14.1 全等三角形及其性质 同步讲义 2025-2026学年人教版 八年级数学上册

14.1 全等三角形及其性质 新知廊 知识点1：全等形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． （1）全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关． （2）平移、翻折、旋转前后的图形全等． 知识点2：全等三角形 1．全等三角形的有关概念和表示方法： （1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”． （3）对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 2．三种常见的全等类型 （1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型． 知识点3：全等三角形的性质 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 求甚解 1．全等三角形中对应元素的确定方法 （1）字母顺序法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角 （2）图形位置法： ①公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边； ②对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； ③对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 （3）图形特征法： ①一对最长（短）的边为对应边； ②一对最大（小）的角为对应角． 2．利用全等三角形的性质求角度（线段长）的方法 先根据三角形全等，确定对应角（线段），然后结合角（线段）的和、差，寻找所求与已知之间的关系，从而解决问题． 3．证明两直线位置关系的方法 证明两直线的位置关系时，通常考虑平行、垂直两种特殊的关系证明平行的方法是将问题转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，这些角的关系一般可由全等三角形的性质得到；证明垂直的方法是将问题转化为证明它们所成的角为90°或相关三角形的两锐角互余． 练题型 题型01 全等形 典型例题 典例 01 （2025春•明水县校级月考）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等图形”的定理即可得到答案． 【解答】解：A．根据全等图形的定义：两个图形放在一起能够完全重合，是全等图形，符合题意； B根据全等图形的定义：两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C．根据全等图形的定义：两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．根据全等图形的定义：两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025春•嵩县期末）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式练2】　（2024秋•无锡期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式练3】　（2024春•渭滨区期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 题型02 利用全等三角形的性质求角度 典型例题 典例 02 （2025•厦门校级模拟）如图，△ABC≌△ADE，∠D＝25°，∠C＝105°，∠CAE＝70°，则∠BAE的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】A 【分析】由全等三角形性质推出∠B＝∠D＝25°，由三角形内角和定理求出∠BAC＝50°，即可求出∠BAE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D＝25°， ∵∠C＝105°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°， ∵∠CAE＝70°， ∴∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC＝20°． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025•平阴县二模）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数（　　） A．35° B．45° C．80° D．100° 【变式练2】　（2024秋•威县期末）如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（　　） A．∠CAD B．∠DCA C．∠D D．∠ACB 【变式练3】　（2024秋•安阳县期末）已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝40°，则∠F的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．90° 题型03 利用全等三角形的性质求线段的长 典型例题 典例 03 （2024秋•苍梧县期末）如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到BE＝AC＝7，BC＝DE＝3，结合图形根据线段的和差计算即可． 【解答】解：∵△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3， ∴BE＝AC＝7，BC＝DE＝3， ∴CE＝BE﹣BC＝7﹣3＝4， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•凉州区期末）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式练2】　（2024秋•文山州期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝8，AC＝10，则BD长（　　） A．18 B．20 C．22 D．21 【变式练3】　（2025春•耀州区校级月考）如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若EF＝7，EC＝4，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 典型例题 典例 04 （2025春•南关区期末）如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【答案】（1）AB∥DE，理由见解析． （2）7． 【分析】（1）由全等三角形的性质推出∠D＝∠CAB，判定AB∥DE； （2）由全等三角形的性质推出AC＝ED＝3，AB＝AD，求出AD＝7，即可得到AB的长． 【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DAE， ∴∠D＝∠CAB， ∴AB∥DE； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝ED＝3，AB＝AD， ∵AD＝AC+CD＝4+3＝7， ∴AB＝7． 即学即练 【变式练1】　（2025春•太康县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 【变式练2】　（2025春•秦州区期末）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 【变式练3】　（2025春•市中区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高． （1）求证：∠ABE＝∠ACF； （2）当△ABD≌△GCA时，AD与AG的位置关系如何，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1 全等三角形及其性质 新知廊 知识点1：全等形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． （1）全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关． （2）平移、翻折、旋转前后的图形全等． 知识点2：全等三角形 1．全等三角形的有关概念和表示方法： （1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”． （3）对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 2．三种常见的全等类型 （1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型． 知识点3：全等三角形的性质 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 求甚解 1．全等三角形中对应元素的确定方法 （1）字母顺序法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角 （2）图形位置法： ①公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边； ②对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； ③对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 （3）图形特征法： ①一对最长（短）的边为对应边； ②一对最大（小）的角为对应角． 2．利用全等三角形的性质求角度（线段长）的方法 先根据三角形全等，确定对应角（线段），然后结合角（线段）的和、差，寻找所求与已知之间的关系，从而解决问题． 3．证明两直线位置关系的方法 证明两直线的位置关系时，通常考虑平行、垂直两种特殊的关系证明平行的方法是将问题转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，这些角的关系一般可由全等三角形的性质得到；证明垂直的方法是将问题转化为证明它们所成的角为90°或相关三角形的两锐角互余． 练题型 题型01 全等形 典型例题 典例 01 （2025春•明水县校级月考）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等图形”的定理即可得到答案． 【解答】解：A．根据全等图形的定义：两个图形放在一起能够完全重合，是全等图形，符合题意； B根据全等图形的定义：两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C．根据全等图形的定义：两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．