13.2 与三角形有关的线段 同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2 与三角形有关的线段 讲义 新知廊 知识点1：三角形的三边关系 1．三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边． 2．理论依据：两点之间，线段最短． 知识点2：三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性． 知识点3：三角形的中线、角平分线、高 1．三角形的中线 （1）定义：如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线． （2）三角形的重心：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 2．三角形的角平分线 （1）定义：如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线． （2）三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点（三角形的内心）． 3．三角形的高 （1）定义：如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高． （2）三角形的高的画法： 一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上． 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点． 三画：画垂线段． （3）三角形的高的位置： 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 三条高的位置 锐角三角形的三条高都在三角形的内部 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上 三条高的交点 三条高交于三角形内部一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 求甚解 1．判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2．（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．例如房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． （3）四边形没有稳定性． 3．每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段． 4．三角形三条高或者高所在直线的交点为三角形的垂心． 练题型 题型01 三角形的稳定性 典型例题 典例 01 （2025春•泌阳县月考）火星探测车的太阳能板支架需适应强风环境，以下几何结构设计最能保障其稳定性的是（　　） A．正方形框架 B．正五边形网格 C．可伸缩的六边形支架 D．三角形框架结构 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性这一特征分析即可． 【解答】解：D选项为三角形框架结构，能够有效抵御强风带来的外力，保障稳定性，而其他选项的结构稳定性均不如三角形， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•榆树市期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（　　） A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 【变式练2】　（2024秋•唐县期末）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【变式练3】　（2024秋•广信区期末）自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 题型02 三角形的三边关系 典型例题 典例 02 （2025春•余江区校级月考）若△ABC的两边长分别为3和8，则第三边的长不可能是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设此三角形的第三边的长是x，由三角形三边关系定理得到5＜x＜11，即可得到答案． 【解答】解：设此三角形的第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜x＜8+3， ∴5＜x＜11， ∴第三边的长不可能是3， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025春•郑州期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，6 B．3，4，7 C．3，4，8 D．3，4，1 【变式练2】　（2024秋•谯城区期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式练3】　（2024秋•龙湖区期末）以下列数据为三边长能构成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．14，4，9 D．7，2，4 题型03 利用三角形三边关系化简 典型例题 典例 03 （2025春•桐柏县期末）已知△ABC的三边长分别是a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（　　） A．2a B．﹣2b C．2（a+b） D．2（b﹣c） 【答案】D 【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c， ∴a+b＞c，b﹣a＜c， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）； 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•石鼓区期末）若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 【变式练2】　（2025春•栾城区期末）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　） A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29 【变式练3】　（2024秋•南充期末）已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（　　） A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0 题型04 作三角形的高 典型例题 典例 04 （2025春•河源期末）如图，在以下四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的高的定义判断． 【解答】解：A、线段BE不是△ABC的高，不符合题意； B、线段BE不是△ABC的高，不符合题意； C、线段BE是△ABC的高，符合题意； D、线段BE不是△ABC的高，不符合题意； 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•云南期末）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式练2】　（2024秋•新城区期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【变式练3】　（2024秋•柳州期末）画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 题型05 与中线有关的周长问题 典型例题 典例 05 （2025春•阜城县期末）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【答案】B 【分析】根据中点得到BE＝CE，再表示出△ACE和△ABE的周长，找出它们的联系即可． 【解答】解：∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AB＝7，AC＝10， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE， ∴CE+AE＝15， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025春•辉县市期末）在△ABC中，AD是中线，△ACD与△ABD的周长差为7．若AB＝5，则AC＝（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【变式练2】　（2025春•衡南县期末）如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式练3】　（2025春•历下区期中）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（　　） A．13cm B．16cm C．19cm D．