第07课：21.3实际问题与一元二次方程（2）讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第07课 第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程（2）人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。 （3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。 （5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销 售量；③利润=成本×利润率 （2）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来，建立一元二次方程。 考点01 动点问题 例题1.如图，中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动； 若、两点同时出发，几秒后可使的面积为 若、两点同时出发，几秒后的长度为； 的面积能否等于面积的一半若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 变式1（1）.如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，设运动时间是经过多少秒时，的面积是面积的一半？ 变式1（2）.如图，在中，，，，点从点出发沿射线方向以的速度匀速移动，同时另一点从点出发沿边向点以的速度移动。如果，分别从点、同时出发，运动时间为，当点运动到点时，两点停止运动。在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 变式1（3）.如图所示，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． 如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于 如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的长度等于 在中，的面积能否等于说明理由． 变式1（4）.如图，已知正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿向终点运动，动点从点出发，以的速度沿向终点运动，当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，连接、，若，两点同时出发，运动时间为． 求的长用含的代数式表示； 当的面积为时，求的值． 变式1（5）.如图，在长方形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时，点从点出发沿以的速度向点运动设运动时间为秒．           ，          用含的式子表示 若的面积为，求的值． 变式1（6）.在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． 当为何值时，的长度等于？ 是否存在的值，使得三角形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 变式1（7）.如图所示：在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，若点从点沿向点以的速度运动，点从点沿以的速度运动，如果、分别从、同时出发，问： 经过多长时间的面积为？ 的面积能否达到？ 经过多长时间，、两点之间的距离为？ 考点02 销售涨价问题 例题2.某网店销售一种儿童玩具，每件进价元，规定单件销售利润不低于元，且不高于元试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，该网店决定提价销售设每天销售量为件，销售单价为元 请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； 当销售单价是多少元时，网店每天获利元？ 变式2（1）.某超市销售一种进价为元件的衬衫．若以元件销售，一个月能售出件．据市场分析，这种衬衫的售价每上涨元，月销量就会减少件．现在超市要求月销售利润为元，且售价不超过元，这种衬衫的售价应定为多少？ 变式2（2）.某商场销售一种学生用计算器，进价为每台元，售价为每台元时，每周可卖台，如果每台售价每上涨元，每周就会少卖台，但厂家规定最高每台售价不能超过元，当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为元？ 变式2（3）.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，平均每天可卖出件，通过市场调查发现，售价每上涨元，销售数量就减少件，规定销售数量不得低于件，那么每件售价定为多少元时，平均每天能获得元的利润 变式2（4）.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． 求该品牌头盔销售量的月增长率； 若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 考点03 销售降价问题 例题3.某淘宝网店销售台灯，成本为每个元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为元时，平均每月售出个；若售价每下降元，其月销售量就增加个． 若售价下降元，每月能售出          个台灯，若售价下降元，每月能售出          个台灯． 为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个台灯的售价． 月获利能否达到元，说明理由． 变式3（1）.某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为元时，平均每月售出个；若售价每上涨元，其月销售量就减少个，若售价每下降元，其月销售量就增加个． 若售价上涨元，每月能售出________个排球用的代数式表示． 为迎接“双十一”，该天猫店在月底备货个该规格的排球，并决定整个月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使月份这种规格排球获利恰好为元． 变式3（2）.北京冬季奥运会于月日至月日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”． 据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ 已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售个，每个盈利元，在每个降价幅度不超过元的情况下，每下降元，则每天可多售件．如果每天要盈利元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 变式3（3）.