精品解析：广东省东莞市海德实验学校2024-2025学年九年级下学期数学三模试卷

东莞市海德实验学校2024-2025学年第二学期 九年级数学练习三 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、考号、班级用黑色字述的0.5毫米签字笔填写在答题卡上的相应位置．作答选择题时，将答案填涂在相应位置，作答非选择题时，请将答案写在答题卡的相应题号区域内. 2.考试结术后，将答题卡上交． 第Ⅰ卷（选择题） 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【详解】解：6的相反数是． 故选：A． 2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 截至2025年4月28日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已超157.5亿元．它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．正确的确定的值即可． 【详解】解：亿， 故选：C 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，正确； B．与不是同类项，不能合并，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数（）的性质．解题关键在于先根据值判断函数在相应象限的单调性，再依据已知点横坐标的大小关系及点所在象限，利用函数单调性来比较纵坐标的大小．对于反比例函数（），当时，在每个象限内，随的增大而减小；当时，在每个象限内，随的增大而增大．在函数中，，所以此函数在每个象限内随的增大而减小．已知，这表明点和都在第一象限．由于在第一象限内该反比例函数随增大而减小，且 ，从而得出出与的大小关系． 【详解】解：对于反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小． ∵，说明点，都在第一象限，又在第一象限内随增大而减小， ∴当 时， ， 故选：B． 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查通分母的分式加法．先整理，再根据同分母的分式加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 8. 某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 9. 如图，在⊙中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和垂径定理．连接，由垂径定理可得，再利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，O为对角线交点，的平分线交于点F，交于点E，，，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识．根据矩形的性质证明是等边三角形得到，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理分别求得，，进而求解即可． 【详解】解：在矩形中，是的平分线，，，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷（填空题 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 12. 在“风声雨声读书声声声入耳”这句话中，“声”字出现的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，根据频率频数总数进行求解即可，熟知频率频数总数是解题的关键 【详解】解：∵在“风声雨声读书声声声入耳”这句话中，一共有个字，其中“声”字一共出现了次， ∴“声”字出现的频率为， 故答案为：． 13. 不等式组的解集为___________ ． 【答案】－2＜x＜1 【解析】 【分析】分别解不等式，找出解集的公共部分即可． 【详解】详解： ， 解不等式①，得 解不等式②，得 原不等式组的解集为 故答案为． 【点睛】考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可． 14. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：1． 15. 如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是8，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据反比例函数值几何意义解答结构。 【详解】解：如图，连接交于点， 菱形， ， ， 菱形的面积是， ， 点A在反比例函数的图象上 ， 点在第二象限， ， 故答案为： ． 第Ⅲ卷（解答题） 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分.） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 先算三角函数、负整数指数幂、零指数幂、去绝对值，再算加减即可． 【详解】解： 17. 如图，已知，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中作的垂直平分线与边交于点D，且点D是上靠近点A的三等分点．求的度数． 【答案】（1） 如图所示，即为所要求作的边的垂直平分线； （2）的度数． 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）首先由垂直平分得到，然后结合题意得到，再利用三角函数，求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用三角形外角的性质和等边对等角求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵垂直平分， ∴， ∵点D是上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴； ∴的度数． 【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角函数，三角形外角的性质和等边对等角性质，解题的关键是正确作图． 18. “醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】该舞狮者“采青”成功． 如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴该舞狮者“采青”成功． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，再利用锐角三角函数求解，再比较即可． 【详解】略 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，广州某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了名学生进行体重指数调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准， 分类如下： 范围 分类 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 调查结果如表所示： 分类 人数 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 （1）小明身高为，指数为，则小明的体重为__________； （2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分． （3）学校计划从体重正常的个男生和个女生中，抽取名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 补全统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据计算公式求解即可； （2）先求出超重的人数占比，再补全统计图即可； （3）从控制体重的方面阐述即可； （4）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽取出来的学生恰好是一男一女的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵小明身高为，指数为，， ∴小明的体重为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：超重的人数占比为， 【小问3详解】 解：根据题意列表： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 有表格可知，共有种等可能情况，其中恰好为一男一女的有种， ∴抽取出来的学生恰好是一男一女的概率为． 20. 嘉嘉坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，共消耗热量156大卡．每个动作之间的衔接时间忽略不计． （1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？ （2）若嘉嘉只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，嘉嘉至少要做多少个波比跳？ 【答案】（1）每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡；（2）嘉嘉至少要做25个波比跳． 【解析】 【分析】（1）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，根据“完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，”列出方程组，即可求解； （2）设要做m个波比跳，则要做（120﹣m）个深蹲，根据“只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，”列出不等式，即可求解． 【详解】解：（1）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡， 依题意得： ， 解得： ． 答：每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡． （2）设要做m个波比跳，则要做（120﹣m）个深蹲， 依题意得：5m+0.8（120﹣m）≥200， 解得：m≥24 ． 又∵m为整数， ∴m的最小值为25． 答：嘉嘉至少要做25个波比跳． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 21. 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】（1） （2）16 （3） 有3种方案，理由： 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键． （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． 【小问2详解】 解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． 【小问3详解】 略 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O顺时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点和， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 依题意得， 解得（舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：令，则， 解得或， ∴， 同理，直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图， ，， ∴， ∴，， 设， ∴，， 则， ∵点M在直线上， ∴， 解得或， 当时，，， 即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时； 当时，，， 点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M， 则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N， ∴，即； 设点，则点， 当绕着点O逆时针旋转得到时，如图， ∵点E在的图象上， ∴， ∴点， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：或0， ∴，， 当点M绕点O顺时针得到点E时，点，， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：， ∴点，，，， ∴点N的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 23. 【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）． 【特例证明】 （1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N． ①填空：______； ②求证：． 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值． 【答案】（1）①1； ②证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． （2），理由如下： 过点作交于， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴． （3）3． 【解析】 【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案； ②根据正方形的性质可得，，，利用证明即可； （2）过点作交于，利用平行线的性质及正方形的性质易证得，，可证明，利用相似三角形性质即可得出答案； （3）过点作交于，作于，作于，利用证得，可得：，，再证得，可得，同理可得：，推出，进而可得，令，则，，，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：， ∵将的直角顶点与点重合， ∴， 故答案为：1； ②略 （2）略 （3）过点作交于，作于，作于， 则， ∴， 即， ∴， 由（2）和已知条件可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则，，， ∴， ∴． 【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市海德实验学校2024-2025学年第二学期 九年级数学练习三 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、考号、班级用黑色字述的0.5毫米签字笔填写在答题卡上的相应位置．作答选择题时，将答案填涂在相应位置，作答非选择题时，请将答案写在答题卡的相应题号区域内. 2.考试结术后，将答题卡上交． 第Ⅰ卷（选择题） 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年4月28日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已超157.5亿元．它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 2 D. 8. 某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在⊙中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，O为对角线交点，的平分线交于点F，交于点E，，，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 第Ⅱ卷（填空题 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 因式分解：_____． 12. 在“风声雨声读书声声声入耳”这句话中，“声”字出现的频率是______． 13. 不等式组的解集为___________ ． 14. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 15. 如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是8，则k的值为_______． 第Ⅲ卷（解答题） 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分.） 16. 计算：． 17. 如图，已知，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中作的垂直平分线与边交于点D，且点D是上靠近点A的三等分点．求的度数． 18. “醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，） 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，广州某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了名学生进行体重指数调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准， 分类如下： 范围 分类 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 调查结果如表所示： 分类 人数 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 （1）小明身高为，指数为，则小明的体重为__________； （2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分． （3）学校计划从体重正常的个男生和个女生中，抽取名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率． 20. 嘉嘉坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，共消耗热量156大卡．每个动作之间的衔接时间忽略不计． （1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？ （2）若嘉嘉只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，嘉嘉至少要做多少个波比跳？ 21. 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 23. 【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）． 【特例证明】 （1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N． ①填空：______； ②求证：． 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $