幂函数（6大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

[在此处键入] 幂函数 题型一：幂函数的概念 【解题方法总结】 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 例1在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（   ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 例2给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3现有下列函数：①y＝x3；②；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（a＞1），其中幂函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：幂函数的解析式 【解题方法总结】 对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式. 例4幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为_________． 例5已知幂函数在第一象限单调递减，则______. 例6若幂函数f（x）＝xa的图象经过点，则函数f（x）的解析式是（　　） A． B． C． D． 题型三：比较幂值的大小 【解题方法总结】 (1)直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较. (2)转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小. (3)中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的. 例7已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 例8已知，若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 例9已知幂函数y＝xa的图象过点，则下列两函数的大小关系为： （x2﹣2x+4）a（　　）（﹣3）a A．≤ B．≥ C．＜ D．＞ 题型四：利用幂函数的性质求参数 【解题方法总结】 1根据所给函数解析式是幂函数，可列式求出参数的值； 2结合幂函数的单调性或奇偶性，进行分析，得出满足条件的参数值. 例10已知幂函数在上是减函数，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或 例11若函数为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为（　　） A．0 B．1或2 C．1 D．2 例12已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为3，求实数的值． 题型五：幂函数的定义域、值域 【解题方法总结】 根据幂函数的解析式，可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域，再根据定义域来求幂函数的值域. 例13已知幂函数，则此函数的定义域为________． 例14函数的值域为________. 例15若幂函数的图象过点，则的值域为____________． 题型六：幂函数的图象 【解题方法总结】 根据一般幂函数的图象特征，对所给的幂函数解析式或图象进行分析，即可得解； 1若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 2无论为何实数，幂函数的图象最多只能出现在两个象限内，且一定经过第一象限，一定不经过第四象限. 例16已知幂函数（且与互质）的图像如图所示，则（    ）    A．、均为奇数且 B．为奇数，为偶数且 C．为奇数，为偶数且 D．为偶数，为奇数且 例17给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）               A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 例18函数的图像大致为（    ） A．B． C．D． [在此处键入] 学科网（北京）股份有限公司 $$[在此处键入] 幂函数 题型一：幂函数的概念 【解题方法总结】 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 例1在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（   ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【答案】C 【详解】幂函数是形如（，为常数）的函数，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数. 故选：C. 例2给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数， 则可知①和④是幂函数. 故选；B. 例3现有下列函数：①y＝x3；②；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（a＞1），其中幂函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论． 【解答过程】解：∵形如y＝xα（α为常数）的函数叫做幂函数， ∴①y＝x3、⑥y＝x是幂函数，故①⑥满足条件； 而②、⑦y＝ax（a＞1）是指数函数，故②⑦不满足条件； 显然，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是幂函数，故③④⑤不满足条件； 故其中幂函数的个数为2， 故选：B． 题型二：幂函数的解析式 【解题方法总结】 对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式. 例4幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为_________． 【答案】或 【详解】是幂函数，也是偶函数， 且在上为增函数， 且为偶数， 解得或， 当时，， 当时，. 故答案为：或 例5已知幂函数在第一象限单调递减，则______. 【答案】 【详解】由题知，幂函数在第一象限单调递减， 所以，解得（舍去），或， 所以， 所以， 故答案为： 例6若幂函数f（x）＝xa的图象经过点，则函数f（x）的解析式是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式． 【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝xa的图象经过点， ∴2a，解得，∴， 故选：A． 题型三：比较幂值的大小 【解题方法总结】 (1)直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较. (2)转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小. (3)中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的. 例7已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，因为函数是实数集上的增函数， 所以由可得：，即， 故选：C 例8已知，若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上单调递减，，故， 故. 故选：B. 例9已知幂函数y＝xa的图象过点，则下列两函数的大小关系为：（x2﹣2x+4）a（　　）（﹣3）a A．≤ B．≥ C．＜ D．＞ 【解题思路】幂函数y＝xa的图象过点，解得a＝﹣2，从而（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣20．由此能求出结果． 【解答过程】解：幂函数y＝xa的图象过点， ∴3a，解得a＝﹣2， ∴（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣20． ∴（x2﹣2x+4）a≤（﹣3）a． 故选：A． 题型四：利用幂函数的性质求参数 【解题方法总结】 1根据所给函数解析式是幂函数，可列式求出参数的值； 2结合幂函数的单调性或奇偶性，进行分析，得出满足条件的参数值. 例10已知幂函数在上是减函数，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或 【答案】B 【详解】因为函数是幂函数，则， 所以或. 当时，在上是增函数，不合题意. 当时在上是减函数，成立. 故选：B. 例11若函数为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为（　　） A．0 B．1或2 C．1 D．2 【解题思路】利用幂函数的定义和性质列方程组，能求出m． 【解答过程】解：∵函数为幂函数，且在（0，+∞）单调递减， ∴， 解得m＝1． 故选：C． 例12已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为3，求实数的值． 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）幂函数在上单调递增， 故，解得，故； （2）由（1）知：， 所以， 所以函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线； 由于在上的最大值为3， ①当时，在上单调递增，故，解得； ②当时，在上单调递减，故，解得； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，故，解得（舍去）或（舍去）． 综上所述，． 题型五：幂函数的定义域、值域 【解题方法总结】 根据幂函数的解析式，可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域，再根据定义域来求幂函数的值域. 例13已知幂函数，则此函数的定义域为________． 【答案】. 【详解】由幂函数，可得，解得，即， 则满足，即幂函数的定义域为. 故答案为：. 例14函数的值域为________. 【答案】 【详解】时，， 时，， 所以的值域为. 故答案为： 例15若幂函数的图象过点，则的值域为____________． 【答案】 【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以 所以，所以 故答案为： 题型六：幂函数的图象 【解题方法总结】 根据一般幂函数的图象特征，对所给的幂函数解析式或图象进行分析，即可得解； 1若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 2无论为何实数，幂函数的图象最多只能出现在两个象限内，且一定经过第一象限，一定不经过第四象限. 例16已知幂函数（且与互质）的图像如图所示，则（    ）    A．、均为奇数且 B．为奇数，为偶数且 C．为奇数，为偶数且 D．为偶数，为奇数且 【答案】D 【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定， 又因为p与q互质，所以q为奇数， 故选：D. 例17给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）               A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【答案】C 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 故选：C 例18函数的图像大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【详解】由，排除A，D．当时，，所以，排除C． 故选：B． [在此处键入] 学科网（北京）股份有限公司 $$