第5讲　一元二次方程、不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

第5讲　一元二次方程、不等式 一、知识梳理 1、一元一次不等式的解集 （1）若，解集为 （2）若，解集为 2、一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零,左边为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0). (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集. 3、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次方程ax2+ bx+c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根x1,x2 (x1<x2) 有两个相等的 实数根x1= x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0 (a>0) 的解集 {x|x<x1,或x>x2} 　 R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 4、一元二次方程根的分布 设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=0的两实根分别为x1,x2. 分布 情况 两实根都在 (m,n)内 两实根有且仅 有一根在 (m,n)内 一根在(m,n)内, 另一根在(p,q)内 (p≥n) 大致 图象 (a>0) 得出的 结论 f(m)· f(n)<0 或 大致 图象 (a<0) 得出的 结论 f(m)· f(n)<0 或 5、绝对值不等式 和型不等式的解法 （1）； （2）. 和型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并. 6、简单分式不等式 （1）； （2） （3）左移，通分变成（1）； （4）左移，通分变成（2） 7、高次不等式的解法 ①将最高次项系数化为正数； ②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 8、能成立问题的转化 a>f(x)能成立⇒a>f(x)min; a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max. 二、三大核心原则 ‌"三个二次"关系原则‌：一元二次不等式与二次函数图象、一元二次方程根的关系密不可分，解集由判别式和开口方向共同决定 ‌转化统一原则‌：分式不等式、绝对值不等式、高次不等式均可转化为一元二次不等式或不等式组求解 ‌分类讨论原则‌：含参数不等式必须根据参数取值对解集的影响进行分类讨论 三、九大常见题型分类与解题策略 1. 不含参数一元二次不等式解法 【例1】已知集合A={x|x≥1},B={x|2x2-5x-3<0},则A∪B= (　 ) A.{x|x≥1} B. C. D.{x|1≤x<3} 【详解】因为B={x|2x2-5x-3<0}=, 所以A∪B={x|x≥1}∪=,故选B. 【‌解题策略‌】‌解题步骤‌： （1）化为标准形式ax2+bx+c>0（或<0）（2）计算判别式Δ=b²-4ac （3）结合二次函数图象确定解集 2. 分式不等式解法 【例2】 设为实数，则不等式的解集是 . 【详解】因为，解得且，即， 所以不等式的解集是.故答案为： 【例3】不等式的解集为 ． 【详解】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 【‌解题策略‌】‌转化方法‌：（1）移项通分化为（或<0） （2）等价转化为（或<0）（3）用数轴标根法确定解集 3. 绝对值不等式解法 【例4】对任意实数，的最小值为 ． 【详解】法1：由绝对值三角不等式，可得， 当且仅当，即时，取得最小值4． 法2：设， 当时，； 当时，； 当时，. 综上，可得的最小值为4.故答案为：4. 【‌解题策略‌】‌核心方法‌： （1）； . （2）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； （3）利用“零点分段法” 4. 含参数一元二次不等式 【例5】求下列关于的不等式的解集：． 【详解】由，得，因为，所以， 当时，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 【‌解题策略‌】（1）优先讨论二次项系数是否为0（2）再讨论判别式Δ的三种情况 （3）最后讨论根的大小关系 5. 由解集求参数 【例6】若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为关于的不等式的解集是，所以可知， 所以原不等式可化为 显然是方程的两根，所以只须，解得， 所以的取值范围是.故选：A 【‌解题策略‌】‌逆向思维法‌：（1）根据解集边界确定对应方程的根（2）利用韦达定理建立参数方程（3）验证等号是否可取 6. 解集中整数个数问题 【例7】关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或.故选：D 【‌解题策略‌】‌解题要点‌：（1）先求出不含参数时的解集（2）确定整数解的临界条件（3）建立关于参数的不等式组 7. 实际应用问题 【例8】在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速. 【‌解题策略‌】‌建模步骤‌：（1）设未知量，建立不等式模型 （2）考虑实际意义限制条件（3）求解并验证合理性 8. 恒成立与能成立问题 【例9】已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，由可得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故.故选：B. 【例10】，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 【‌解题策略‌】‌转化策略‌： （1）分离参数法：恒成立⇔；能成立⇔ （2）图象分析法：结合二次函数性质 （3）判别式法：Δ<0（特定情况） 9. 一元二次方程根的分布 【例11】关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-2)=0有一个正实根和一个负实根的一个充分不必要条件是 (　 ) A.a∈(2,1) B.a∈(-2,0) C.a∈(-1,0) D.a∈(-1,1) 【详解】关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-2)=0的两根分别为x1=a,x2=a+2,易知x1<x2, 由方程有一个正实根和一个负实根,得a<0,a+2>0,所以-2<a<0.结合选项知,只有(-1,0)⫋(-2,0),则关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-2)=0有一个正实根和一个负实根的一个充分不必要条件是a∈(-1,0).故选C. 【例12】若关于x的方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数解,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C.∪(-1,+∞) D.∪(1,+∞) 【详解】令g(x)=x2-2ax+a+2,因为关于x的方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数解,所以即解得-<a<-1,所以实数a的取值范围是.故选A. 【‌解题策略‌】‌解题方法‌： （1）图象分析法：对称轴、端点函数值 （2）韦达定理法：根与系数关系 （3）区间判别法： 四、典例欣赏 【例12】已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【详解】 法1：（分离参数法）因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立，:所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 法2：（数形结合法）令，对称轴； 当，即时， 当时，解得， 综上：，所以实数a的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$