据统计：从今年年初至月日，猪肉价格不断走高，月日比年初价格上涨了某市民于某超市今年月日购买千克猪肉花元钱． 问：那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元？ 某超市将进货价为每千克元的猪肉，按月日价格出售，平均一天能销售出千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降元，其日销售量就增加千克，超市为了实现销售猪肉每天有元的销售利润，为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元？ 变式3（4）.某经销店为某工厂代销一种建筑材料这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理当每吨售价为元时，月销售量为吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降元时，月销售量就会增加吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用元． 当每吨售价是元时，计算此时的月销售量； 在“薄利多销”的原则下，当每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为元？ 考点04 其他问题 例题4.一个菱形两条对角线长的和是，面积是，求菱形的周长．  例题5.用一条长的绳子怎样围成一个面积为的矩形？能围成一个面积为的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 例题6.有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． 求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 例题7.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？ 例题8.参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映，如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到元，设每份盒饭涨价元，则符合题意的方程是  (    ) A. B. C. D. 2.某服装店将进价为元的内衣，以元售出，平均每月能售出件，经试销发现每件内衣每涨价元，其月销售量就减少件，为实现每月利润元，设定价为元，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 3.某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每星期可卖出件，为占有市场份额，现需降价处理，且经市场调查：每降价一元，每星期可多卖出件，现在要使利润为元，每件商品应降价(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4.如图，在中，，，，点从点出发以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，当时，点运动的时间为  (    ) A. B. C. D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动移动方向如图所示，点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动若使的面积为，则点运动的时间是           7.如图，四边形是矩形，，，动点以的速度从点沿线段向点运动，同时动点以的速度从点沿线段向点运动，当点到达点时，，同时停止运动，则运动________后，的面积为． 8.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利元，每天可售出经调查，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量减少若每千克涨价元，商场每天盈利元，根据题意可列方程为________． 9.某种服装，平均每天可销售件，每件盈利元，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，设每件降价，所列的方程为______． 10.一个菱形两条对角线长的和是，面积是，菱形的周长为          ． 三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？ 12.如图所示，在菱形中，，交于点，，，从出发，从出发，分别以和的速度各自向，点运动，当运动时间为多少秒时，四边形的面积是面积的倍． 13.某水果超市经销一种高档水果，售价每千克元． 若连续两次降价后每千克元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； 若按现价销售，每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？   14.某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． 若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ 若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ 15.如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动到达点即停止运动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动到达点即停止运动． 如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于是的三分之一？ 如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动到达点即停止运动，动点从出发，沿移动到达点即停止运动，几秒钟后，、相距厘米？ 如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动到达点即停止运动，动点从出发，沿移动到达点即停止运动，是否存在一个时刻，同时平分的周长与面积？若存在求出这个时刻的值，若不存在说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07课 第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程（2）人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。 （3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。 （5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销 售量；③利润=成本×利润率 （2）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来，建立一元二次方程。 