13.3 三角形的内角与外角 同步讲义 　2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

13.3 三角形的内角与外角 讲义 新知廊 知识点1：三角形的内角和定理 1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 2．三角形内角和的证明思路： （1）测量法：用量角器测量． （2）拼合法：运用平行线的性质，将三个内角拼在一个顶点处，合并成一个平角． （3）利用“平行线的性质”证明． 原理：运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角． 知识点2：直角三角形的性质与判定 1．性质：直角三角形的两个锐角互余． 2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC． 知识点3：三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角． 2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角． 求甚解 1．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 2．直角三角形的性质和判定的应用思路： （1）见直角三角形，可得两锐角互余． （2）见两角互余，可得直角三角形． （3）性质和判定的推理依据都是三角形内角和定理． 3．教材延伸 （1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． （2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°． 练题型 题型01 应用三角形内角和定理判断三角形的形状 典型例题 典例 01 （2025春•市南区期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用三角形的内角和定理和角的比即可求出． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∴3x+4x+5x＝180°， 解得：x＝15°， 则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴△ABC是锐角三角形． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•凤台县期末）若△ABC的三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式练2】　（2025春•茂名期末）若一个三角形的三个内角度数的比为3：4：2，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式练3】　（2024秋•柳州期末）已知△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 题型02 应用三角形内角和定理计算 典型例题 典例 02 （2025春•寿县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【答案】C 【分析】先求出∠BCD的度数，再根据三角形的内角和定理求解． 【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝50°， ∴∠BCD∠ACB＝25°． 在△BDC中， ∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣70°﹣25°＝85°． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025春•泉港区期末）一个三角形的两个内角分别是50°和60°，则第三个内角的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式练2】　（2025春•三元区期中）一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式练3】　（2024秋•黄埔区期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠AEC的度数为（　　） A．105° B．120° C．75° D．45° 题型03 直角三角形的性质 典型例题 典例 03 （2025春•北海期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是（　　） A．50° B．30° C．60° D．40° 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＝40°， ∴∠A＝50°， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025春•湘潭期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为（　　） A．53° B．63° C．73° D．83° 【变式练2】　（2025春•玉门市期末）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为　　 ． 【变式练3】　（2025春•娄底期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　　 ． 题型04 三角形内角和定理及角平分线、高的综合应用 典型例题 典例 04 （2025春•历城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E，F分别在边BC，AC上，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，若∠FEC＝26°，则∠P的度数为（　　） A．39° B．52° C．65° D．78° 【答案】B 【分析】根据题意得出∠PBC＝∠C，设∠C＝x，则∠PBC＝x，表示出∠AFE，根据角平分线的定义可得∠FEP的度数，再根据∠PEC＝∠P+∠PBC，即可求出∠P的度数． 【解答】解：∵BP平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠PBC， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠PBC＝∠C， 设∠C＝x，则∠PBC＝x， ∵∠FEC＝26°， ∴∠AFE＝x+26°， ∵∠AEF＝2∠AFE， ∴∠AEF＝2x+52°， ∵EP平分∠AEF， ∴∠FEP＝x+26°， ∵∠PEC＝∠P+∠PBC， ∴x+26°+26°＝∠P+x， ∴∠P＝52°， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025春•鲤城区校级期中）如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（　　） A．50° B．40° C．35° D．25° 【变式练2】　（2025春•成都期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝　　 ． 【变式练3】　（2025春•南岗区校级月考）在△ABC中，BD和BE分别为△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠DBE＝10°，则∠ABC的度数为　　 ． 题型05 三角形外角的性质 典型例题 典例 05 （2025•宁江区校级模拟）将两把直尺如图放置，若∠2＝125°，则∠1的度数等于（　　） A．115° B．125° C．135° D．