对数函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

对数函数 题型分类 题型一 对数运算 直击痛点 · 对数式的运算 (1)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (2) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 重点题目 1-1．（23-24高三上·辽宁·期中）已知，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 1-2．（2025高三·全国·专题练习）以下运算不正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 1-3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，，则 ． 1-4．（2026高三·全国·专题练习） . 题型二 对数运算+应用背景 直击痛点 · 翻译转化+对数运算 重点题目 2-1．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 2-2．（24-25高三上·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 2-3．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 2-4．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 题型三 对数函数图像 直击痛点 · 对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 重点题目 3-1．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象和函数的图象的交点个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3-2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-3．（24-25高一下·河南新乡·期末）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 3-4．（24-25高二下·北京·期中）若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（   ） A． B．C．D． 3-5．（2025高三·全国·专题练习）已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ） A． B． C． D． 3-6．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 题型四 对数函数单调性 直击痛点 · 对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 重点题目 4-1．（24-25高三下·云南怒江·期中）设，，，则（　　） A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 4-2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 4-3．（2025高三·全国·专题练习）（1）的单调递增区间为 ，值域为 ； （2）的单调递增区间为 ，值域为 ． 4-4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上为减函数，求a的取值范围． 4-5．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 题型五 对数函数值域 直击痛点 · 对数函数的最值与值域问题通常利用对数函数的单调性解决. 重点题目 5-1．（2025高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则的取值范围是 ． 5-2．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5-3．（18-19高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 题型六 对数函数综合 直击痛点 · 对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 重点题目 6-1．（2026高三·全国·专题练习）设函数，其中k为常数． (1)求当时，的定义域； (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 6-2．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求的值； (2)若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围. 6-3．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求的最小值； (3)若方程有四个不等实根，求实数的取值范围． 6-4．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对数函数 题型分类 题型一 对数运算 直击痛点 · 对数式的运算 (1)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (2) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 重点题目 1-1．（23-24高三上·辽宁·期中）已知，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，即可结合对数的运算求解. 【详解】设，则， 当时，均为单调递增函数，且值恒为正，故函数为上的单调递增函数，因此， 故，故函数为上的单调递减函数，故， 即，即， 由可得， ，故，A错误， ，故，B正确， 由于，故，C正确，D错误， 故选：BC 1-2．（2025高三·全国·专题练习）以下运算不正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,，故A正确； 对于B.原式，故B正确； 对于C,，故C正确； 对于D,，故D错误． 故选:D． 1-3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为，，可得，， 所以. 故答案为： 1-4．（2026高三·全国·专题练习） . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用对数运算计算得解. 【详解】原式. 故答案为： 题型二 对数运算+应用背景 直击痛点 · 翻译转化+对数运算 重点题目 2-1．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、，利用对数的运算可求得的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、， 则，， 上述两个等式作差可得，解得， 因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 2-2．（24-25高三上·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解. 【详解】根据题意，，，两式相除可得，， 所以，可得， 故选:D． 2-3．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 2-4．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 题型三 对数函数图像 直击痛点 · 对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 重点题目 3-1．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象和函数的图象的交点个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】作出函数和的图象，结合图象可得答案. 【详解】作出函数和函数的图象， 而，故当时，的图像没有交点， 结合图象可得此时交点个数为2个. 故选：C. 3-2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出的图象，结合对数函数的性质得到，再结合图象得到，进而求出，最后得到的范围即可. 【详解】令，解得，令，解得， 则，如图，作出的图象， 而，则，得到， 即，解得，由图象得， 则，解得，得到，故C正确. 故选：C 3-3．（24-25高一下·河南新乡·期末）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分别写出a，b，c的表达式，画出图象比较即可. 【详解】令，则． 函数的大致图象如图所示． 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 故选：C. 3-4．（24-25高二下·北京·期中）若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据对数复合函数的图象得到，结合指数函数的性质确定大致图象，即可得. 【详解】由解析式知，结合图知，故， 对于，其在R上单调递增且值域为，结合各项的图知A符合. 故选：A 3-5．（2025高三·全国·专题练习）已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简对数型函数后可得正确的选项. 【详解】因，故，故， 而与关于对称， 各选项中只有B满足， 故选：B. 3-6．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以 故答案为： 题型四 对数函数单调性 直击痛点 · 对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 重点题目 4-1．（24-25高三下·云南怒江·期中）设，，，则（　　） A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 【答案】C 【分析】分别将与利用对数性质比较，得到答案， 【详解】因为，，所以b>c>a. 故选：C. 4-2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】令，得对称轴方程为：，分和利用复合函数的单调性求解. 【详解】令，对称轴方程为：， 当时，要使函数在区间上是增函数， 得，解得，而，故， 当时，要使函数在区间上是增函数， 得，解得不存在， 综上知，的取值范围是：， 故选：D 4-3．（2025高三·全国·专题练习）（1）的单调递增区间为 ，值域为 ； （2）的单调递增区间为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】（1）（2）根据对数的性质，列不等式即可求解定义域，进而根据复合函数的性质即可求解单调性和值域. 【详解】（1）令，解得， 故函数的定义域为， 又在单调递增，在单调递减，而在单调递增，故的单调递增区间为， 当时，，故最大值为，故函数的值域为， （2）令，则或，故的定义域为， 在单调递减，在单调递增，而为单调递减函数，因此的单调递增区间， 当时，，故的值域为. 故答案为：，，， 4-4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上为减函数，求a的取值范围． 【答案】 【分析】该题需分两步分析：首先确定复合函数单调性的条件，其次保证对数函数的定义域成立.复合函数外层为对数函数，内层为二次函数，根据“同增异减”原则，分析外层的数函数和内层的二次函数的单调性的关系，并确保内层函数在区间内恒正. 【详解】由题可知在区间上恒成立. 令，，则原函数可写为，且. 当时，在区间上为增函数， 则在区间上为减函数，则有，解得； 当时，在区间上为减函数， 则需满足在区间上为增函数， 又二次函数的图象开口向上，在区间上不可能单调递增，故满足题意. 综上所述，的取值范围为. 4-5．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可. 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 题型五 对数函数值域 直击痛点 · 对数函数的最值与值域问题通常利用对数函数的单调性解决. 重点题目 5-1．（2025高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题可转化为函数与直线在有交点. 【详解】令，则，原函数化为， 因为原函数的值域为， 所以函数在内与直线有交点， 因为函数的对称轴为，所以： （1）若函数与直线在仅有一个交点， 则，解得； （2）若函数与直线在恰有两个交点（相切看作两个相同交点）， 则，解得； 综上，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】若对数型函数的值域为，则需其真数部分的函数与直线有交点，可结合特殊点的符号、对称轴、判别式进行列式求解. 5-2．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出在区间上的值域，要使的值域为R，只需在区间上的值需取遍区间内所有值，列出关于的不等式组可得答案. 【详解】由题知，在区间上单调递增， ∴在区间上的值域为， 时，， 其对称轴为，要使的值域为R， 则在区间上的值需取遍区间内所有值， ，解得. 故选：C． 5-3．（18-19高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元，转化为二次函数求值域； （2）根据（1）的过程，参变分离转化为最值问题，即可求解. 【详解】（1）因为，设，，则， 所以， 在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数的值域是. （2）由（1）可知，，， 即，， 即，恒成立， 在上单调递增，所以函数的最小值为， 所以. 题型六 对数函数综合 直击痛点 · 对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 重点题目 6-1．（2026高三·全国·专题练习）设函数，其中k为常数． (1)求当时，的定义域； (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，． 令， 所以， 所以的定义域为． （2）因为对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，所以对恒成立，所以． 因为在上单调递增， 所以当时，， 所以，即实数， 即实数k的取值范围是． 6-2．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求的值； (2)若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数性质，直接求出并检验即可 （2）确定在上为减函数，找出最大值和最小值，结合“最大值与最小值的差不小于2”列不等式求解即可. 【详解】（1）若函数是上的奇函数，则， 所以，所以. 经检验，当时，是上的奇函数. 所以. （2）由已知得函数是减函数， 故在区间上的最大值是，最小值是. 由题意得， 则. 所以解得. 故实数的取值范围是. 6-3．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求的最小值； (3)若方程有四个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) (3) 【分析】（1）根据的单调性，结合函数图象即可求解； （2）根据对数的运算可得，即可利用基本不等式求解； （3）利用换元法，将问题转化为，有两个正的实数根，即可由一元二次方程根的分布求解. 【详解】（1）， 由于在上单调递增， 所以的增区间为，减区间为； （2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增， ，即， ∴，∴，∴， ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． （3）有四个不等实根，即有四个不等实根， 设，得， 只需方程有两个不等正实根， ，解得， ∴的取值范围为． 6-4．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，即可求解； （2）化简可得的表达式，结合对数函数的单调性即可求得值域； （3）化简得到解析式，讨论脱去绝对值符号，继而讨论a的取值范围，判断函数的单调性，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，。 因为函数为奇函数，为偶函数， 故，， 可得，； （2）对于，当时，， 则，此时 。 由于，则； 当时，，，则， 当时，， 则，此时 ， 由于，则； 综合上述可知； （3）， 当时，， 当时，，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 即，解得； 当时，，在上不可能有三个零点； 当时，，故在上单调递增，在单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 由于，故解集为； 综合以上可得实数a的取值范围为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问，解答时要注意分类讨论脱去绝对值符号，进而判断函数的单调性，即可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$