江苏省南京市第二十九中学2025-2026学年高三上学期开学模拟预测数学试题

高三考前模拟检测数学答案与评分标准 一、单选题 1．已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，是等差数列，不是等比数列， 当既是等差数列又是等比数列，则， 故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件，故选：A． 2．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限.故选：C. 3．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A．B． C． D． 【答案】B【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为.故选：B 4．在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以即为异面直线与所成的角或补角， 设，则，， 连接，则，因为， 所以平面，平面，所以， ，， 由余弦定理得. 所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：D. 5.书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有（ ）种. A．504 B. 84 C. 1008 D. 168 答案：A 6．如图，圆O为四边形的外接圆，点M在直径上，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 则，，∴， 则 .故选:A. 7．已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， ①当时，，当时，，不符合题意； ②当时，取，则，不符合题意； ③当时，设，， 则，当且仅当时取等号. （i）若，即，取， ，，不满足题意； （ii）若，即， 若在上恒成立，则需在上恒成立， 又， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 故，解得，所以.综上可知，.故选：D. 8．已知，则（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】对于A，令，则， 所以在上单调递减，即， 所以，故A错误； 对于B，令，，则， 所以在上单调递增，即，故B错误； 对于C，因为，令时，， ， 因为，所以，故C错误； 对于D，令，，则， 由三角函数线可得当时，，所以， 所以， 所以在上单调递增，，， 即，故D正确.故选：D 二、多选题 9．下列命题中，真命题有（　　） A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5 B．若随机变量，则 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，则； D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A：由，所以70%分位数是，故A错误； 对于B：由，所以，故B正确； 对于C：由，所以，故C正确； 对于D：，，所以，故D错误.故选：BC. 10．已知正方体的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱的中点，下列说法正确的是（ ） A．平面MNQ与正方体各面的交线围成的是正六边形 B．直线PM与直线QN是异面直线 C．当P在四边形ABCD内部（含边界）时，三棱锥P-MNQ体积的最大值为1 D．若P到棱CD，距离相等的点，则点P的轨迹是双曲线 【答案】ACD【详解】 如图所示，作出各边中点，在正方体中，根据三角形中位线的关系，可知， 且截面各边长都是相等的，是正六边形，所以A正确. 当点在中点上时，与相交，此时共面，所以B错误. 正方体边长为2，则线段，当正六边形边长为时，可知其对角线，所以，所以为直角三角形，可得， 当与点重合时，体积最大，此时三棱锥的高为, 此时体积为，所以C正确. 如图所示，过作于，过作于，作于，连接，以为坐标原点，以为轴，建立平面直角坐标系， 设，则，，当P到棱CD，A1D1距离相等时，，化简得，是双曲线轨迹，所以D正确.故选：ACD 11．定义：满足当为奇数时，；当为偶数时，，则称为“回旋数列”.若为“回旋数列”，，设前项和为，从中任意抽取两个数，两个数之和大于的概率为，的前项积为，下列说法正确的是（    ） A． B．C．且恒不小于 D． 【答案】BCD 【详解】因为数列为“回旋数列”，， 当为奇数时，；当为偶数时，， 所以当为奇数时，，，所以， 所以数列为等差数列，公差为， 所以当为奇数时，， 所以当为偶数时，，，所以， 所以数列为等差数列，公差为， 又，，故， 所以当为偶数时，， 所以，，所以，A错误； ， 所以， ， 所以，， ，， 所以，B正确， 从，，，中任意抽取两个数，有种取法， 其中两个数之和大于的取法包含取一个奇数项与它之后的所有偶数项，或取一个偶数项与它之前的所有奇数项， 故有， 所以， 所以，，C正确； 的前项积为，D正确；故选：BCD. 三、填空题 12．在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则的值为 .【答案】 【详解】易知第6项的二项式系数为，若仅有最大，可得.故答案为： 13. 若－＝4，则λ＝ . 14．已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 .【答案】 【分析】令，，分情况讨论，先判断当时，在区间内无零点，再当时，令，则，由导数判断其在上的单调性，求出最值. 【详解】令，， 当时，，在区间内无零点； 当时，，， 当，即时，为函数的零点. 当时，令，则， 令，则， 令，则，在区间上单调递减，区间上单调递增，，. 当时，在区间内有两个零点. 综上，当时函数有三个零点.故答案为：. 四、解答题 15．已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列；(2)设，求的前2n项和. 【答案】（1）依题意，，当时，得，则， ………2分 由，得，则，即， ……………4分 当时，，于是，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 .………………6分 （2）由（1）得， ………………8分 则， ………………10分 所以 . ………………13分 16. 如图，四边形中，，，设. （1）若面积是面积的4倍，求； （2）若，求. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）设，则，，， ………………2分 由题意， 则， ………………4分 所以. ………………6分 （2）由正弦定理，中，，即① …………8分 中，，即② …………10分 ①÷②得：， …………12分 化简得，所以 ……………15分 17. 如图，已知正方形的边长为4，E，F分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，M为线段上一点．   (1)若M为线段中点，设直线与直线的交点为O，证明：平面； (2)是否存在点M，使得直线与平面所成的角为?若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）分别为中点，，且， 又为中点，且，易得， 连接，交于点，连接，   由题设，易知四边形为平行四边形，为中点， …………2分 是的中点，为中点，， ………………4分 又平面，平面， 平面； ………………6分 注：定理内容不能缺少，否则扣2分 （2），，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角，； …………7分 取中点，连接，如图，   ，， ，，， ，，，又平面，， 平面，平面，， …………9分 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，   则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， ………………12分 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为. …………15分 注：不说明建系扣1分 18．已知椭圆过点，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点H(m，0)，若椭圆C上的点到H的距离的最小值是，求正实数m的值； (3)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. ………………3分 （2）设椭圆上动点为(x0,y0)， 则 ………4分 因为，所以 当时，，解得m=1 …………6分 当时，，解得 综上，或 ………………8分 （3）设点、， 直线与椭圆的方程联立消去整理得， 由，且， 所以， ………………10分 易知、，则直线的方程为， 直线的方程为， ………………11分 两式作商得，解得， 故在定直线上. …………14分 由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点， 由对称性知，所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立， 故的最小值为. ………………17分 19. 函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． (1)判断是否为的“－函数”，并证明； (2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； (3)若，，，，证明：是的“－函数”． 【详解】（1）解：由函数，可得，又由，可得， 因为，所以是的“－函数”. …………2分 （2）解：由为定义在上的函数，可得函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为是的“－函数”，所以， …………3分 因为，，所以是的“－函数”， 即， …………5分 用代替，可得，所以， 令，则，所以（为常数）， 所以（为常数） ………………8分 （3）解：由函数，， 可得，， 设， ………………9分 可得，设，则， 则，所以递增，即递增，且，， 存在使得，， ………………11分 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， ………………13分 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以，即， ………………15分 所以， 因为，所以，所以，即， 所以当时，是的“－函数” ………………17分 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三考前模拟检测数学 1．已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A．B． C． D． 4．在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 5.书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有（ ）种. A．504 B. 84 C. 1008 D. 168 6．如图，圆O为四边形的外接圆，点M在直径上，若，，，则（　　） A． B． C． D． 7．已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A．B．C． D． 二、多选题 9．下列命题中，真命题有（　　） A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5 B．若随机变量，则 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，则； D．若，则 10．已知正方体的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱的中点，下列说法正确的是（ ） A．平面MNQ与正方体各面的交线围成的是正六边形 B．直线PM与直线QN是异面直线 C．当P在四边形ABCD内部（含边界）时，三棱锥P-MNQ体积的最大值为1 D．若P到棱CD，距离相等的点，则点P的轨迹是双曲线 11．定义：满足当为奇数时，；当为偶数时，，则称为“回旋数列”.若为“回旋数列”，，设前项和为，从中任意抽取两个数，两个数之和大于的概率为，的前项积为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．且恒不小于 D． 三、填空题 12．在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则的值为 . 13. 若－＝4，则λ＝ . 14．已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列；(2)设，求的前2n项和. 16. 如图，四边形中，，，设. （1）若面积是面积的4倍，求； （2）若，求. 17. 如图，已知正方形的边长为4，E，F分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，M为线段上一点．   (1)若M为线段中点，设直线与直线的交点为O，证明：平面； (2)是否存在点M，使得直线与平面所成的角为?若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由． 18．已知椭圆过点，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点H(m，0)，若椭圆C上的点到H的距离的最小值是，求正实数m的值； (3)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 19. 函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． (1)判断是否为的“－函数”，并证明； (2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； (3)若，，，，证明：是的“－函数”． 学科网（北京）股份有限公司 $$