145° 【答案】D 【分析】由邻补角的性质求出∠CAB的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：如图，由题意得到：∠C＝90°， ∵∠2＝125°， ∴∠CAB＝180°﹣∠2＝55°， ∴∠1＝∠CAB+∠C＝145°， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•绿园区期末）△ABC中，点D是BC边上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝82°，则∠2＝（　　） A．80° B．90° C．82° D．69° 【变式练2】　（2025•福州模拟）在△ABC中，∠A、∠B的外角分别是100°和150°，则∠C＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．90° 【变式练3】　（2024秋•集美区期末）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD．下列角中，大小等于∠B+∠BCD的是（　　） A．∠ADC B．∠BDC C．∠A D．∠ACB 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3 三角形的内角与外角 讲义 新知廊 知识点1：三角形的内角和定理 1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 2．三角形内角和的证明思路： （1）测量法：用量角器测量． （2）拼合法：运用平行线的性质，将三个内角拼在一个顶点处，合并成一个平角． （3）利用“平行线的性质”证明． 原理：运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角． 知识点2：直角三角形的性质与判定 1．性质：直角三角形的两个锐角互余． 2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC． 知识点3：三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角． 2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角． 求甚解 1．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 2．直角三角形的性质和判定的应用思路： （1）见直角三角形，可得两锐角互余． （2）见两角互余，可得直角三角形． （3）性质和判定的推理依据都是三角形内角和定理． 3．教材延伸 （1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． （2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°． 练题型 题型01 应用三角形内角和定理判断三角形的形状 典型例题 典例 01 （2025春•市南区期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用三角形的内角和定理和角的比即可求出． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∴3x+4x+5x＝180°， 解得：x＝15°， 则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴△ABC是锐角三角形． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•凤台县期末）若△ABC的三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】设三角形的三个内角分别是5k，2k，3k．根据三角形的内角和是180°，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【解答】解：设三角形的三个内角分别是5k，2k，3k． 根据三角形的内角和定理，得5k+2k+3k＝180°， 解得k＝18°． ∴最大的内角为90°． ∴该三角形是直角三角形． 故选：C． 【变式练2】　（2025春•茂名期末）若一个三角形的三个内角度数的比为3：4：2，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据各角度数间的关系，可求出最大内角的度数，由该值小于90°，可得出这个三角形是锐角三角形． 【解答】解：根据题意得：最大内角的度数为180°＝80°， ∵80°＜90°， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式练3】　（2024秋•柳州期末）已知△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设出∠A，∠B，∠C分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理求出x即可． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴设∠A，∠B，∠C分别为x，2x，3x， ∴x+2x+3x＝180°， ∴6x＝180°， ∴x＝30°， ∴∠A，∠B，∠C分别为x＝30°，2x＝2×30°＝60°，3x＝3×30°＝90°， ∴△ABC的最大内角为90°， ∴△ABC是直角三角形， 故选：B． 题型02 应用三角形内角和定理计算 典型例题 典例 02 （2025春•寿县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【答案】C 【分析】先求出∠BCD的度数，再根据三角形的内角和定理求解． 【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝50°， ∴∠BCD∠ACB＝25°． 在△BDC中， ∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣70°﹣25°＝85°． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025春•泉港区期末）一个三角形的两个内角分别是50°和60°，则第三个内角的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】根据三角形三个内角的和是180°计算即可． 【解答】解：一个三角形的两个内角分别是50°和60°，则第三个内角的度数是180°﹣50°﹣60°＝70°， 故选：C． 【变式练2】　（2025春•三元区期中）一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理，即可求出第三个内角的度数． 【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别是50°和70°， ∴第三个内角的度数是180°﹣50°﹣70°＝60°． 故选：C． 【变式练3】　（2024秋•黄埔区期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠AEC的度数为（　　） A．105° B．120° C．75° D．45° 【答案】C 【分析】三角形内角和是180°，由此即可计算． 【解答】解：∵∠ECA＝45°，∠EAC＝60°， ∴∠AEC＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 故选：C． 题型03 直角三角形的性质 典型例题 典例 03 （2025春•北海期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是（　　） A．50° B．30° C．60° D．40° 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＝40°， ∴∠A＝50°， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025春•湘潭期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为（　　） A．53° B．63° C．73° D．