1.3 空间向量及其运算的坐标表示 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：1.3 空间向量及其运算的坐标表示 part1 知识清单 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 Part2 教材重点例题与习题 1.如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． 写出，，，四点的坐标 写出向量，，，的坐标． 【答案】解：点在轴上，且，所以所以点的坐标是． 同理，点的坐标是． 点在轴、轴、轴上的射影分别为，，， 它们在坐标轴上的坐标分别为，，，所以点的坐标是． 点在轴、轴、轴上的射影分别为，，， 它们在坐标轴上的坐标分别为，，，所以点的坐标是． ．  2.在空间直角坐标系中， 哪个坐标平面与轴垂直？哪个坐标平面与轴垂直？哪个坐标平面与轴垂直？ 写出点在三个坐标平面内的射影的坐标． 写出点关于原点成中心对称的点的坐标． 【答案】解：因为三条坐标轴互相垂直， 坐标平面与轴垂直； 坐标平面与轴垂直； 坐标平面与轴垂直； 点在内的射影点为； 点在内的射影点为； 点在内的射影点为； 点关于原点成中心对称的点的坐标．  3.在长方体中，，，，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系． 写出点，，的坐标； 写出向量，的坐标． 【答案】解：在长方体中，，，， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点是线段的中点， 由中点坐标公式得：的坐标为． 故答案为：，，各点的坐标分别是：，， 由题意知，，， 则，  4.已知，，求： ；  ；  ；  ． 【答案】解：，， 所以， ， ， ．  5.如图，正方体的棱长为，点，分别在，上，，，求的长． 【答案】解：在已知的空间直角坐标系中，，，，， ，，， ，， ， ， ， ．  6.如图，在棱长为的正方体中，为的中点， ，分别在棱，上，，． 求的长． 求与所成角的余弦值． 【答案】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为，点的坐标为 于是． 由已知，得，，，， 所以 ， ， ，． 所以． 所以 ． 所以，与所成角的余弦值是．  7.如图，在正方体中，，分别是，的中点求证． 【答案】证明：不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，所以 又，，所以． 所以． 所以，即．  8.如图，在正方体中，是的中点，求与所成角的余弦值． 【答案】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，， ，， 设与所成角为， 则， 与所成角的余弦值为． Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系中，关于   对称 A. 原点 B. 轴 C. 轴 D. 轴 2.如图所示，正方体的棱长为，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在正方体中，棱长为，是上的点，且，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.在空间直角坐标系中，给出以下结论： 点关于轴的对称点的坐标为； 点关于平面对称的点的坐标是； 已知点与点，则的中点坐标是； 两点间的距离为． 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为，，则点的空间直角坐标为(    ) A. B. C. D. 6.如图，以棱长为的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在体对角线上运动，点为棱的中点，则当最小时，点的坐标为(    ) A. B. C. D. 7.设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是(    ) A. B. C. D. 8.在空间直角坐标系中，，，则，两点的距离是(    ) A. B. C. D. 9.已知，，，，，则(    ) A. B. C. D. 10.已知向量，，且，则(    ) A. B. C. D. 11.设向量，其中，则下列判断错误的是(    ) A. 向量与轴正方向的夹角为定值与，之值无关 B. 的最大值为 C. 与的夹角的最大值为 D. 的最大值为． 12.已知为坐标原点，向量，点，若点在直线上，且，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13.如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则(    ) A. 点的坐标为 B. 点关于点对称的点为 C. 点关于直线对称的点为 D. 点关于平面对称的点为 14.以下说法中正确的是(    ) A. 已知空间向量，，；：向量与的夹角是，那么是充分不必要条件， B. 已知，满足 ，则等于 C. 设点在点、、确定的平面上，则 D. 已知，，则 的最小值为． 三、填空题 15.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为          ． 16.