上册 微素养·专题突破11 圆中的相似问题-【精彩练习】2024-2025学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书课件PPT（浙教版）

第4章　相似三角形 九年级·上册 微素养·专题突破 十一圆中的相似问题 1 类型1　圆中的相似 【例1】 如图，⊙O的弦AB，CD的延长线交于点P，连结AC，BD. (1)求证：△PAC∽△PDB. (2)若PB＝3，PD＝4，AB＝7，求CD的长． 解： (1)证明：∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形， ∴∠A＋∠BDC＝180°. ∵∠BDC＋∠PDB＝180°，∴∠A＝∠PDB. 又∠P＝∠P，∴△PAC∽△PDB. 类型1　圆中的相似 类型1　圆中的相似 【变式1】 在等腰直角三角形ABC中，已知AC＝4，O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，BO为半径画圆交AC边于点P，交AB边于点Q，则AQ的最大值为(　　 ) B 类型1　圆中的相似 类型1　圆中的相似 类型2　半圆中的相似 【例2】 如图，已知⊙O的直径AB＝4，弦AC与弦BD相交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F.若AC＝BD，则EC的长为(　　) C 类型2　半圆中的相似 类型2　半圆中的相似 类型2　半圆中的相似 【变式1】 如图，BC为半圆O的直径，A是半圆上的一点，D为 的中点，AC与BD相交于点E.若AB＝AC，BE＝8，则CD的长为______． 【解析】 延长BA，CD交于点F， ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠CAF＝180°－∠BAC＝90°， ∠BDF＝180°－∠BDC＝90°， ∴∠CAF＝∠BAE，∠ACF＝∠ABE＝90°－∠F， 4 类型2　半圆中的相似 类型2　半圆中的相似 【解析】 如图，过点D作DE⊥AC于E，过O作OF⊥AC于F，作OG⊥DE于G， 连结OD，BC，则BC∥DE， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 类型2　半圆中的相似 ——跟踪巩固训练—— 1．如图，在⊙O中，两条弦AB，CD相交于点E，连结AD，BC，则下列说法中错误的是(　　) C ——跟踪巩固训练—— 2．如图，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，测得PC＝2，PA＝3，要计算线段AD的长，还需测量(　　) A．线段BC B．线段PB C．线段PD D．线段BD A ——跟踪巩固训练—— 3．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC，AB于D，E两点，连结BD，DE.若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是(　　 ) A．BD⊥AC B．AC2＝2AB·AE C．△ADE是等腰三角形 D．BC＝2AD D ——跟踪巩固训练—— 4．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连结弦BC，BD，AD.若∠ABC＝2∠ABD，给出下列结论：①BC＝BE；②2AD2＝AE·AB，则下列判断正确的是(　　) A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 A ——跟踪巩固训练—— ——跟踪巩固训练—— ——跟踪巩固训练—— 5．如图，以△ABC的边BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，连结DE，若AD∶BD＝1∶3，AE＝DE＝2，则半圆O的半径长为(　　) B ——跟踪巩固训练—— ——跟踪巩固训练—— ——跟踪巩固训练—— 6．如图，分别延长弦DB，EC，交于圆外一点A，连结 CD，BE.若AB＝5，AC＝6，AD＝12，则AE＝______． 10 ——跟踪巩固训练—— 7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC 于点E，若OE＝3，OB＝5，则OF的长度是_______． 1.4 ——跟踪巩固训练—— ——跟踪巩固训练—— 【解析】 如图，延长BE交AD于A′， ∵AD∥EF，EF⊥BE，∴AA′⊥BA′， ∴∠AA′B＝90°. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴D与A′重合． ——跟踪巩固训练—— ——跟踪巩固训练—— ——跟踪巩固训练—— 9．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连结AC，BD. (1)求证：△AEC∽△DEB. (2)连结AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径． 解：(1)证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB， ∴△AEC∽△DEB. ——跟踪巩固训练—— (2)∵∠C＝∠B，∠C＝30°， ∴∠B＝30°. ∵AB是⊙O的直径，AD＝3， ∴∠ADB＝90°，∴AB＝6， ∴⊙O的半径为3. 