21cm 题型06 三角形的高、中线、角平分线综合 典型例题 典例 06 （2024秋•玉溪期末）如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE 【答案】A 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可， 【解答】解：根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断如下： A、AE不是中线， ∴， ∵，， ∴S△ABC≠2S△ABE，该选项错误，符合题意； B、∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD，该选项正确，不符合题意； C、∵AF是△ABC的高线， ∴∠AFC＝90°，该选项正确，不符合题意； D、∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，该选项正确，不符合题意； 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025•锡山区二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【变式练2】　（2024秋•安徽期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠B+∠BAD＝90° C．S△ABE：S△ACE＝AB：AC D．∠BAF＝∠CAF 【变式练3】　（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2 与三角形有关的线段 讲义 新知廊 知识点1：三角形的三边关系 1．三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边． 2．理论依据：两点之间，线段最短． 知识点2：三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性． 知识点3：三角形的中线、角平分线、高 1．三角形的中线 （1）定义：如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线． （2）三角形的重心：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 2．三角形的角平分线 （1）定义：如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线． （2）三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点（三角形的内心）． 3．三角形的高 （1）定义：如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高． （2）三角形的高的画法： 一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上． 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点． 三画：画垂线段． （3）三角形的高的位置： 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 三条高的位置 锐角三角形的三条高都在三角形的内部 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上 三条高的交点 三条高交于三角形内部一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 求甚解 1．判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2．（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．例如房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． （3）四边形没有稳定性． 3．每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段． 4．三角形三条高或者高所在直线的交点为三角形的垂心． 练题型 题型01 三角形的稳定性 典型例题 典例 01 （2025春•泌阳县月考）火星探测车的太阳能板支架需适应强风环境，以下几何结构设计最能保障其稳定性的是（　　） A．正方形框架 B．正五边形网格 C．可伸缩的六边形支架 D．三角形框架结构 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性这一特征分析即可． 【解答】解：D选项为三角形框架结构，能够有效抵御强风带来的外力，保障稳定性，而其他选项的结构稳定性均不如三角形， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•榆树市期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（　　） A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【变式练2】　（2024秋•唐县期末）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【解答】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、应用到三角形的稳定性，不符合题意； D、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； 故选：D． 【变式练3】　（2024秋•广信区期末）自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：自行车支架一般都会采用三角形设计的几何原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 题型02 三角形的三边关系 典型例题 典例 02 （2025春•余江区校级月考）若△ABC的两边长分别为3和8，则第三边的长不可能是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设此三角形的第三边的长是x，由三角形三边关系定理得到5＜x＜11，即可得到答案． 【解答】解：设此三角形的第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜x＜8+3， ∴5＜x＜11， ∴第三边的长不可能是3， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025春•郑州期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，6 B．3，4，7 C．3，4，8 D．3，4，1 【答案】A 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、3+4＞6，能组成三角形，故A符合题意； B、3+4＝7，不能组成三角形，故B不符合题意； C、3+4＜8，不能组成三角形，故C不符合题意； D、1+3＝4，不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：A． 【变式练2】　（2024秋•谯城区期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到2＜x＜8，即可得到答案． 【解答】解：设该三角形第三边的长是x， ∴5﹣3＜x＜5+3， ∴2＜x＜8， ∴该三角形第三边的长不可能是2． 故选：A． 【变式练3】　（2024秋•龙湖区期末）以下列数据为三边长能构成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．14，4，9 D．7，2，4 【答案】B 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、2+3＞4，能构成三角形，故此选项符合题意； C、4+9＝13＜14，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、2+4＝6＜7，不能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：B． 题型03 利用三角形三边关系化简 典型例题 典例 03 （2025春•桐柏县期末）已知△ABC的三边长分别是a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（　　） A．2a B．﹣2b C．2（a+b） D．2（b﹣c） 【答案】D 【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c， ∴a+b＞c，b﹣a＜c， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）； 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•石鼓区期末）若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 【答案】A 【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值． 【解答】解：由条件可知a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c． 故选：A． 