1.2 空间向量基本定理 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：1.2 空间向量基本定理 part1 知识清单 知识点01：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点02：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 Part2 教材重点例题与习题 1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在 线段上，且，，用向量，，表示． 【答案】解： ．  2.如图，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证． 【答案】证明：设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们用它们表示，， 则， ， 所以 ． 所以．  3.如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点． 求证： 求与所成角的余弦值． 【答案】证明：设，，，则构成空间的一个单位正交基底所以， 所以． 所以． 解：因为，， 所以． 所以与所成角的余弦值为．  4.已知是空间的一个基底，从，，中选哪一个向量，一定可以与向量，构成空间的另一个基底？ 【答案】解：不共面的向量，可以构成一组基底， 显然与，不共面， 故可以构成空间的另一个基底．  5.已知，，，为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点，，，是否共面？ 【答案】解：因为向量，，不构成空间的一个基底， 所以，，共面， 所以点，，，一定共面，  6.如图，已知平行六面体，点是侧面的中心，且，，． 是否构成空间的一个基底？ 如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，． 【答案】解：由图可知：不共面， 再由空间向量的基本定理可知， 可以构成空间的一个基底． 因为，，， 所以   7.如图，在平行六面体中，，，，求与所成角的余弦值． 【答案】解：， ， ， ， 所以， 所以与所成角的余弦值为．  8.如图，已知正方体，和相交于点，连接，求证． 【答案】证明：由题意得，  则  ． 所以．  9.已知空间四边形中，，，求证：． 【答案】证明：因为 ， 所以，即．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在四面体中，点为棱的中点设，，，那么向量用基底可表示为(    ) A. B. C. D. 2.在正方体中，若点是侧面的中心，且，则，，的值分别为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是(    ) A. B. C. D. 4.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.空间四边形中，，，则，的值为(    ) A. B. C. D. 6.三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 7.以下命题中不正确的个数为(    ) “”是“，共线”的充要条件； 若，则存在唯一的实数，使得； 若，，则； 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ． A. B. C. D. 8.已知非零向量不共线，如果，则，，，四点(    ) A. 一定共线 B. 恰是空间四边形的四个顶点 C. 一定共面 D. 一定不共面 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，，，则下列选项正确的为(    ) A. B. C. D. 10.设，，是空间一个基底，则(    ) A. 若，，则 B. 则，，两两共面，但，，不可能共面 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. 则，，一定能构成空间的一个基底 11.已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是(    ) A. 向量的模是 B. 可以构成空间的一个基底 C. 向量和夹角的余弦值为 D. 向量与共线 三、填空题 12.在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则          用，，表示． 13.已知为空间的一个基底，若，，，，且，则，，分别为          ． 14.如图所示，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，若，则          ；则的长为           15.在平行六面体中，若，则          ． 16.已知空间四边形中，，若，且，则          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，． 证明：、、、四点共面． 若，求． 18.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，是的中点， 设． 试用表示出向量； 求的长． 19.如图所示，三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，． 试用，，表示向量； 若，，，求的长． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】 解：为的中点， ，，     故选B． 2.【答案】  【解答】 解：由于 ， 所以，，， 故选D． 3.【答案】  【解答】 解：由题意， ． 故选A． 4.【答案】  【解答】 解：， ，  ，， ，        故选C  5.【答案】  【解答】 解： ，，， ，，，， ，，，． 故选D． 6.【答案】  【解答】 解：如图， 设，，，棱长均为， 则，，， ，， ， ， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为， 故选A． 7.【答案】  【解答】 解：对，向量同向时，，不满足必要性，错误； 对，当为零向量，不是零向量时，不存在使等式成立，错误； 对，和垂直的向量有无数个，其中任意两个不一定相等，故错误； 对，用反证法，若不构成空间的一个基底， 设， 则，即共面， 与为空间的一个基底矛盾，正确； 对，，错误． 故选C． 8.【答案】  【解答】 解：显然、不共线，否则，存在，使， 则， ，是不共线的非零向量， 与矛盾， 故、不共线． 设， 则 ， 解得 ， 、、、四点共面． 故选C． 9.【答案】  【解答】 解： ，A正确； ，B正确； ，C正确； ，不正确； 故选ABC． 10.【答案】  【解答】解：由，，是空间一个基底，知： 在中，若，，则与不平行，但夹角不一定为，故A错误； 在中，，，两两共面，因为三个向量是基底，必须是不共面的向量， 所以，，不可能共面，故B正确； 在中，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确； 在中，由，，是空间一个基底， 所以与，共面；与，共面；与，共面； 即，，不共面， 所以，，一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：． 11.【答案】  【解答】 解：对于选项A，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直， 所以，且， 则 ， 所以向量的模是， 故选项A错误； 对于选项B，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直， 所以不共面，而向量均与共面， 所以与不共面， 则可以构成空间的一个基底， 故选项B正确； 对于选项C，设与的夹角为， 则 ， 所以向量和夹角的余弦值为， 故选项C正确； 对于选项D，因为， 同理可得， 则， 所以向量与的夹角为， 则向量与不共线， 故选项D错误． 故选：． 12.【答案】  【解答】 解：在四面体中，，，，为的中点，为的中点， ， 故答案为． 13.【答案】，，  【解答】 解：由题意，， ， 为三个不共面的向量， 所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对，使． ． 又， ． 故答案为，，． 14.【答案】  【解答】 解：由图可得， 所以，则； ， 所以， 故答案为；． 15.【答案】  【解答】 解：由平行六面体如下图， 可得， 又， 所以 解得， 所以． 故答案为． 16.【答案】  【解答】 解：如图所示， ． ， ． 故答案为：． 17.【答案】证明：平行六面体中，，， ，，，，且平面平面， ， ≌， ， 同理， 故AEC为平行四边形， 、、、四点共面． 解：由题， ， 即，，， ．  18.【答案】解：是的中点， ． 由于，，，， 由于，，，， 由于，   ， ． 19.【答案】解：，， ，， ； ， ， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$