4.4.2 对数函数的图象和性质 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.2　对数函数的图象和性质 同步练习 考点一　对数(型)函数的图象特征 1.(多选题)已知函数y=0.6x,y=2x,y=log0.8x,y=log1.3x的部分图象如图所示,则(　　) A.①是y=0.6x的部分图象 B.②是y=2x的部分图象 C.③是y=log0.8x的部分图象 D.④是y=log1.3x的部分图象 2.在同一直角坐标系中,函数y=ax,y=lo(a>0,且a≠1)的图象可能为(　　) 　　　　 3.已知函数f(x)=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过点A,则点A的坐标为　　　　,若点A的坐标满足关于x,y的方程mx+ny=4(m>0,n>0),则+的最小值为　　　　.  4.(1)函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象如何变化得到的? (2)在平面直角坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象; (3)设函数y=与y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,M=(x1-2)·(x2-2),请判断M的符号. 考点二　对数函数的性质及其应用 5.已知a=20.3,b=log32,c=log52,则(　　) A.a>b>c　　B.a>c>b　　C.c>b>a　　D.b>c>a 6.设函数f(x)=若f(x)在R上单调递增,则a的取值范围为(　　) A.(0,+∞)　　B.(0,2]　　C.(-∞,2]　　D.(0,3] 7.已知函数f(x)=ln|x-1|,则f(x+1)(　　) A.是奇函数且在(0,+∞)上单调递减 B.是奇函数且在(0,+∞)上单调递增 C.是偶函数且在(0,+∞)上单调递减 D.是偶函数且在(0,+∞)上单调递增 8.函数y=lo(x2-3x+2)的单调递减区间为(　　) A.(-∞,1)　　B.(-∞,2)　　 C.(1,+∞)　　D.(2,+∞) 9.已知函数f(x)=log2x-(x-1)2,则不等式f(x)<0的解集为　　　　.  10.已知函数f(x)=log2(4x+1)+ax是偶函数. (1)求实数a的值; (2)若f(x)≤log2,求x的取值集合. 考点三　对数函数的最大(小)值与值域问题 11.已知函数f(x)=则f(x)的值域为(　　) A.　　B.　　 C.(log92,ln 2]　　D.(log92,log94] 12.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是(　　) A.(-4,4)　　B.[-4,4)　　 C.(-∞,-4)　　D.{-4} 13.若关于x的不等式k<-log3(3x)对任意的x∈恒成立,则实数k的取值范围为　　　　.  14.已知函数f(x)=log3(-x2+4x+a-1)的最大值为2,则a=　　　　.  15.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1). (1)若f(x)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1,求a的值; (2)解关于x的不等式lo(-ax-1)>lo(a-x2). 考点四　反函数 16.函数f(x)与指数函数g(x)=ax(a>0且a≠1)互为反函数,且g(x)的图象过点(-2,4),则f(1)+f(2)=(　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D. 17.(多选题)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的反函数为g(x),则(　　) A.g(x)=logax(a>0,且a≠1),且定义域是(0,+∞) B.函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称 C.若f(2)=,则g=- D.当a>1时,函数f(x)与g(x)的图象的交点个数可能是0,1,2 18.若x1满足2x=5-x,x2满足x+log2x=5,则x1+x2等于　　　　.  答案 1.AB　因为y=0.6x在定义域R内单调递减,所以①符合,故A正确; 因为y=2x在定义域R内单调递增,所以②符合,故B正确; 因为y=log0.8x在定义域(0,+∞)内单调递减,所以④符合,故C错误; 因为y=log1.3x在定义域(0,+∞)内单调递增,所以③符合,故D错误. 2.D　易知指数函数y=ax的图象与x轴没有交点,y=lo的图象过点,故排除A,C. 因为两个函数的底数互为倒数,所以一个底数在(0,1)内,另一个底数在(1,+∞)内,所以两个函数的单调性相反,故排除B. 3.答案　(4,2);4 解析　令x-3=1,得x=4,则f(4)=loga1+2=2,所以函数f(x)的图象恒过点A(4,2). 由已知条件可得4m+2n=4,即2m+n=2, 又m,n都为正数,所以+=(2m+n)=≥=4, 当且仅当即时,等号成立, 所以+的最小值为4. 4.解析　(1)函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象向右平移1个单位长度得到的. (2)y=|log2(x-1)|的图象如图①所示. 　 (3)不妨设x1<x2,在同一平面直角坐标系中作出y=与y=|log2(x-1)|的图象,如图②所示.由图②知,1<x1<2<x2<3,所以M=(x1-2)(x2-2)<0,故M的符号为负. 5.A　a=20.3>20=1,b=log32>log3=,且b=log32<log33=1,c=log52<log5=,∴a>b>c. 6.B　由题意得即解得0<a≤2,故a的取值范围为(0,2]. 7.D　∵f(x)=ln|x-1|, ∴f(x+1)=ln|x|,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 又f(-x+1)=ln|-x|=ln|x|=f(x+1),∴f(x+1)是偶函数. 当x>0时, f(x+1)=ln x,此时单调递增. 8.D　易知x2-3x+2=(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,所以函数y=lo(x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞). 设t=x2-3x+2,则y=lot. 因为函数y=lot在(0,+∞)上单调递减, t=x2-3x+2在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 所以函数y=lo(x2-3x+2)的单调递减区间为(2,+∞). 9.答案　(0,1)∪(2,+∞) 解析　不等式f(x)<0,即log2x-(x-1)2<0, 等价于求log2x<(x-1)2在(0,+∞)上的解集. 令g(x)=log2x,h(x)=(x-1)2,则g(x)<h(x). 在同一平面直角坐标系中作出函数g(x),h(x)的图象,如图所示, 易知g(1)=h(1)=0,g(2)=h(2)=1,所以由图可得,不等式f(x)<0的解集为(0,1)∪(2,+∞). 10.解析　(1)对任意的x∈R,4x+1>0, 所以函数f(x)的定义域为R. 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 即log2(4-x+1)-ax=log2(4x+1)+ax, 所以2ax=log2-log2(4x+1)=log2=log2=log22-2x=-2x对任意的x∈R恒成立, 所以2a=-2,解得a=-1. (2)由(1)得f(x)=log2(4x+1)-x=log2(4x+1)-log22x=log2. 由f(x)≤log2,得log2≤log2,所以≤. 设2x=t(t>0),则≤,所以4t2-17t+4≤0,即(4t-1)(t-4)≤0,解得≤t≤4,即≤2x≤4,解得-2≤x≤2, 所以满足不等式f(x)≤log2的x的取值集合为{x|-2≤x≤2}. 11.A　易知y=ln x在上单调递增,所以y∈. 易知y=log9x在(2,4]上单调递增,所以y∈(log92,log94]. 因为ln <log92<ln 2,log94=log32<ln 2, 所以函数f(x)的值域是. 12.B　易知y=log3x在[1,+∞)上单调递增,所以y=log3x在[1,+∞)上的值域为[0,+∞). 因为f(x)的值域为R,所以y=(4-a)x+2a在(-∞,1)上的值域需包含(-∞,0), 所以解得-4≤a<4. 故实数a的取值范围是[-4,4). 13.答案　 解析　设t=log3x,则t∈[-1,1],y=-log3(3x)=-log3x-1=t2-t-1=-, ∴当t=时,ymin=-,∴k<-. 14.答案　6 解析　设t=-x2+4x+a-1,t>0. 易知y=log3t在定义域上单调递增,所以当t=-x2+4x+a-1取得最大值时,函数f(x)取得最大值. 由二次函数的性质知,当x=2时,tmax=a+3,此时f(x)max=log3(a+3),所以log3(a+3)=2,解得a=6. 15.解析　(1)因为f(x)=logax在[a,2a]上为单调函数, 所以由题意得|loga(2a)-logaa|=|loga2|=1,即loga2=1或loga2=-1,解得a=2或a=. (2)因为函数y=lox是(0,+∞)上的减函数, 所以即 当0<a<1时,-<-1<-,所以原不等式的解集为⌀; 当a>1时,->-1>-,所以原不等式的解集为. 16.A　易得f(x)=logax(a>0且a≠1). 因为g(x)=ax的图象过点(-2,4),所以4=a-2,故a=,所以f(x)=lox, 所以f(1)+f(2)=lo1+lo2=0+(-1)=-1. 17.ABD　对于A,根据同底数的指数函数与对数函数互为反函数可得g(x)=logax(a>0,且a≠1),且定义域是(0,+∞),故A正确.对于B,根据反函数的特点知函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,故B正确.对于C,若f(2)=,则a2=,解得a=或a=-(舍去),则g(x)=lox,则g=lo=,故C错误.对于D,在同一坐标系中作出a>1时两函数的图象,如图1,2,3,可知f(x)与g(x)的图象的交点个数可能为0,1,2,故D正确. 　 18.答案　5 解析　由题意知5-x1=,5-x2=log2x2,所以x1和x2是直线y=5-x和曲线y=2x、曲线y=log2x交点的横坐标. 易知函数y=2x和函数y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称. 又直线y=5-x也关于直线y=x对称,所以点(x1,5-x1)和点(x2,5-x2)构成的线段的中点在直线y=x上,所以=,解得x1+x2=5. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$