精品解析：福建省厦门双十中学2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题

厦门双十中学2024-2025学年（上）第三次月考 高三数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足：，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥为底面圆心，为圆锥的母线，且，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 已知是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左焦点为，为坐标原点，过且斜率为的直线交椭圆于，两点（在轴上方）.关于轴的对称点为，连接并延长交轴于点，若，，成等比数列，则椭圆的离心率的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件A和事件B互斥， B. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11 C. 若随机变量，，则 D. 若y关于x的回归方程为，则y与x是线性负相关关系 10. 直线与函数的图像有4个不同的交点，并且从左到右四个交点分别为，它们的横坐标依次是，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 存在使得A点处切线与点处切线垂直 11. 已知F为双曲线的右焦点，P在双曲线C的右支上，点．设，，，下列判断正确的是（ ） A. 最大值为 B. C. D. 存在点P满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______． 13. 已知角的终边经过点，则___________. 14. 对满足的任意正整数对，定义函数如下：，，则________（结果用含i的式子表示）；_________（结果用含j的式子表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为等腰梯形，，，点为棱的中点. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 16. 在锐角△中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求△内切圆半径的取值范围. 17. 已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，． （1）求数列，的通项公式； （2）设数列的通项，求数列的前n项和． 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点，为椭圆C的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆C在x轴上方的交点为，直线与椭圆C在x轴上方的交点为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）①若，证明：； ②若，探究之间关系． 19. “三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系. （1）利用恒等式和，求函数和的最小值. （2）在中，角对应的边为. （i）求证：. （ii）已知实数满足求二元函数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2024-2025学年（上）第三次月考 高三数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法可求得集合，再根据集合的基本运算即可求得结果. 【详解】因为集合对应的不等式为， 即可得，所以或， 因此 故选：C． 2. 已知复数z满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可求得，再根据模长公式即可得出结果. 【详解】由可得 所以， 故选：B． 3. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得m得取值范围，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数关系得到，利用凑角法和正切差角公式求出答案. 【详解】因为，所以且， 所以， 又，所以. 故选：C 5. 已知圆锥为底面圆心，为圆锥的母线，且，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，根据的面积解得，进而可求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为， 则， 可知等腰底边上的高为， 由的面积可得，解得， 即圆锥的底面半径为2，所以该圆锥的体积. 故选：B. 6. 已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，再根据函数为奇函数可得，，即可得解. 【详解】的图象在处的切线方程为， 则，， 当时，，， 因为是奇函数，图象关于原点对称， 的图象在处及处的切线也关于原点对称， 所以，， 即，所以，，． 故选：D. 7. 已知是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等比数列通项求出公比，再利用前项和公式求出，，，然后逐项判断即得． 【详解】设等比数列的公比为， 由可得：， 由于，所以，整理得，解得或（舍）， 则有， 于是， 对于A，， ，所以，故A不正确； 对于B，， ，所以，故B正确； 对于C，， ，所以，故C不正确； 对于D，， ，所以，故D不正确； 故选：B. 8. 设椭圆的左焦点为，为坐标原点，过且斜率为的直线交椭圆于，两点（在轴上方）.关于轴的对称点为，连接并延长交轴于点，若，，成等比数列，则椭圆的离心率的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，成等比数列，得到，设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立，再设直线BD的方程为：，令结合韦达定理，得到点E的坐标，代入求解. 【详解】解：如图所示： 设分别以OF，EF，OE为底，高为h， 则， 因为，，成等比数列， 所以，即， 设直线AB的方程为：， 联立，消去y得， 由韦达定理得：， 直线BD的方程为：， 令得，，则， 则，即为， 则，即， 即， 解得，则， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件A和事件B互斥， B. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11 C. 若随机变量，，则 D. 若y关于x的回归方程为，则y与x是线性负相关关系 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据百分位数的定义判断B；根据正态分布性质判断C；根据正负相关的定义判断D. 【详解】对于A，因为事件A和事件B互斥，所以，故错误； 对于B，将原数据重新排列为：1，2，4，5，7，11，16，21，共8个数， ，所以该组数据的第70百分位数即为第6个数11，故正确； 对于C，因为随机变量，，所以，故错误； 对于D，因为y关于x的回归方程为，，则y与x是线性负相关关系，故正确. 故选：BD. 10. 直线与函数的图像有4个不同的交点，并且从左到右四个交点分别为，它们的横坐标依次是，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 存在使得A点处切线与点处切线垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB：为方程两根，为方程两根，由韦达定理可判断选项正误. C：由图像可得，注意到， 研究函数，的单调性可判断选项. D：由题可建立关于的方程组，判断其解是否存在即可. 【详解】由， 当时，，仅当等号成立， 而与有4个交点，显然不可能存在交点； 当，，仅当等号成立， 由上易知：在上递减，在上递增，且， 综上，在、上，在上， 故在、上，在上， 令，则，可得或， 要使与有4个交点，则， 当时；当时； 据此可得图像如下. AB：由图及题意，为，即的两根，则. 为，即的两根，则. 则，.故AB正确. C：注意到，又在上单调递增， 则，又. 设，则， 所以，得在上单调递增， 则，从而，故C错误. D：因A，B两点在图像上，则. 又在A，B两点处切线相互垂直，. 则过A点直线斜率为，过B点斜率为，. 则建立关于的方程组，存在相当于方程组有解. 因，则. 设，由图可得. ，代入， 有 . 令，因，则， 又，则， 由上有在上有根. 令，注意到，，得在上有根， 即存在使得A点处切线与点处切线垂直，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的零点与方程的根，难度较大. AB选项，结合图像与题意找到间关系，后用韦达定理解决问题. C选项，为双变量问题，注意到，研究在上的单调性可得答案. D选项，直接求得难度较大，故将的存在性转化为相关方程组有解. 11. 已知F为双曲线的右焦点，P在双曲线C的右支上，点．设，，，下列判断正确的是（ ） A. 最大值为 B. C. D. 存在点P满足 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，利用两点求斜率公式和换元法、辅助角公式可得，解不等式即可判断A；根据两点求距离公式和换元法可得，结合二次函数的性质即可判断B；根据和计算即可判断C；根据点P纵坐标与、的变化关系即可判断D. 【详解】A：设，于是， 设，得， 于是（其中）， 所以，解得，即，A错误； B：,， , ，令， 则，当，即时，，B正确； C：，而，所以，C正确； D：当P纵坐标接近0时，很小而很大，当P纵坐标很大时，接近而很小，故必存在点P满足，D正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】分取1，取和取，取两种情况讨论即可. 【详解】当取1，取，的系数为； 当取，取时，得的系数为：. 所以的系数为：. 故答案为： 13. 已知角的终边经过点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数定义求出，再利用二倍角公式化简，结合齐次式法计算作答. 【详解】因角的终边经过点，则， 所以. 故答案为： 14. 对满足的任意正整数对，定义函数如下：，，则________（结果用含i的式子表示）；_________（结果用含j的式子表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可得，，即可利用累乘法得，结合组合数的计算公式以及二项式展开式的性质即可求解. 【详解】由可得，， ∵，，，…，， 累乘得：， ∵，∴，（）， 令，则； 因为，所以， ， 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为等腰梯形，，，点为棱的中点. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （2）利用空间向量的方法求二面角即可. 【小问1详解】 设，因为四边形为等腰梯形， 所以，过点作于点，则， 所以在中，，连接， 由余弦定理可得： ，所以， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以，，面， 所以面，而面，所以. 又因为，点为棱的中点，所以， ，面，所以面， 面，所以. 【小问2详解】 过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 所以，， 设平面的一个法向量为， ，令，则，，即， 平面的一个法向量为， 设面 与面所成二面角的平面角为， 则 ，因为二面角为钝二面角， 所以，， 故面与面所成二面角的余弦值为. 16. 在锐角△中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求△内切圆半径的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正切函数的和差角公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由正弦定理结合三角形的面积公式可得，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 故 【小问2详解】 由正弦定理： 故 因为在锐角△中，所以，得，所以． 17. 已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，． （1）求数列，的通项公式； （2）设数列的通项，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于，由题意列出关于的方程，求解即可；对于，由条件可得，采用累乘法求通项即可； （2）对分为两种情况，当为偶数，时，根据的表达式，采用分组求和法求出结果；当为奇数，且时，为偶数，，结合（1）中结论及验证当时的情形，即可得出结果. 【小问1详解】 设数列的公比为q， 因为，即，得，解得或， 当时，，不合题意，舍去，所以， 由，解得，所以， 对于，因为①， 当时，，则， 当时，②， 由①－②得，即， 又，也适合上式，故，， 采用累乘法求通项得， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得：，则， 则数列的前n项和， ①当为偶数，时， 采用分组求和： ， ， 所以； ②当为奇数，且时，为偶数，由（1）中结论得， 此时， 当时，，也适合上式， 所以. 综上所述，． 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点，为椭圆C的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆C在x轴上方的交点为，直线与椭圆C在x轴上方的交点为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）①若，证明：； ②若，探究之间关系． 【答案】（1） （2） ①由(1)知，， ， ， 即， 又， 即， ，即； ② 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的离心率和即可求解； (2)①根据两点求斜率公式和直线的点斜式方程表示出直线，得.根据平面平行向量的坐标表示可得，即可证明；②设直线方程，联立椭圆方程，消去x，得关于y的一元二次方程，化简整理方程可得.同理可得，对于化简计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 因此，椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 ①略 ②设（令）， ，消去x得：， ，， ，， ， 设，（令）， ，消去x得：， ，， ，， ， ． 19. “三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系. （1）利用恒等式和，求函数和的最小值. （2）在中，角对应的边为. （i）求证：. （ii）已知实数满足求二元函数的最大值. 【答案】（1）的最小值为；的最小值为. （2）（i）因为， 所以 ，证毕； （ii） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为三角函数的最值问题，或动点到两定点距离之和最值问题即可； （2）（i）利用三角形内角关系和三角恒等变换证明即可； （ii）设，，变形得，则转化为表示点到点和的距离之差再加上，利用三点共线即可得到答案. 【小问1详解】 设，，则， 因为，所以，所以，所以， 即的最小值为：， 当时， ， 表示点到点和的距离之和， 所以. 综上，的最小值为：. 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为，故， 故，同理. 若， 当为三角形内角时，由（i）可得： ， 若有一个为零或，不妨设或， 若，则， 若，则， 若（i）中可以推广为： 若，则. 在（i）中，令，则且， 因为，设，， 所以 可得（）， 则 其表示点到点和的距离之差再加上， 所以， 当且仅当， 即时等号取得，此时满足. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是利用换元法再进行合理变形，将其转化为点到点和的距离之差再加上，最后转化为三点共线问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $