专题03 勾股定理的应用十二类题型（专项训练）数学鲁教版五四制2024七年级上册

专题03 勾股定理的应用（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求梯子滑落高度 1 题型二、求旗杆高度 2 题型三、求小鸟飞行距离 4 题型四、求大树折断前的高度 5 题型五、解决水杯中筷子问题 6 题型六、解决航海问题 7 题型七、求河宽 8 题型八、求台阶上地毯长度 9 题型九、判断汽车是否超速 10 题型十、判断是否受台风影响 11 题型十一、选址使到两地距离相等 13 题型十二、求最短路径 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求梯子滑落高度 1．如图，一根长为的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时的长为．如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移的距离（    ） A．等于 B．大于 C．小于 D．以上都不对 2．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 3．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 4．如图，一个25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时为24米．如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么此时梯子的底部B到墙的距离为多少米？ 5．如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 题型二、求旗杆高度 6．新情境  某中学在大门口的正上方离地米的点处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离为 米． 7．如图，旗杆在地面上的影长为，则为 m． 8．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 9．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 10．数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度． 题型三、求小鸟飞行距离 11．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．如图①所示，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行了 ． 13．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 14．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 15．如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高的树顶飞到另一棵高的树顶上，若两棵树相距，则小鸟至少要飞 ．    题型四、求大树折断前的高度 16．如图，一棵高为的大树被台风刮断．若树在离地面的点C处折断，则树顶端落在离树底部（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 17．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 18．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 19．如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高 m． 20．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 m 题型五、解决水杯中筷子问题 21．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．一个圆柱形铁桶（厚度不计）的底面直径为，高为，则这个桶内所能容下的最长木棒长为（   ） A． B． C． D． 23．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 25．如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 题型六、解决航海问题 26．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 27．一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 28．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 29．在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 30．如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 题型七、求河宽 31．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 32．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 33．如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 34．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 35．如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 题型八、求台阶上地毯长度 36．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 37．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 38．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ）    A． B． C． D． 39．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 40．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      题型九、判断汽车是否超速 41．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 42．已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 43．某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 44．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 45．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 题型十、判断是否受台风影响 46．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 47．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 48．五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 49． 去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 50．如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 题型十一、选址使到两地距离相等 51．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 52．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 53．在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 54．如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 55．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 题型十二、求最短路径 56．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 57．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 58．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 59．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 60．如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 1．（2025·广西贵港·一模）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东云浮·一模）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（    ）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）       A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13 3．（2025·山东济宁·一模）在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价元，铺完整个楼梯总造价需要 元． 4．（2025·吉林四平·一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为 ． 5．（2025·江西南昌·一模）《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺） 6．（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 7．（2025·安徽淮南·二模）我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 m． 8．（2024·福建南平·一模）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为，小明同学将整条绳子斜拉直，测出绳子靠地面的末端C到旗杆底部B的距离为．    (1)小红说测量出的数据b一定大于a，请判断小红的说法是否正确？并说明理由； (2)求旗杆的高度．（结果用含a，b的代数式表示） 9．