22.3实际问题与二次函数（图形运动问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数（图形运动问题）跟踪练习 一、单选题 1．如图1，在中，，动点P从点A出发沿匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，线段BP的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　） A．(4，) B．(4，) C．(3，) D．(3，) 2．已知四边形是菱形，点从出发沿边运动，点同时从出发沿边运动，两点相遇时，运动停止（点的速度大于点的速度），的面积与点运动的路程之间的函数关系的图象如图所示．根据图象，下列结论错误的是（   ） A．菱形的边长是6 B．点的速度是点的2倍 C．菱形的高是4 D．， 3．如图，在中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 4．如图，中，点从点出发，沿着折线的方向移动，直到与点重合停止运动，为中点，设点运动的距离为，的长度为，关于的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，为图象的最高点，点的坐标为，则点在运动过程中，的最小值是（   ） A．9 B． C．7 D． 5．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（    ） A．19 B．16 C．15 D．12 6．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小． A． B．1 C． D．2 7．如图，在正方形中，，点M从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点N沿的路线以的速度移动．设的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为的正方形中，点、、、分别从点、、、同时出发，均以的速度向点、、、匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形的周长最小值为（   ） A．18 B． C．24 D． 9．直线与x轴、y轴分别交于点A， B， 点C在线段上，过点C作x轴的垂线，垂足为D．E是线段上一动点(不与点A，B，C重合)，过点E作x轴的垂线，垂足为F，连接．若点 C的横坐标为， 则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 二、填空题 11．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q 运动到点B停止），在运动过程中，面积的最大值为 ． 12．如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 13．如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ． 14．如图1，已知矩形，射线绕点顺时针旋转得到射线，点是点关于直线的对称点．连接，设的长为，与的关系图象如图2所示，其中点是图象的最低点，最高点的纵坐标是，则图2中的值是 ，的值是 ． 15．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s． 三、解答题 16．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 17．如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为． (1)直接写出线段长．（用含的代数式表示） (2)求当点落在线段上时的值． (3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式． 18．如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）． (1)填空：________，________（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 19．如图，在中，，点P从点C开始沿向点B以的速度移动，点Q从A开始沿向点C以的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问： (1)出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？ (2)出发多少时间时，的面积为？ (3)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 20．如图，在边长为的正方形中，点沿边从点开始沿向点以的速度移动，同时，点沿边从点开始沿向点以的速度移动．点出发时间为，的面积为． (1)分别求出点在边上的与的函数关系式． (2)当时，求的面积． (3)当的面积为正方形面积的时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.3实际问题与二次函数（图形运动问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D C C A B C B 1．C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定点的坐标与三角形的边之间的关系．根据图2确定点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可． 【详解】解：由题意可知，当点在边上时，的值先减小后增大，当时，当时y有最小值, ∴，， ∴，， ∴ 当点运动到点C时，线段达到最大，即点M的位置， ∴点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度， ∴点M的坐标为， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查实际问题与二次函数，一次函数与菱形的综合问题． 当时，点在上，点在上；当时，与之间是一次函数的关系，且随的增大而增大，点在上，点在上；当时，与之间是一次函数的关系，且随的增大而减小，点，都在上．分类讨论，再结合函数图象，即可解答． 【详解】解：由题意和图象可知，当时，点在上，点在上， 又图象过点， 此时点在上，，与重合． 菱形的高， 如图1．故选项C的结论正确， 当时，与之间是一次函数的关系，且随的增大而增大， 点在上，点在上，此时，的边的高不变， 如图2．当时，与之间是一次函数的关系，且随的增大而减小， 点，都在上， 如图3．综上，菱形的边长为6，点到达点时，点正好到达点，即点的速度是点的2倍， 选项A，B的结论正确． ，当时，点，相遇， ，解得， 选项D是错误的． 故选D． 3．D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出与，与满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可． 【详解】解：由题意，，，则， 则，， ∴与满足一次函数关系，与满足二次函数关系， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，二次函数的应用，勾股定理等知识，连接，作于点，由图象得到，再得到，由点坐标可知，当点运动到点时，，，则，，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解析：如图，连接，作于点， ∵图象是轴对称图形， ∴， ∵为中点， ∴， 由点坐标可知，当点运动到点时，，， ∴， 则，，， 在中，， ∴， ∴当时，有最小值． 5．C 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值． 