83° 【答案】A 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余计算，得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°， 则∠B＝90°﹣37°＝53°， 故选：A． 【变式练2】　（2025春•玉门市期末）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为　　 ． 【答案】55°． 【分析】根据直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°， ∴∠A＝90°﹣35°＝55°， 故答案为：55°． 【变式练3】　（2025春•娄底期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　　 ． 【答案】50°． 【分析】根据三角形的内角和等于180度，能够得出答案． 【解答】解：∵三角形的内角和等于180度，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，即∠B＝90°﹣∠A， ∵∠A﹣∠B＝10°， ∴∠A﹣（90°﹣∠A）＝10°． ∴∠A＝50°． 故答案为：50°． 题型04 三角形内角和定理及角平分线、高的综合应用 典型例题 典例 04 （2025春•历城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E，F分别在边BC，AC上，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，若∠FEC＝26°，则∠P的度数为（　　） A．39° B．52° C．65° D．78° 【答案】B 【分析】根据题意得出∠PBC＝∠C，设∠C＝x，则∠PBC＝x，表示出∠AFE，根据角平分线的定义可得∠FEP的度数，再根据∠PEC＝∠P+∠PBC，即可求出∠P的度数． 【解答】解：∵BP平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠PBC， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠PBC＝∠C， 设∠C＝x，则∠PBC＝x， ∵∠FEC＝26°， ∴∠AFE＝x+26°， ∵∠AEF＝2∠AFE， ∴∠AEF＝2x+52°， ∵EP平分∠AEF， ∴∠FEP＝x+26°， ∵∠PEC＝∠P+∠PBC， ∴x+26°+26°＝∠P+x， ∴∠P＝52°， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025春•鲤城区校级期中）如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（　　） A．50° B．40° C．35° D．25° 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CAE，再根据角平分线的定义可得∠DAE∠CAE． 【解答】解：∵AE是△ABC边上的高，∠ACB＝40°， ∴∠CAE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE∠CAE50°＝25°． 故选：D． 【变式练2】　（2025春•成都期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝　　 ． 【答案】16°． 【分析】由三角形内角和定理求得∠BAC，则根据角平分线的定义易求∠EAC，根据三角形外角定理，即可求得∠AED，在直角△AED中，利用直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠EAD，即可作答． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝70°， 则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°． ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠EAC∠BAC＝36°， ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝38°+36°＝74°， ∵AD是△ABC的高线， ∴△AED为直角三角形， ∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣74°＝16°， 故答案为：16°． 【变式练3】　（2025春•南岗区校级月考）在△ABC中，BD和BE分别为△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠DBE＝10°，则∠ABC的度数为　　 ． 【答案】100°或140°． 【分析】设∠ABC＝x°，则∠C＝100°x°或∠C＝80°x°，利用三角形内角和定理，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设∠ABC＝x°，则∠C＝90°﹣（x°﹣10°）＝100°x°或∠C＝90°﹣（x°+10°）＝80°x°， 根据题意得：30°+x°+100°x°＝180°或30°+x°+80°x°＝180°， 解得：x＝100或x＝140， ∴∠ABC的度数为100°或140°． 故答案为：100°或140°． 题型05 三角形外角的性质 典型例题 典例 05 （2025•宁江区校级模拟）将两把直尺如图放置，若∠2＝125°，则∠1的度数等于（　　） A．115° B．125° C．135° D．145° 【答案】D 【分析】由邻补角的性质求出∠CAB的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：如图，由题意得到：∠C＝90°， ∵∠2＝125°， ∴∠CAB＝180°﹣∠2＝55°， ∴∠1＝∠CAB+∠C＝145°， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•绿园区期末）△ABC中，点D是BC边上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝82°，则∠2＝（　　） A．80° B．90° C．82° D．69° 【答案】C 【分析】根据题意，则∠BAC＝∠1+∠BAD＝82°，根据三角形的外角∠2＝∠B+∠BAD，即可． 【解答】解：由题意可知∠BAC＝∠1+∠BAD＝82°， ∵∠B＝∠1， ∴∠B+∠BAD＝82°， ∵∠2＝∠B+∠BAD， ∴∠2＝82°． 故选：C． 【变式练2】　（2025•福州模拟）在△ABC中，∠A、∠B的外角分别是100°和150°，则∠C＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．90° 【答案】C 【分析】由平角的定义可得∠A＝80°，∠B＝30°，由三角形的内角和即可求∠C． 【解答】解：∵∠A，∠B的外角分别是100°，150°， ∴∠A＝80°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°． 故选：C． 【变式练3】　（2024秋•集美区期末）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD．下列角中，大小等于∠B+∠BCD的是（　　） A．∠ADC B．∠BDC C．∠A D．∠ACB 【答案】A 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可得到答案． 【解答】解：A、∠ADC＝∠B+∠BCD，故A符合题意； B、∠BDC＝∠A+∠ACD，故B不符合题意； C，显然∠B+∠BCD不一定等于∠A，故C不符合题意； D、∠ACB＝∠BCD+∠ACD，故D不符合题意． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $$