， ∴△OAB'≌△OAB， ∴OB'=OB， ∴CO＜B'C+BO， 第一条路线的路程减去第二条的路线的路程为： （OA+AB+BC+CO）-（OA+AC+CB+OB） =AB+CO-AC-BO =AB+CO-AB'-B'C-B'O =CO-（B'C+B'O）<0， ∴第一条路线的路程比第二条路线的路程短； 如图，在BC上去一点A'，使CA'=CA， ∵O是的内心， ∴点O是△ABC的三条角平分线的交点， ∴∠A'CO=∠ACO， 在△OA'C和△OAC中， ， ∴△A'CO≌△ACO ， ∴OA=O A'， ∴BO＜A'B+O A'， 第一条路线的路程减去第三条的路线的路程为： （OA+AB+BC+CO）-（OB+AB+AC+CO） =OA +BC–AC -OB = OA+ A'B+A'C -AC– OB = OA'+ A'B– OB>0， ∴第三条路线的路程比第一条路线的路程短， 所以路线O→B→A→C→O所跑的距离最短． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系是解题的关键． 【变式9-1】．如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由． 【答案】AB+BC+AC＞2BD，理由见解析 【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下： 在△ABD中，AB+AD＞BD， 在△BCD中，BC+CD＞BD， ∴AB+AD+BC+CD＞2BD， 即AB+BC+AC＞2BD． 【点睛】本题考查了三角形三边关系．关键是熟悉三角形两边之和大于第三边的知识点． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 2．下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的特性，“三角形具有稳定性”在生活实际中有很重要的应用．首先观察图A，B，都是四边形，由四边形是否具有稳定性，解答即可；对于图C，是由三角形构成的，根据三角形是否具有稳定性解答；对于图D，是由三角形和四边形组成的，根据三角形和四边形的特性解答． 【详解】解：A．因为四边形不具有稳定性，所以本选项不符合题意； B．因为四边形不具有稳定性，所以本选项不符合题意； C．因为三角形具有稳定性，所以C符合题意； D．因为四边形不具有稳定性，所以D不符合题意． 故选：C． 3．若的周长为，则的长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形两边之和要大于第三边进行解答即． 【详解】解：∵的周长为，其， ∴， 则四个选项中，只有A选项符合题意． 故选：A． 4．一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为奇数，则这个三角形第三边的长不可能为（   ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再利用第三边长为奇数，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为和， ∴第三边长， 即第三边长， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为，，， ∴不符合题意， 故选：D． 5．小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解本题的关键． 根据三角形三边关系得出第三边的取值范围，判断即可． 【详解】解：两根长度为和的木棒， 则第三边的取值范围为：， 即：， 故选：C． 6．三条边长均为整厘米数，最长边为11厘米的三角形有（    ）个 A．37 B．38 C．36 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练并灵活运用其关系是解题的关键． 根据三角形三边关系解题即可． 【详解】解：设最长边为11厘米，第二边为，第三边为，满足且，分情况讨论： 当时，需满足，共11种可能； 当时，需满足，共9种可能； 当时，需满足，共7种可能； 当时，需满足，共5种可能； 当时，需满足，共3种可能； 当时，需满足，共1种可能； 将各情况数量相加：． 故选：C． 7．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B. 8．已知等腰三角形的一边为5，另一边恰好是一元二次方程的一个解，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．9或17 B．12或16 C．12或16或17 D．9或12或16或17 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件． 先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长． 【详解】解：， ， 解得， 若等腰三角形的底是5， 当等腰三角形的腰是6， ∵， ∴能构成三角形， 周长为； 当等腰三角形的腰是2， ∵， ∴不能构成三角形； 若等腰三角形的腰是5， 当等腰三角形的底是2， ∵， ∴能构成三角形， 周长为； 当等腰三角形的底是6， ∵， ∴能构成三角形， 周长为， ∴这个等腰三角形的周长是12或16或17． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得m的取值范围即可求解． 【详解】解：由图可得，即， 则符合条件的m值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 10．一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理． 根据三角形三边关系定理列出不等式，求出第三边的取值范围，再根据边长为整数确定最大值． 【详解】解：设三角形的第三边长度是， 由三角形三边关系定理得到：， ∵三角形的三边长均为整数， ∴第三边长度的最大值为8． 故答案为：8． 11．三角形的三边长分别为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，根据三角形的三边关系，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 13．