根据等量关系“四边形的面积三角形的面积三角形的面积”列出函数关系求最小值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为，四边形的面积为， 则有： ∴当时，S取得最小值． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，动点问题的函数图象；分别求得点在上运动时，点在上运动时的函数解析式，即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， 当点在上运动，即时，， 则，此时函数图象为线段； 当点在上运动，即时， ， 则， 则，此时函数图象为抛物线一部分； 故选：A 8．B 【分析】本题考查二次函数的最值、勾股定理．根据题意和图形可以得到四边形的周长与运动时间t的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可解答本题． 【详解】解：设点运动的时间为秒，则，， 由勾股定理得， 四边形的周长， 设 ∵， ∴当时，取得最小值，此时， ∴四边形的周长的最小值， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查一次函数、二次函数，先根据一次函数的性质计算出，设点E的坐标为，用关于m的二次函数关系式表示出，求出二次函数的最值，即可判断与的大小关系． 【详解】解：点C在线段上，横坐标为， 点C的纵坐标为， ，， ； 设点E的坐标为， 则，， ， ， 当时，取最大值，最大值为1，此时点E与点C重合， ， 故选C． 10．B 【分析】本题考查了求二次函数解析式．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故选：B． 11．9 【分析】本题考查二次函数的应用，先利用勾股定理计算出，再求出运动时间t的取值范围，最后用关于t的二次函数关系式表示出面积，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点P运动到点C所用时间为：， 点Q运动到点B所用时间为：， 点Q 运动到点B停止， 设运动时间为，则，， ， 当时，取最大值9， 故答案为：9． 12． 【分析】本题考查了二次函数的应用． 依据题意，首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时k的值以及直线过点B时k的值，结合图形即可得到答案 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴，． 又抛物线为， ∴抛物线向左平移4个单位长度 ∴平移后解析式． 当直线过B点，有2个交点 ∴， ∴． 当直线与抛物线相切时，有2个交点 ∴， 即． ∵相切， ∴ ∴． 如图， ∵若直线与、共有3个不同的交点， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、动点问题的函数图象、解直角三角形，连接，由轴对称的性质，可知，即点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动．结合图象可得当点运动到对角线上时，取得最小值1，当时，射线与射线重合，当点运动到的延长线上时，最大，分别求解即可采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：连接， 由轴对称的性质，可知，即点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动． 如解图1，当点运动到对角线上时，取得最小值1， 此时， ， ∴， ∴， ∴， ，， 如解图2，当时，射线与射线重合， 此时， ∴； 如解图3，当点运动到的延长线上时，最大，最大值为， 故， 故答案为：，． 15．2 【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：根据题意得， 三角形面积为： ∴当时，的面积最大为， 故答案为：2． 16． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据题意列出函数关系式．设与交于点R，三角形是等腰直角三角形，且正方形的边长等于三角形的直角边长，所以当三角形移动时，它与正方形的重叠部分始终是一个等腰直角三角形，设三角形移动的距离为，那么重叠部分的等腰直角三角形的两条直角边的长度都是，因此，重叠部分的面积就是这个等腰直角三角形的面积． 【详解】解：如图，设与交于点R． 是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ． 17．(1)当时，．当时， (2) (3) 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题； （1）分为或两种情况解答即可； （2）由题意列方程求出t值即可； （3）分为，或三种情况求出关系式即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 当时，． 当时，． （2）解：当点落在线段上时，． ， 解得； （3）当时，如图，点在的左侧，设与交于点，重叠部分是， 这时， ∵， ∴， ∴， ． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，则重叠部分为五边形， 这时， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，交于点，则重叠部分为五边形， 则， ． ∴． 18．(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可； （2）利用矩形的性质求解即可； （3）分类讨论的取值情况，利用面积公式列式即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴，即， ， 故答案为：；； （2）解：如图①，当点落在线段上时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图②，当时，重叠部分是四边形， ； 如图③，当时，重叠部分是四边形， ． 【点睛】本题为动点与几何综合，涉及到了相似三角形的判定即性质，矩形的性质，二次函数，一次函数等知识点，合理分析图象作出图形是解题的关键． 19．(1)2秒 (2)当出发秒或秒时，的面积为 (3)是，最大面积为，此时运动时间3秒 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）利用勾股定理列出方程进行求解即可； （2）利用面积公式，列出方程进行求解即可； （3）利用面积列出二次函数解析式，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 由题意，得：， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：出发2秒时间时，点P，Q之间的距离等于 （2）由题意得：， 解得：或； 答：当出发秒或秒时，的面积为； （3）有最大值： ， ∴当时，面积最大为． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数与动点问题，根据题意分类讨论列出函数关系式是解题的关键． （1）分三种情况讨论，即在上，分别根据三角形的面积列出函数关系式即可求解； （2）当时，点在边上，根据（1）中的解析式求解即可； （3）根据题意求得正方形面积的，结合（1）的解析式，令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：当点在边上时，， ； 当点在边上时，， ∴． ∴与的函数关系式为 （2）解：当时，点在边上， ∴， 的面积为． （3）解：正方形的面积为， 当的面积为正方形面积的时，即， ①当时，，解得（不合题意，舍去）， ②当时，，解得， 综上所述，当．面积为正方形面积的时，的值为3． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$