1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 part1 知识清单 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ Part2 教材重点例题与习题 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“”，错误的打“”． 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；  (    ) 若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量；  (    ) 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量．  (    )           【答案】   【解答】 因为零向量不具有方向性，所以零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量，故正确； 由可知时，不满足要求，因此错误； 因为平面，平面，且与交于坐标原点，显然有，，因此平面，是坐标平面的一个法向量． 2.如图，在长方体中，，，，是的中点以为原点， ，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 求平面的法向量 求平面的法向量． 【答案】解：因为轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． 因为，，，是的中点，所以，，的坐标分别 为，，因此，． 设是平面的法向量，则，． 所以 所以 取，则，于是是平面的一个法向量．  3.如图，在长方体中，，，线段上是否存在点，使得A1P∥平面 【答案】解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系因为， ，的坐标分别为，，，所以，． ，． 设是平面的法向量，则，， 即 所以 取，则，所以，是平面的一个法向量． 由，，的坐标分别为，，，得，设点满足 ，则，所以 令，得，解得，这样的点存在． 所以，当，即为的中点时，平面． 5.证明“平面与平面垂直的判定定理”若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 已知：如图，，，求证：． 【答案】证明：取直线的方向向量，平面的法向量． 因为，所以是平面的法向量． 因为，而是平面的法向量，所以． 所以．  6.如图，在正方体中，，分别是面，面的中心．求证：平面． 【答案】解：在正方形中，，分别是面，面的中心， 设正方形的棱长为，建立如图所示空间直角坐标系： ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则 令，得， ， ， 平面．  7.如图，在长方体中，，，是的中点，是的中点．求证：平面平面． 【答案】证明：根据题设条件，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 显然，有，，，，， 于是得到，，， 现设平面一条法向量为，平面的一条法向量为， 因此，和，， 即得 即，，， 于是可设，， 因为，故有， 根据空间中平面与平面位置关系的判定定理，可得平面平面．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量和都是直线的方向向量，则的值是(    ) A. B. 或 C. D. 2.已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为(    ) A. B. C. D. 3.在平行六面体中，，，，是与的交点．以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为       ． A. B. C. D. 4.如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 5.若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是(    ) A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定 7.已知向量，，分别是直线、 的方向向量，若，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.设直线，的方向向量分别为，，若，则等于(    ) A. B. C. D. 9.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则(    ) A. B. C. D. 10.平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是(    ) A. 平行 B. 相交且不垂直 C. 相交且垂直 D. 不确定 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 11.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，下列结论正确的有(    ) A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 12.如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是(    ) A.   B.    C.     D. 13.在四棱锥中，底面，底面为正方形，给出下列命题，其中正确的命题是(    ) A. 为平面的法向量 B. 为平面的法向量 C. 为直线的方向向量 D. 直线的方向向量一定是平面的法向量 14.已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有(    ) A. B. C. D. 三、填空题 15.在平面中，，，，若，且为平面的法向量，则          ，          ． 16.已知向量，分别是两个不同平面，的法向量，可得向量与的数量关系是          ，进而得到平面与的位置关系是          ． 17.已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量若，则          ． 18.如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.如图，，原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，。求： 直线的一个方向向量；  平面的一个法向量。 20.如图所示，已知四边形是直角梯形，，，平面，，，试建立适当的坐标系． 求平面的一个法向量； 求平面的一个法向量； 求平面的一个法向量． 21.如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点． 求证：； 求证：平面平面． 22.如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上已知，，，． 求证： 若点是线段上一点，且，求证：平面平面． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】 解：向量和都是直线的方向向量， 则， 即，解得， 故选A． 2.【答案】  【解答】 解：由题知，， 则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 只有不符合， 故选A． 3.【答案】  【解答】 解：是平行六面体， 且， 四边形是平行四边形， 是线段的中点， 四边形是平行四边形， ， 即直线的一个方向向量为 故选A． 4.【答案】  【解答】 解：如图， 设点的坐标为，，连接， 则，又，， ，， 平面，平面，平面平面， ，， 解得，点的坐标为， 故选B． 5.【答案】  【解答】 解：平面， 这两个平面的法向量共线． 只有中的，满足条件． 故选D． 6.【答案】  【解答】 解：两条不重合直线和的方向向量分别为，， ，即与共线， 和的位置关系是直线， 故选：． 7.【答案】  【解答】 解：， 存在实数使得 ，解得，． 故选D． 8.【答案】  【解答】 解：， ，解得． 实数的值为． 故选D． 9.【答案】  【解答】 解：因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且， 所以存在实数，使得， 所以 解得，． 故选C． 10.【答案】  【解答】 解：由题意可得， 故两个平面的法向量垂直，故平面和平面的位置关系为垂直， 故选： 11.【答案】  【解答】 解：因为， 所以，故A正确， 同理，可得，故B正确， 由选项A，可知，是平面的一个法向量，故C正确， 因为，所以，故D错误． 故答案为． 12.【答案】  【解答】 解：设正方体的棱长为，则，， ， 设向量是平面的法向量， 则 取，得， 则是平面的一个法向量， 结合其他选项，检验可知只有选项是平面的法向量， 故选：． 13.【答案】  【解答】 解：由题意，以坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 令正方形的边长为，，，，，，， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以不是平面的法向量，故A错误； 因为， 所以， 所以，，，，平面， 所以平面， 所以是平面的一个法向量，故B正确； 因为，所以为直线的方向向量，故C正确； 因为， 所以， 所以，， ，平面，， 所以平面， 所以直线的方向向量是平面的一个法向量，故D正确． 故选BCD． 14.【答案】  【解答】 解：因为为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合， A.或，故错误； B.正确； C.正确； D.或，故错误， 故选BC． 15.【答案】    【解答】 解：，， 为平面的法向量， 则，即， 即，解得． 故答案为：； 16.【答案】平行  【解答】 解：向量，分别是两个不同平面，的法向量， 可得向量与的数量关系是， 进而得到平面与的位置关系是平行． 故答案为：，平行． 17.【答案】  【解答】 解：由题意可得： ， 解得． 故答案为． 18.【答案】垂直  【解答】 解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 设正方体的棱长为，则，，，， ， 与垂直． 故答案为垂直． 19.【答案】解： 所以，即， 直线的一个方向向量为； 设平面的一个法向量为， ，， 则，解得 不妨取，则， 平面的一个法向量为．  20.【答案】解：以点为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，． 平面， 是平面的一个法向量． ，，，，平面， 平面， 是平面的一个法向量． 在平面中，，． 设平面的法向量是， 则，， 得方程组 令，则，， ． 所以是平面的一个法向量． 21.【答案】证明：把作为空间的一组基底． 因为，， 所以． 所以． 由知，又平面，平面， 所以平面． 因为，， 所以所以． 又平面，平面， 所以平面． 又，所以平面平面． 22.【答案】证明：如图所示，以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 于是，， 所以， 所以，即． 由知，又，且点在线段上， 所以，又， 所以， 则， 所以，即， 又根据的结论知，又，和在平面内， 所以平面，于是平面． 又平面，故平面平面． 23.【解答】 证明：如图所示，以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 于是，， 所以， 所以，即． 由知，又，且点在线段上， 所以，又， 所以， 则， 所以，即， 又根据的结论知，又，和在平面内， 所以平面，于是平面． 又平面，故平面平面． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$