【变式练2】　（2025春•栾城区期末）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　） A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29 【答案】B 【分析】首先根据三角形的三边关系确定x的取值范围，再去绝对值计算即可解答． 【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为2，x，7， ∴5＜x＜9， ∴|x﹣5|﹣2|x﹣12| ＝x﹣5+2x﹣24 ＝3x﹣29， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•南充期末）已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（　　） A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系得到a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边长， ∴a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b| ＝﹣a+b+c﹣c+a﹣b ＝0． 故选：D． 题型04 作三角形的高 典型例题 典例 04 （2025春•河源期末）如图，在以下四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的高的定义判断． 【解答】解：A、线段BE不是△ABC的高，不符合题意； B、线段BE不是△ABC的高，不符合题意； C、线段BE是△ABC的高，符合题意； D、线段BE不是△ABC的高，不符合题意； 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•云南期末）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：A、AD是△ABC边BC上的高，不符合题意； B、AD是△ADC边AC上的高，不符合题意； C、BD是△DBC边BC上的高，不符合题意； D、BD是△ABC边AC上的高，符合题意； 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•新城区期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BD是△ABC的高． 【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 【变式练3】　（2024秋•柳州期末）画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据高的画法可知，画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线． 【解答】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线． 故选：C． 题型05 与中线有关的周长问题 典型例题 典例 05 （2025春•阜城县期末）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【答案】B 【分析】根据中点得到BE＝CE，再表示出△ACE和△ABE的周长，找出它们的联系即可． 【解答】解：∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AB＝7，AC＝10， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE， ∴CE+AE＝15， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025春•辉县市期末）在△ABC中，AD是中线，△ACD与△ABD的周长差为7．若AB＝5，则AC＝（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△ACD与△ABD的周长差为7， ∴（AC+DC+AD）﹣（AB+BD+AD）＝7， ∴AC﹣AB＝7， ∵AB＝5， ∴AC＝12， 故选：B． 【变式练2】　（2025春•衡南县期末）如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用中线定义可得DB＝DC，再表示两个三角形周长，进而可得答案． 【解答】解：∵AD为中线， ∴DB＝DC， ∴△ABD与△ACD的周长之差为： （AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2020﹣2018＝2， 故选：B． 【变式练3】　（2025春•历下区期中）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（　　） A．13cm B．16cm C．19cm D．21cm 【答案】A 【分析】根据题意得到AB＝AC+3，根据中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：由题意得，AB＝AC+3， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长为16cm， ∴AB+BD+AD＝AC+3+DC+AD＝16（cm）， 则AC+DC+AD＝13（cm）， ∴△ACD的周长＝AC+DC+AD＝13（cm）， 故选：A． 题型06 三角形的高、中线、角平分线综合 典型例题 典例 06 （2024秋•玉溪期末）如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE 【答案】A 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可， 【解答】解：根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断如下： A、AE不是中线， ∴， ∵，， ∴S△ABC≠2S△ABE，该选项错误，符合题意； B、∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD，该选项正确，不符合题意； C、∵AF是△ABC的高线， ∴∠AFC＝90°，该选项正确，不符合题意； D、∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，该选项正确，不符合题意； 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025•锡山区二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【答案】B 【分析】根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可． 【解答】解：A、∵CF是边AB的中线， ∴AB＝2BF，正确，不符合题意； B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意； C、∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE∠ACB，正确，不符合题意； D、∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，正确，不符合题意， 故选：B． 【变式练2】　（2024秋•安徽期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠B+∠BAD＝90° C．S△ABE：S△ACE＝AB：AC D．∠BAF＝∠CAF 【答案】D 【分析】分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【解答】解：由条件可知BF＝CF，故A选项正确，不符合题意； 由已知可得∠ADB＝90°，则∠B+∠BAD＝90°，故B选项正确，不符合题意； 过点E作EG⊥AB于点G，EH⊥AC于点H， ∵AE是角平分线， ∴EG＝EH， ∴，故C正确，不符合题意； ∵AF是中线， ∴∠BAF与∠CAF不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式练3】　（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 【答案】（1）20°； （2）4cm． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，进而求出∠DAE； （2）根据三角形的中线的性质得到BD＝DE，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°， ∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°； （2）∵AD是△ABE的中线， ∴BD＝DE， ∵CE＝3cm， ∴CD﹣DE＝CD﹣BD＝3cm， ∵△ABD的周长比△ADC周长小5cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm， ∴AC+CD+AD﹣AB﹣BD﹣AD＝5cm， ∴AC﹣AB＝2cm， ∴AC＝4cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$