（2025·广东清远·二模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理的应用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求梯子滑落高度 1 题型二、求旗杆高度 4 题型三、求小鸟飞行距离 6 题型四、求大树折断前的高度 9 题型五、解决水杯中筷子问题 11 题型六、解决航海问题 14 题型七、求河宽 17 题型八、求台阶上地毯长度 19 题型九、判断汽车是否超速 21 题型十、判断是否受台风影响 24 题型十一、选址使到两地距离相等 29 题型十二、求最短路径 32 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求梯子滑落高度 1．如图，一根长为的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时的长为．如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移的距离（    ） A．等于 B．大于 C．小于 D．以上都不对 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理知，， 在中，根据勾股定理知，， 所以． 故选：A． 2．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】B 【解析】解：∵， ∴在中，， 即， ∵， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∴两个书柜之间的距离为2.2米； 故选：B． 3．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 【答案】4 【解析】设滑梯的水平距离的长度为x米． 因为米，所以米． 又因为将滑梯水平放置与一样长，所以米． 在中，，米，根据勾股定理可得： 展开方程得： 移项化简得： 解得． 故答案为：4． 4．如图，一个25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时为24米．如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么此时梯子的底部B到墙的距离为多少米？ 【答案】15米 【解析】解：在中，米， （米）， 所以， 所以米， 所以此时梯子的底部B到墙的距离为15米． 5．如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 【答案】滑动的水平距离是 【解析】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴中，， ∴， 即滑动的距离为． 题型二、求旗杆高度 6．新情境  某中学在大门口的正上方离地米的点处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离为 米． 【答案】 【解析】解：过点作， 由题意知，米，米，米， ∴（米）， 在中，根据勾股定理得，米， 故答案为：． 7．如图，旗杆在地面上的影长为，则为 m． 【答案】5 【解析】解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理，得． 故答案为：5． 8．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【解析】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 9．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米 (2)他应该往回收线米 【解析】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ， （米）， （米）， 他应该往回收线米． 10．数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度． 【答案】旗轩的高度为 【解析】解：设旗杆的高度为，则长为， 在中，，， ∴， 解得． 答：旗轩的高度为． 题型三、求小鸟飞行距离 11．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 12．如图①所示，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行了 ． 【答案】 【解析】解：表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示： 则， ， ， 在中，，由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了 故答案为：． 13．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 14．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【解析】解：两棵树的高度差为（米，间距为15米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米． 故选：A． 15．如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高的树顶飞到另一棵高的树顶上，若两棵树相距，则小鸟至少要飞 ．    【答案】 【解析】解：如图，连接，过点作于C，    ∵， ∴四边形矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 则小鸟至少要飞， 故答案为：． 题型四、求大树折断前的高度 16．如图，一棵高为的大树被台风刮断．若树在离地面的点C处折断，则树顶端落在离树底部（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】A 【解析】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴树顶端落在离树底部处， 故选：A． 17．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，由题意得：，，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， 即这棵树折断之前的高度为， 故选：B． 18．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【答案】4.55 【解析】解：设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为：． 19．如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高 m． 【答案】 【解析】解：设树高为，则， ∵，， ∴， ∵两只猴子所经过的路程相等， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴这颗树高． 故答案为：． 20．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 m 【答案】18 【解析】解：由题意和勾股定理定理，得：， ∴旗杆折断之前的高度是； 故答案为：18． 题型五、解决水杯中筷子问题 21．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 22．一个圆柱形铁桶（厚度不计）的底面直径为，高为，则这个桶内所能容下的最长木棒长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，为圆桶底面直径，为圆桶的高， ∴，，， ∴线段的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度， ∴在中，， 故桶内所能容下的最长木棒的长度为， 故选：C． 23．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】铅笔在笔筒内最长时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：； 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为， 即铅笔在笔筒外面最长不超过， 所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于，不超过． 所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意； 故选：D． 24．如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 【答案】12 【解析】解：如图，连接， ∵，圆形水杯半径为2.5， ∴，， ∴水杯的高． 故答案为：12． 25．如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 【答案】8尺 【解析】解：设为x尺． ∵尺， ∴（尺）． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 答: 水深8尺． 题型六、解决航海问题 26．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 【答案】B 【解析】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：B． 27．一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图所示，设后两船的位置分别为、， 则， ， 即后，两船相距． 故选：C． 28．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 【答案】 【解析】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 29．在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 【答案】海里/时． 【解析】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， ∵航行了2小时， ∴船航行的速度海里/时． 答：此船的航行速度为12海里/时． 30．如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【答案】12 海里/小时 【解析】由题知，， 海里， 海里， 由勾股定理得， 海里， 乙船的航速是 海里/小时． 题型七、求河宽 31．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 32．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【解析】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 33．如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 【答案】A 【解析】解：在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 34．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 【答案】15 【解析】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 35．如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】解：∵米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，， 在中，∵米，米， ∴米， ∴米， 答：条河的宽度为米． 题型八、求台阶上地毯长度 36．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 37．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 38．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选C． 39．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【解析】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 40．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【解析】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 题型九、判断汽车是否超速 41．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【解析】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 42．已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【答案】没有超速 【解析】解：汽车没有超速，理由如下： 依题意，由勾股定理可得：，，， ． ∴， ∴． ∴汽车没有超速． 43．某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1)的长为 (2)超速了，理由见解析 【解析】（1）解：∵， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这里汽车超速了． 44．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【解析】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 45．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【解析】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 题型十、判断是否受台风影响 46．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【解析】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 47．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【解析】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 48．五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【解析】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 49． 去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【解析】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 50．如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时 【解析】（1）解：在中，，， ， 答：监测点与监测点之间的距离为； （2）解：海港受台风影响， 理由：，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响， 以为圆心，长为半径画弧，交于，， 则时，正好影响港口， 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 题型十一、选址使到两地距离相等 51．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 52．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【解析】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 53．在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【答案】新路比原路少千米，比原路少千米． 【解析】解：∵， ∴， ∴（千米）， 设千米，则千米， ∵， ∴， 解得：， ∴千米， ∴新路比原路少（千米），比原路少（千米）， 答：新路比原路少千米，比原路少千米． 54．如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【答案】基地E应建在离A站的地方 【解析】解：由题意，得：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∵，，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴基地E应建在离A站的地方． 55．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【解析】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点千米处． 题型十二、求最短路径 56．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：C． 57．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 【答案】 【解析】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度， ∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米， ∴ 米， 故答案为：． 58．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】25尺 【解析】解：将葛藤缠绕的状态展开如图所示： 则一条直角边（即枯木的高）尺，另一条直角边（尺）． 由勾股定理，得， 所以， 所以尺（负值已舍）． 答：葛藤的最短长度为25尺． 59．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 【答案】30米 【解析】解：如答图，将木块展开． 由题意可知，长相当于是（个正方形的边长）， ∴长为（米），宽为18米， 由勾股定理，得：最短路程为米． 答：最短路程是30米． 60．如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 【答案】10 【解析】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为10． 1．（2025·广西贵港·一模）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：C． 2．（2025·广东云浮·一模）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（    ）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）       A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13 【答案】D 【解析】解：设尺，则：尺， 由题意，得：尺， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， 即水深为12尺，芦苇长13尺； 故选D． 3．（2025·山东济宁·一模）在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价元，铺完整个楼梯总造价需要 元． 【答案】 【解析】解：根据题意得，整个楼梯图形为直角三角形，根据勾股定理得： 所有台阶横面长为：（m） ∴所有楼梯表面的长度为：（m） ∴总造价为：元． 故答案为：． 4．（2025·吉林四平·一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 5．（2025·江西南昌·一模）《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺） 【答案】8 【解析】解：∵一根竹子原来高尺，设折断处离地面的高度为x尺， ∴竹梢到折断处的长度为尺， 依题意得：， 解得：， ∴折断处离地面8尺． 故答案为：8． 6．（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 【答案】12 【解析】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， ∴水深为(尺)． 故答案为：12． 7．（2025·安徽淮南·二模）我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 m． 【答案】3.25 【解析】解：由题意可知，，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 故答案为：3.25． 8．（2024·福建南平·一模）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为，小明同学将整条绳子斜拉直，测出绳子靠地面的末端C到旗杆底部B的距离为．    (1)小红说测量出的数据b一定大于a，请判断小红的说法是否正确？并说明理由； (2)求旗杆的高度．（结果用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)小红的说法正确，证明见解析 (2)旗杆的高度为 【解析】（1）解：小红的说法正确，理由如下： 如图，在上截取，，    ∴， 设，而， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴在的上方，即， ∴； （2）设旗杆的长为， 根据题意，得，，， 在中，， ， 解方程得：． ∴旗杆的高度为． 9．（2025·广东清远·二模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图 由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积 ∴裁剪出的包装纸的面积为 （2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短， ∴绕2圈所需绳子的最短长度为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$