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为，到平面的距离为，则          ． 17.如图，棱长为的正方体中，点在上，且为的中点，若以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点的坐标为          ． 18.已知向量，，，若，则           ． 19.已知，，，则           20.已知空间向量若则          ；若则的最小值为          ． 21.已知 ，且 ，则            ，选取一个与向量共线的单位向量是           22.已知向量，，点，则          ；在直线上，存在一点，使得，则点的坐标为          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 23.如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以，，所在直线为轴轴、轴建立空间直角坐标系． 求点，，，，，，，的坐标； 求点的坐标． 24.已知，，， 求实数的值； 若，求实数的值． 25.已知空间四点，，，． 若、、、四点共面，求的值； 求以，为边的平行四边形的面积． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  解：在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 点与点关于轴对称， 故选C． 2.【答案】  解：因为正方体的棱长为， 所以点的坐标是． 故选C． 3.【答案】  解：由题意，可设， 因为， 所以， 所以， 故E 故选D． 4.【答案】  解：点关于轴的对称点的坐标为，故错误； 点关于平面对称的点的坐标是，故正确； 已知点与点，则的中点坐标是，故正确； 两点、间的距离为：，故错误； 正确的是． 故选：． 5.【答案】  解：由题意得，， 所以，所以， 所以的坐标为， 故选A． 6.【答案】  解：连接，过点作于点，则垂直于平面． 设点的横坐标为，， 则由正方体体对角线的性质可得点的纵坐标也为， 由正方体的棱长为，得， 因为， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 所以当时，最小，此时点的坐标为 故选A． 7.【答案】  解：依题意，知 ， 向量在基底下的坐标是． 故选A． 8.【答案】  解：在空间直角坐标系中，，， 则，两点的距离是： ． 故选：． 9.【答案】  解：因为，． 所以． 故选A． 10.【答案】  解：因为向量，，且， 所以存在实数，使得， 则有，解得，， 所以． 故选：． 11.【答案】  解：由向量，其中，知： 在中，设轴正方向的方向向量， 设向量与轴正方向的夹角为，则 ，， 向量与轴正方向的夹角为定值与，之值无关，故A正确； 在中，， 当且仅当，时取等号，因此的最大值为，故B错误； 在中，由可得：，， ， 与的夹角的最大值为，故C正确； 在中，， 当且仅当，时取等号， 的最大值为故D正确． 故选：． 12.【答案】  解：点在直线上， ， 且， ， ， 故点的坐标为， 故选A． 13.【答案】  解：由图形及其已知可得：点的坐标为， 点关于点对称的点为， 点关于直线对称的点为， 点关于平面对称的点为， 因此BC正确． 故选：． 14.【答案】  解：对于，若，则，， 此时向量与的夹角是； 若向量与的夹角是，则，解得， 所以是的充分不必要条件，A正确． 对于，因为，所以，解得，故B正确； 对于，，， 根据共面向量定理，设、， 则， ，解得 故C正确； 对于，， ， 当时有最小值， 的最小值是，故D错误． 故选ABC． 15.【答案】  解：在空间直角坐标系中， 点关于轴的对称点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为． 16.【答案】  解：到轴的距离为，到平面的距离为， ，， ． 故答案为：． 17.【答案】  解：由图形可知，点在正方体的上底面上， 点的纵标同的纵标相同， 在面上，得到点的竖标为， ， 点的横标是， 点的坐标是， 故答案为：． 18.【答案】  解：向量，，，， ， 解得． 故答案为：． 19.【答案】  解：因为， 所以． 20.【答案】  解： ， ， 存在实数使得， 解得，． ， 因为则，即， 故 故的最小值为，当时取最小值． 故答案为： 21.【答案】  解：设，因为 ， 所以 ，解得，不妨令，则，， 所以一个   ， 与向量  共线的单位向量， 即． 故答案为   ；． 22.【答案】  解：第一个空：，； 第二个空：设点满足条件， 则，且得，又，， ，解得 在直线上的点，使得． 故答案为；． 23.【答案】解：在长方体中，，，，为棱的中点， 分别以，，所在直线为轴轴、轴建立空间直角坐标系． 点， 在轴的正半轴上，且， ， 同理得：，， 在坐标平面内，且，， ， 同理得，， 与点的坐标相比，点的坐标只有竖坐标与点不同， 且，则点． 由知，， 的中点坐标为  24.【答案】解：． ， 设， ， 即 的值为． ， ． ， 所以． ， ．  25.【答案】解：则， 由、、、四点共面，得，即 解得， 所以的值为． ， ， ， 所以，， 因为， 故以，为边的平行四边形的面积为．  第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$