根据全等图形的定义：两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025春•嵩县期末）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等图形的概念可得答案． 【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•无锡期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【解答】解：A、两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意． 故选：C． 【变式练3】　（2024春•渭滨区期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，由此即可判断． 【解答】解：A、B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，故A、B不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，故C符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，故D不符合题意； 故选：C． 题型02 利用全等三角形的性质求角度 典型例题 典例 02 （2025•厦门校级模拟）如图，△ABC≌△ADE，∠D＝25°，∠C＝105°，∠CAE＝70°，则∠BAE的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】A 【分析】由全等三角形性质推出∠B＝∠D＝25°，由三角形内角和定理求出∠BAC＝50°，即可求出∠BAE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D＝25°， ∵∠C＝105°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°， ∵∠CAE＝70°， ∴∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC＝20°． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025•平阴县二模）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数（　　） A．35° B．45° C．80° D．100° 【答案】D 【分析】由全等三角形的对应角相等得到∠E＝∠ACB＝45°，由三角形内角和定理即可求出∠DCE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴∠E＝∠ACB＝45°， ∵∠D＝35°， ∴∠DCE＝180°﹣45°﹣35°＝100°． 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•威县期末）如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（　　） A．∠CAD B．∠DCA C．∠D D．∠ACB 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△CDA， ∴∠BAC的对应角是∠DCA， 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•安阳县期末）已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝40°，则∠F的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．90° 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得出∠F＝∠C，即可得出选项． 【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝40°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠C＝90° 故选：D． 题型03 利用全等三角形的性质求线段的长 典型例题 典例 03 （2024秋•苍梧县期末）如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到BE＝AC＝7，BC＝DE＝3，结合图形根据线段的和差计算即可． 【解答】解：∵△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3， ∴BE＝AC＝7，BC＝DE＝3， ∴CE＝BE﹣BC＝7﹣3＝4， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•凉州区期末）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】根据全等三角形性质求出EF＝BC＝5cm，求出CF，代入EF﹣CF即可求出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝5cm， ∵BF＝7cm，BC＝5cm， ∴CF＝7﹣5＝2（cm）， ∴EC＝EF﹣CF＝3cm， 故选：C． 【变式练2】　（2024秋•文山州期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝8，AC＝10，则BD长（　　） A．18 B．20 C．22 D．21 【答案】A 【分析】根据全等三角形的对应边相等可得出BC，CD的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，且CE＝8，AC＝10， ∴BC＝CE＝8，CD＝AC＝10， ∴BD＝BC+CD＝8+10＝18． 故选：A． 【变式练3】　（2025春•耀州区校级月考）如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若EF＝7，EC＝4，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由全等三角形的性质推出BE＝CF，求出CF的长，即可得到BE的长． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BE＝CF， ∵CF＝EF﹣EC＝7﹣4＝3， ∴BE＝3． 故选：C． 题型04 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 典型例题 典例 04 （2025春•南关区期末）如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【答案】（1）AB∥DE，理由见解析． （2）7． 【分析】（1）由全等三角形的性质推出∠D＝∠CAB，判定AB∥DE； （2）由全等三角形的性质推出AC＝ED＝3，AB＝AD，求出AD＝7，即可得到AB的长． 【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DAE， ∴∠D＝∠CAB， ∴AB∥DE； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝ED＝3，AB＝AD， ∵AD＝AC+CD＝4+3＝7， ∴AB＝7． 即学即练 【变式练1】　（2025春•太康县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 【答案】（1）∠F＝35°，DH＝6． （2）AB∥DE，理由见解析． 【分析】（1）由全等三角形的性质推出∠F＝∠ACB，DE＝AB＝8，即可求出DH＝DE﹣EH＝6，由三角形内角和定理求出∠ACB＝35°，即可得到∠F的度数； （2）全等三角形的性质推出∠ABC＝∠DEF，判定AB∥DE． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠ACB，DE＝AB＝8， ∴DH＝DE﹣EH＝8﹣2＝6， ∵∠A＝85°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°， ∴∠F＝∠ACB＝35°； （2）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴AB∥DE． 【变式练2】　（2025春•秦州区期末）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 【答案】（1）BF⊥CE，理由见解析； （2）30°． 【分析】（1）先根据全等三角形的性质得出∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE，故可得出∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°，故可得出∠BGC＝90°，据此得出结论； （2）由AC∥DE可知∠E＝∠ACG＝30°，再根据∠ACD＝60°即可得出结论． 【解答】解：（1）BF⊥CE，理由： ∵△ABC≌△DEC，∠B＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°， ∴∠BGC＝180°﹣∠B﹣∠BCG＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴BF⊥CE； （2）由（1）知∠E＝30°， ∵AC∥DE， ∴∠ACG＝∠E＝30°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACG＝60°﹣30°＝30°． 【变式练3】　（2025春•市中区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高． （1）求证：∠ABE＝∠ACF； （2）当△ABD≌△GCA时，AD与AG的位置关系如何，请说明理由． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）AD⊥AG，理由见解答． 【分析】（1）根据垂直定义可得∠AEB＝∠AFC＝90°，从而可得∠BAE+∠ABE＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠ABE＝∠ACF，即可解答； （2）利用全等三角形的性质可得∠ADB＝∠GAC，然后利用三角形的外角性质可得∠ADB＝∠DAE+∠AEB，从而可得∠AEB＝∠GAD＝90°，即可解答． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°， ∴∠ABE＝∠ACF； （2）解：AD⊥AG， 理由：∵△ABD≌△GCA， ∴∠ADB＝∠GAC， ∵∠ADB是△ADE的一个外角， ∴∠ADB＝∠DAE+∠AEB， ∵∠GAC＝∠GAD+∠DAE， ∴∠AEB＝∠GAD＝90°， ∴AD⊥AG． 学科网（北京）股份有限公司 $$