考点01 动点问题 例题1.如图，中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动； 若、两点同时出发，几秒后可使的面积为 若、两点同时出发，几秒后的长度为； 的面积能否等于面积的一半若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】解：点的移动速度为，点的移动速度为，所以设，则， 的面积为，即， 解得或， 故秒或秒后的面积为； 的长度为． 即， 解得， 故秒后的长度为． 由题意得： ， 即：， ， ，该方程无实数解， 所以，不存在使得的面积等于的面积的一半的时刻．  【解析】设果、同时出发，秒钟后，，，，此时的面积为：，令该式，由此等量关系列出方程求出符合题意的值； 利用，则，由勾股定理定理可得解； 的面积的一半等于，令，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用和三角形面积的计算以及一元二次方程的求解，本题中列出关于的方程并求解是解题的关键． 变式1（1）.如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，设运动时间是经过多少秒时，的面积是面积的一半？ 【答案】解：秒，秒． 当时，，， ， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，，， ， 整理得：， ， 方程无解； 当时，，， ， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去，． 综上所述，经过秒或秒时，的面积是面积的一半．  【解析】利用时间路程速度，可分别求出点，到达点的时间，分，及三种情况考虑，根据的面积是面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及三角形的面积，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 变式1（2）.如图，在中，，，，点从点出发沿射线方向以的速度匀速移动，同时另一点从点出发沿边向点以的速度移动。如果，分别从点、同时出发，运动时间为，当点运动到点时，两点停止运动。在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：，，， 根据勾股定理可得， 的面积为， 当时，，， ， ，即， ， 该一元二次方程无实数根， 该范围下不存在； 当时，，， ， ，即， 解得或舍去， 综上所述，存在，当时，的面积是面积的．  【解析】本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．分两种情况：当时，当时，分别依据的面积是面积的，列方程求解即可． 变式1（3）.如图所示，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． 如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于 如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的长度等于 在中，的面积能否等于说明理由． 【答案】(1)设经过t秒,则AP=tcm,BP=(5-t)cm, BQ=2tcm. =BPBQ,即4=(5-t)2t, 解得t=1或4(舍去),故1秒后,PBQ的面积等于.   (2)PQ=5,=25=+,25=+,​​​解得t=0(舍去)或2.故2秒后,PQ的长度为5cm.  (3)令=7,即BPBQ=7,(5-t)2t=7,整理得-5t+7=0.由于-4ac=25-28=-3<0,故方程没有实数根.所以在(1)中,PQB的面积不能等于.  变式1（4）.如图，已知正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿向终点运动，动点从点出发，以的速度沿向终点运动，当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，连接、，若，两点同时出发，运动时间为． 求的长用含的代数式表示； 当的面积为时，求的值． 【答案】解：四边形是正方形， ， 当时，； 当时，； 由题意可知，， 当时，由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，由题意得：， 解得：； 综上所述，当的面积为时，的值为或．  【解析】由正方形的性质得，当时，；当时，； 分两种情况，当时，当时，根据的面积为，分别列出一元二次方程或一元一次方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用、正方形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 变式1（5）.如图，在长方形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时，点从点出发沿以的速度向点运动设运动时间为秒．           ，          用含的式子表示 若的面积为，求的值． 【答案】解： 由题意得      ， ， 解得，． 若的面积为，的值为或． 【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为时，的长度； 根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】 解：当运动时间为时， ，， ，． 故答案为：；． 见答案． 变式1（6）.在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． 当为何值时，的长度等于？ 是否存在的值，使得三角形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：由题意得：，，则， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，． 即当或时，的长度等于； 存在的值，使得三角形的面积等于，理由如下： 由题意得：， 解得：，． 即存在的值，使得三角形的面积等于，的值为或．  【解析】由题意得，，则，再由勾股定理得出方程，解方程即可； 三角形的面积等于，列出方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 变式1（7）.如图所示：在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，若点从点沿向点以的速度运动，点从点沿以的速度运动，如果、分别从、同时出发，问： 经过多长时间的面积为？ 的面积能否达到？ 经过多长时间，、两点之间的距离为？ 【答案】解：设经过，的面积为，由题意得： 解得，． 所以经过秒或秒时，的面积为 设经过，的面积为由题意得： 即 在此方程中 所以此方程没有实数根． 