本课结束！ (2)∵△PAC∽△PDB， ∴＝ ， ∴＝ ， ∴PC＝， ∴CD＝PC－PD＝. A．4　　　　　　　　　 B．12－16 C．8－8 D．8－2 【解析】 ∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4， ∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4. 在圆O中，OB＝OQ＝OP， ∴若要AQ最大，则BQ最小，即半径最小，此时OP⊥AC，如图，则OP∥BC， ∴△OAP∽△BAC.∴＝. 设AQ＝x，则半径OB＝OQ＝OP＝2－x， ∴＝，解得x＝12－16， 【变式2】 如图，⊙O中弦AD与BC相交于点E，连结AB，CD，若＝，则△ABE与△CDE的面积比为_______． 【解析】 ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴△ABE∽△CDE. ∵＝， ∴△ABE与△CDE的面积比为 ＝. A．　　 B．1　　 C．　　 D． 【解析】 连结AD，OC，∵OD⊥AC于点F， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝×180°＝60°. ∵AB是⊙O的直径，AB＝4， ∴OD＝OA＝OB＝AB＝×4＝2，∠ADB＝90°， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝OD＝2，DF＝OF＝OD＝×2＝1， ∴AF＝CF＝＝＝. ∵∠DFE＝∠AFD＝90°，∠EDF＝∠DAF＝90°－∠ADF， ∴△DFE∽△AFD， ∴＝， ∴EF＝＝＝，∴EC＝CF－EF＝－＝. ∴△CAF∽△BAE. ∵AB＝AC，∴＝＝1， ∴CF＝BE＝8. ∵D为的中点， ∴＝，∴∠CBD＝∠ABD. ∵BD＝BD，∠BDC＝∠BDF， ∴△BCD≌△BFD(ASA)， ∴CD＝FD＝CF＝×8＝4. 【变式2】 如图，以AB为直径的半圆O内有一条弦AC，P是弦AC上的一个动点，连结BP，并延长交半圆O于点D，若AB＝10，AC＝8，则的最大值是_______． ∵AC＝8，AB＝10， ∴BC＝＝6. ∵DE∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴＝. ∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∴OF＝BC＝3. ∵∠OFE＝∠FPG＝∠G＝90°，∴四边形OFEG是矩形， ∴EG＝OF＝3. ∵DE＋EG＝DG≤OD＝5，∴DE≤2， ∴＝≤＝， 故的最大值是. A．∠A＝∠C B．∠B＝∠D C．＝ D．＝ 【解析】 连结OD，如图， ∵∠AOD＝2∠ABD，∠ABC＝2∠ABD， ∴∠AOD＝∠ABC. ∵∠A＝∠C，∴△OAD∽△BCE，∴＝. ∵OA＝OD，∴BC＝BE. ∴①正确； ∵∠AOD＝∠ABC，∠ADC＝∠ABC， ∴∠ADC＝∠AOD. ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AOD， ∴＝，∴AD2＝AE·OA. ∵OA＝AB，∴AD2＝AE·AB， ∴2AD2＝AE·AB， ∴②正确． ∴①②都对． A． B．2 C．3 D．2 【解析】 ∵四边形BCED是半圆O的内接四边形， ∴∠B＋∠DEC＝180°，∠C＋∠BDE＝180°. ∵∠AED＋∠DEC＝180°，∠ADE＋∠BDE＝180°， ∴∠AED＝∠B，∠ADE＝∠C， ∴△ADE∽△ACB，∴＝. ∵AE＝DE＝2，∴∠A＝∠ADE， ∴∠A＝∠C，∴AB＝BC. 如图，连结BE， ∵BC为直径，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC， ∴AC＝2AE＝4. ∵AD∶BD＝1∶3，∴BC＝AB＝4AD， ∴＝，解得AD＝或－(舍去)， ∴BC＝4AD＝4， ∴半圆O的半径长为BC＝2. 【解析】 ∵∠D和∠E是所对的圆周角， ∴∠D＝∠E. ∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE， ∴＝. ∵AB＝5，AC＝6，AD＝12， ∴AE＝＝＝10， ∴AE的长为10. 【解析】 ∵OE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠OEA＝∠AFC＝90°. ∵OA＝OB＝5，OE＝3， ∴AE＝＝＝4. ∵OE⊥AC，OE过圆心O， ∴AE＝CE＝4，即AC＝8. ∵∠OEA＝∠AFC＝90°，∠OAE＝∠CAF， ∴△OEA∽△CFA， ∴＝，∴＝ ， 解得AF＝， ∴OF＝AF－AO＝－5＝1.4. 8．如图，AB是半圆的直径，E是弦AC上一点，过点E作EF⊥EB，交AB于点F，过点A作AD∥EF，交半圆于点D.若C是的中点，＝，则的值为________． ∵＝， ∴设AF＝a，AE＝4a. 过点F作FG⊥AE于G， ∵C是的中点， ∴＝， ∴∠DAC＝∠BAC. ∵AD∥EF， ∴∠BFE＝∠DAB＝2∠BAC＝∠BAC＋∠AEF， ∴∠BAC＝∠AEF，∴AF＝EF， ∴AG＝EG＝2a. 由勾股定理得FG＝a. ∵∠DAE＝∠GAF，∠ADE＝∠AGF＝90°， ∴△ADE∽△AGF，∴＝， ∴＝，AD＝， ∴＝＝. $$