4.1.2 数列的递推公式课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.1.2 数列的递推公式 1.能根据数列的通项公式解决简单的问题. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项. 3.进一步理解数列与函数的关系. 学习目标 01 数列的递推公式 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比 前一排多2个座位. 想一想 【问题1】写出前五排座位数. 20，22，24，26，28. 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比 前一排多2个座位. 想一想 【问题2】第n排与第n＋1排座位数有何关系？ 第n＋1排比第n排多2个座位. 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比 前一排多2个座位. 想一想 【问题3】第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ an＋1＝an＋2. 一般地，如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用___________来表示，那么这个公式就叫作这个数列的___________. 知识梳理1 一个公式 递推公式 (课本例3) 试分别根据下列条件，写出数列{an}的前5项： (1) a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*； (2) a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*. 通性通法 例1：已知数列满足 则a5的值为 (　　) A.5　　　 B.6　　　 C.7　　　 D.8 因为a1＝1，＝ an＋2＝，n∈N*， 所以 所以 解析： √ 练习1：已知数列{an}满足则的值为（ ） A.67 B.115 C.31 D.127 因为a1＝1，，n∈N*， 所以 所以 解析： √ 02 由递推公式求通项公式 例2 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋，则an等于（ ） A. B. C. D. √ 方法一　(迭代法)　 a2＝a1＋1－，a3＝a2＋，…， an＝an－1＋(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋…＋ ＝2－(n≥2). 又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). 方法二　(累加法)　 an＋1－an＝，a1＝1， a2－a1＝1－， a3－a2＝， a4－a3＝， … an－an－1＝(n≥2)， 以上各项相加得an＝1＋1－＋…＋. 所以an＝(n≥2). 因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). 总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an， 即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求通项公式. 【练习】 已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求an. 因为an＝an－1＋(n≥2)， 所以an－an－1＝. 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝()＋()＋…＋()＋1 ＝＋1. 又a1＝1也符合上式， 所以an＝＋1，n∈N*. 解析： 例2 (2)已知数列满足a1＝1，an＋1＝ an(n∈N*) ，则an等于 A.n＋1 B.n C. D. √ （累乘法） 由题意，因为数列满足an＋1＝an (n∈N*) ， 所以an＝··…···a1＝××…×××1＝(n≥2). 又a1＝1也适合上式，所以an＝，n∈N*. 解析： 总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an 即 时，可用累乘法求通项公式. 【练习】 已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 因为ln an－ln an－1＝1，所以ln＝1，即＝e(n≥2). 所以an＝··…··a1＝·1＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式， 所以an＝en－1，n∈N*. 解析： 迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的形式 (1) an＋1－an＝f(n) (f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； (2) an＋1＝ f(n) an (f(n)是可以求积的，且不为0)，使用累乘法或迭代法. 通性通法 03 数列的单调性与最值 例3　判断数列｛2n－1｝的单调性，并说明理由． 数列是特殊的函数 设是由连续的正整数构成的集合，若对于中的每一个 都有（或 ），则数列单调递增（或单调递减） 【练习】已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 √ 因为an＝－4＝－4， 所以当n＝3时，an取得最小值. 解析： 通性通法 (1)研究数列单调性的方法 ①定义法：通过判断an＋1－an与0的大小关系来得出an＋1与an的大小关系， 从而得到an的单调性. ②转化为函数的单调性：令an＝f(n)，通过研究函数f(x)的单调性来确定f(n)即an的单调性. 追问：已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·，n∈N*. 试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号； 若没有，请说明理由. 方法一 an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 则a1<a2<a3<…<a9＝a10 且a10>a11>a12>…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×. 方法二　 根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项， 且a9＝a10＝10×. 通性通法 求数列最值的方法 ①数列的单调性法：通过研究通项公式an的单调性来研究最大(小)项. ②不等式组法：先假设有最大(小)项. 不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围， 从而确定n的值； 求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值. THANKS 由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式； (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． $$