所以的面积不能达到． 设经过秒， 根据题意得： 不合题意舍去， 答：经过秒后，、两点之间的距离为．  【解析】设经过秒的面积为，列出方程解答即可． 设经过秒的面积为，通过列出方程解答可知此方程无实数根，即不能达到． 根据、两点的移动规律，分别写出经过，，秒时的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可． 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握三角形的面积公式与两点间的距离公式是解答本题的关键． 考点02 销售涨价问题 例题2.某网店销售一种儿童玩具，每件进价元，规定单件销售利润不低于元，且不高于元试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，该网店决定提价销售设每天销售量为件，销售单价为元 请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； 当销售单价是多少元时，网店每天获利元？ 【答案】(1)解：由题意，得，即与之间的函数关系式为：；  (2)根据题意，得，解得，，，.答：当销售单价是36元时，网店每天获利3840元.  变式2（1）.某超市销售一种进价为元件的衬衫．若以元件销售，一个月能售出件．据市场分析，这种衬衫的售价每上涨元，月销量就会减少件．现在超市要求月销售利润为元，且售价不超过元，这种衬衫的售价应定为多少？ 【答案】解：设这种衬衫的售价定为元件．由题意，得，解得，不合题意，舍去答：这种衬衫的售价应定为元件．  变式2（2）.某商场销售一种学生用计算器，进价为每台元，售价为每台元时，每周可卖台，如果每台售价每上涨元，每周就会少卖台，但厂家规定最高每台售价不能超过元，当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为元？ 【答案】解：设每台计算器的售价上涨元．根据题意，得，解得，当时，元；当时，不合题意，舍去，元答：当计算器定价为元时，商场每周的利润恰好为元．  变式2（3）.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，平均每天可卖出件，通过市场调查发现，售价每上涨元，销售数量就减少件，规定销售数量不得低于件，那么每件售价定为多少元时，平均每天能获得元的利润 【答案】解：设售价定为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为：， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 规定销售数量不得低于件，所以，， 答：应将每件售价定为元，才能使每天利润为元．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 设售价定为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出每件商品的售价． 变式2（4）.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． 求该品牌头盔销售量的月增长率； 若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 【答案】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为；   (2)解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【解析】 设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；  设该品牌头盔的实际售价为元个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出答案． 考点03 销售降价问题 例题3.某淘宝网店销售台灯，成本为每个元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为元时，平均每月售出个；若售价每下降元，其月销售量就增加个． 若售价下降元，每月能售出          个台灯，若售价下降元，每月能售出          个台灯． 为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个台灯的售价． 月获利能否达到元，说明理由． 【答案】(1)800;  (2)解：设降价x元， 整理，得 解得，， 因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元， 但是实际销量要够卖，需小于等于1210个， 当时，（舍去） 当时，，可取， 所以售价为37元 答：每个台灯的售价为37元．   (3)月获利不能达到9600元，理由如下： 整理，得 Δ​​​​​​​ 方程无实数根． 答：月获利不能达到9600元．   【解析】 根据售价每下降元，其月销售量就增加个即可求解； 解：若售价下降元，每月能售出：个， 若售价下降元，每月能售出个． 故答案为，  根据单个利润乘销售量等于总利润列一元二次方程即可求解；  根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可说明． 变式3（1）.某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为元时，平均每月售出个；若售价每上涨元，其月销售量就减少个，若售价每下降元，其月销售量就增加个． 若售价上涨元，每月能售出________个排球用的代数式表示． 为迎接“双十一”，该天猫店在月底备货个该规格的排球，并决定整个月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使月份这种规格排球获利恰好为元． 【答案】解： 设每个排球降价元，则月份可售出该种排球个， 根据题意得：， 解得：，． 当时，销量为，适合题意； 当时，销量为，舍去． 元． 答：每个排球的售价为元．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由销售数量上涨价格，即可得出结论； 设每个排球降价元，则月份可售出该种排球个，根据月利润单件利润月销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 变式3（2）.北京冬季奥运会于月日至月日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”． 据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ 已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售个，每个盈利元，在每个降价幅度不超过元的情况下，每下降元，则每天可多售件．如果每天要盈利元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 【答案】解：设该工厂平均每月生产量的增长率为， 依题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该工厂平均每月生产量的增长率为． 设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个， 依题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：每个“冰墩墩”应降价元．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该工厂平均每月生产量增长率为，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量该工厂平均每月生产量的增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 变式3（3）.据统计：从今年年初至月日，猪肉价格不断走高，月日比年初价格上涨了某市民于某超市今年月日购买千克猪肉花元钱． 问：那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元？ 某超市将进货价为每千克元的猪肉，按月日价格出售，平均一天能销售出千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降元，其日销售量就增加千克，超市为了实现销售猪肉每天有元的销售利润，为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元？ 【答案】解：， 答：今年年初猪肉的价格为每千克元； 设每千克降价元，则日销售千克， 依题意，得：， 得：，， 尽可能让顾客优惠，，． 答：应该每千克定价为元．  【解析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用． 根据今年年初猪肉的价格今年月日猪肉的价格上涨率，即可得解； 设每千克降价元，则日销售千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再将其较大值代入中即可求出结论． 变式3（4）.某经销店为某工厂代销一种建筑材料这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理当每吨售价为元时，月销售量为吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降元时，月销售量就会增加吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用元． 当每吨售价是元时，计算此时的月销售量； 在“薄利多销”的原则下，当每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为元？ 【答案】解：当每吨售价是元时，此时的月销售量为：吨； 设当售价定为每吨元时，由题意， 可列方程：， 化简得， 解得，． 答：每吨材料售价为元或元．  【解析】本题考查了一元二次方程的解得等知识，考查学生理解题意能力，关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 因为每吨售价每下降元时，月销售量就会增加吨，可求出当每吨售价是元时，此时的月销售量是多少吨． 设当售价定为每吨元时，根据当每吨售价为元时，月销售量为吨，每售出吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共元，当每吨售价每下降元时，月销售量就会增加吨，且该经销店计划月利润为元而且尽可能地扩大销售量，以元作为等量关系可列出方程求解． 考点04 其他问题 例题4.一个菱形两条对角线长的和是，面积是，求菱形的周长． 【答案】解：画出菱形如图所示． 设菱形的一条对角线长为，则另一条对角线长为  依题意，得  解得，，  在中， 菱形的周长为．   例题5.用一条长的绳子怎样围成一个面积为的矩形？能围成一个面积为的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 【答案】解：设围成面积为的矩形的长为，则宽为  依题意，得  解得，长宽，这个矩形的长为，宽为  同理，设围成面积为的矩形的长为  依题意，得  整理，得，此方程无解，故不能围成面积为的矩形．  答：能围成面积为的矩形，其长为，宽为；用一条长的绳子不能围成面积为的矩形．  例题6.有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． 求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1+x+x(1+x)＝64，  解得x1＝7，x2＝-9（不合题意，舍去）．  答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；  (2)7×64＝448．答：又有448人被传染．  例题7.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？ 【答案】解：设每个支干长出个小分支． 根据题意，得，即，解得，舍去． 答：每个支干长出个小分支．   例题8.参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 【答案】家．  【解析】解：设共有家公司参加此次商品交易会， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：共有家公司参加此次商品交易会． 设共有家公司参加此次商品交易会，利用签订合同的总份数参加此次商品交易会的公司数参加此次商品交易会的公司数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映，如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到元，设每份盒饭涨价元，则符合题意的方程是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  2.某服装店将进价为元的内衣，以元售出，平均每月能售出件，经试销发现每件内衣每涨价元，其月销售量就减少件，为实现每月利润元，设定价为元，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  3.某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每星期可卖出件，为占有市场份额，现需降价处理，且经市场调查：每降价一元，每星期可多卖出件，现在要使利润为元，每件商品应降价(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A  4.如图，在中，，，，点从点出发以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  5.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，当时，点运动的时间为  (    ) A. B. C. D. 或 【答案】B  【解析】设点运动的时间为根据题意得，，，，解得或不合题意，舍去，点运动的时间为，故选B． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动移动方向如图所示，点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动若使的面积为，则点运动的时间是           【答案】  7.如图，四边形是矩形，，，动点以的速度从点沿线段向点运动，同时动点以的速度从点沿线段向点运动，当点到达点时，，同时停止运动，则运动________后，的面积为． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的应用，理解题意，明确运动时间的范围是解题的关键． 先根据题意列出一元二次方程，解方程求得解，最后根据运动时间的范围进行取舍，得到答案． 【解答】 解：设运动后，的面积为根据题意得 ， 解得或， 当点到达点时，，同时停止运动， ， 不合题意，舍去， ． 故答案为． 8.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利元，每天可售出经调查，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量减少若每千克涨价元，商场每天盈利元，根据题意可列方程为________． 【答案】  【解析】解：设每千克水果涨了元， ， 故答案为：． 设每千克水果涨了元，那么就少卖了千克，根据商场每天销售这种水果盈利了元可列方程． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识及理解题意的能力，关键是以利润做为等量关系列方程求解． 9.某种服装，平均每天可销售件，每件盈利元，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，设每件降价，所列的方程为______． 【答案】  【解析】解：设每件降价元， 那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件； 根据每天要盈利元， 可列方程为：． 如果设每件降价，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件，根据每天要盈利元，即可列出方程． 本题要弄清题意，理解：每件降价，可销售件． 10.一个菱形两条对角线长的和是，面积是，菱形的周长为          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？ 【答案】解：设这种衬衫每件涨价元，由题意可得， ， 整理可得：， 解得：，， 当时，可卖件数：， 当时，可卖件数：， 要减少库存量， 售价应定为每件元． 答：售价应定为每件元．  【解析】根据等量关系式：单件利润销售量总利润，列方程求解即可． 本题考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，找出等量关系式，进行正确求解是解题的关键． 12.如图所示，在菱形中，，交于点，，，从出发，从出发，分别以和的速度各自向，点运动，当运动时间为多少秒时，四边形的面积是面积的倍． 【答案】解：四边形是菱形， ， 在中，，， 则， 设运动， 则，， 四边形， ， 整理得， 解得，． 答：或，四边形的面积是面积的倍．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用、菱形的性质以及三角形的面积计算公式． 设运动时间，利用面积与四边形面积关系可求出面积为一定值，再运用时间变量的代数式表示面积，构建方程求解即可． 13.某水果超市经销一种高档水果，售价每千克元． 若连续两次降价后每千克元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； 若按现价销售，每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)解：设每次下降的百分率为，由题意，得， 解得或（舍去）. 答：每次下降的百分率为；   (2)设每千克应涨价元，由题意，得， 解得，.，. 答：每千克应涨价5元.   14.某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． 若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ 若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ 【答案】(1)由题意，得（双）.若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出60双鞋子  (2)设每双鞋子应降价元.根据题意，得，整理，得，解得，.让顾客尽可能多得实惠，应取25.每双鞋子应降价25元    15.如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动到达点即停止运动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动到达点即停止运动． 如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于是的三分之一？ 如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动到达点即停止运动，动点从出发，沿移动到达点即停止运动，几秒钟后，、相距厘米？ 如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动到达点即停止运动，动点从出发，沿移动到达点即停止运动，是否存在一个时刻，同时平分的周长与面积？若存在求出这个时刻的值，若不存在说明理由． 【答案】解：设经过秒钟，的面积等于是的三分之一， 由题意得：，，， ， 解得：或， ， 或符合题意， 答：经过或秒钟，的面积等于是的三分之一； 在中，， ， 解得：舍，， 答：秒钟后，、相距厘米； 由题意得：，， 分两种情况： 当平分面积时， ， ， 解得：，， 从到，一共需要秒，， 不符合题意，舍去， 当时，，，，， 将的周长分为两部分： 一部分为：， 另一部分：， ， 当平分周长时， ， ， ， 当时，， ， ， 综上所述，不存在这样一个时刻，同时平分的周长与面积．  【解析】本题是动点运动问题，在三角形中的动点问题，首先要确定两个动点的：路线、路程、速度、时间，表示出时间为时的路程是哪一条线段的长，根据已知条件列等式或方程，解出即可． 设经过秒钟，的面积等于是的三分之一，根据题意得：，，，由，的面积等于是的三分之一列式可得求出的值； 在中，根据勾股定理列方程即可； 分两种情况：当平分面积时，计算出这时的，同时计算这时所截的周长是否平分；当平分周长时，计算出这时的，此时的面积是否为，计算即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$