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据非负数的性质得到则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．判断下列各组线段中，哪些首尾相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由． (1)a＝2.5cm，b＝3cm，c＝5cm； (2)e＝6.3cm，f＝6.3cm，g＝12.6cm． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)不能，理由见解析 【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把较小的两边代入看是否小于第三边即可． 【详解】（1）解：∵2.5+3>5，这三条线段首尾相接能组成三角形； （2）∵6.3+6.3=12.6，这三条线段首尾相接不能组成三角形． 【点睛】考查了三角形的三边关系，掌握判断能否组成三角形的方法是解题的关键．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 15．如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案】见解析 【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 16．已知分别为的三边，且满足．求的取值范围； 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式组，由题意知，，，即，计算求解即可． 【详解】解：分别为的三边，且满足， 解得，， 的取值范围为． 17．在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 【答案】(1)不能 (2)3种，图见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，故4根火柴棒不能搭成三角形； （2）利用三角形三边关系定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， ∴4根火柴棒不能搭成三角形； （2）解：12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：，示意图如下： 其中形状分别为：等边三角形，等腰三角形，直角三角形（）． 18．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【答案】(1) (2)17 【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可． （1）根据三角形的三边关系即可得到答案； （2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 19．已知a，b，c分别为的三边长，且满足，． (1)求c的取值范围． (2)若的周长为22，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边列不等式组得出，求解即可； （2）的周长为22，根据题意得出列方程组求解得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴， ∴； （2）由题意得： 解得： 20．交通安全中的数学问题 【问题缘起】 星期天早晨，轩轩和爸爸骑公共自行车去郊游．一路上看到许多交通安全的宣传标语“戴好安全帽，平安身旁绕”“红绿灯，认真瞧，交通安全很紧要”“人过马路口，斑马线内走”……在经过一个十字路口时，轩轩观察到一些数学问题． 【问题探索一】斑马线的设置 为了提高路口行人过街通行效率，交警大队尝试在一些路口设置对角斑马线（如图）．这是利用了三角形的（    ）． A． 稳定性           B． 任意两边之和大于第三边 C． 内角和      D． 三个顶点不在同一条直线上 `【问题探索二】放行车道的设置 如图，分别是南北方向的直行车道，分别是南北方向的左拐车道．与车道可以同时放行的车道是（    ） ．（填“”“”或“”) 【问题探索三】红绿灯时长的设置 交通部门根据车流量设置不同方向的红绿灯时长．下面是交警赵叔叔日常情况下某一天部分时段的车流量统计表． 南北方向 350 260 170 390 90 东西方向 225 170 110 255 59 根据统计的数据，赵叔叔将南北方向的绿灯时长设置为60秒，他应该把东西方向的绿灯时长设置为多少秒为宜？请你算一算、写一写． 【学习感悟】安全出行你我他 通过以上问题的探索．结合自己出行经历，你对小学生安全出行的建议是（至少写1条）： _____________________________． 【答案】问题探索一：B；问题探索二：；问题探索三：39秒；学习感悟：过马路要看红绿灯，走斑马线（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的性质、统计表，理解题意是解题的关键． 问题探索一：根据三角形的性质，结合题意即可得出答案； 问题探索二：观察图形的车道即可得出答案； 问题探索三：根据统计表可知，东西方向的平均车流量大约是南北方向的平均车流量的，所以东西方向的绿灯时长也应为南北方向的绿灯时长的，据此即可解答； 学习感悟：结合自己出行经历，给出安全出行的建议即可． 【详解】解：问题探索一：为了提高路口行人过街通行效率，交警大队尝试在一些路口设置对角斑马线．这是利用了三角形的任意两边之和大于第三边． 故选：B； 问题探索二：与车道可以同时放行的车道是． 故答案为：； 问题探索三：由统计表可知，东西方向的平均车流量大约是南北方向的平均车流量的，所以东西方向的绿灯时长也应为南北方向的绿灯时长的， （秒）， 答：应该把东西方向的绿灯时长设置为39秒为宜． 学习感悟：对小学生安全出行的建议是：过马路要看红绿灯，走斑马线（答案不唯一）． 故答案为：过马路要看红绿灯，走斑马线（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $$