特训01 解一元二次方程分类通关专练-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训01 解一元二次方程分类通关专练 【特训过关】 一、直接开平方法 1．解方程： 2．求未知数x． （1）； （2）． 3．解方程： （1）； （2）． 4．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 5．用直接开方法解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 二、配方法 6．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A．； B． C． D． 7．一元二次方程配方后是（　　） A．； B． C． D． 8．一元二次方程配方，得，则是 ． 9．已知方程，可以配方成的形式，那么a的值为 ． 10．用配方法解一元二次方程时，步骤如下： ①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． 11．解下列方程： （1）； （2）． 12．用配方法解下列方程： （1）； （2）． 13．用配方法解方程： （1）； （2）． 14．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得： a=　 　，b=　 　； （2）利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空： ________+________； （3）若且a、m、n均为正整数，求a的值． 15．先阅读，然后解决问题： 若，求m和n的值． 解：等式可变形为：， 即， 因为，， 所以，， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： （1）若的三边长a，b，c都是正整数，且满足，，则的周长是______； （2）求代数式的最小值，并指出此时a，b满足的数量关系； （3）试比较多项式与的大小． 三、公式法 16．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 17．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18．用公式法解关于x的方程： （1）； （2）． 19．解方程： （1）； （2）． 20．关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程只有一个根小于0，求k的取值范围． 21．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：用配方法解方程： 解：移项，得，……第一步； 配方，得，……第二步； ∴，……第三步； 由此可得，……第四步； ∴，．……第五步； 习题2：用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，……第一步； ，，，……第二步； ∵，……第三步； ∴，……第四步； 即，．……第五步． （1）分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的，并指出错误原因； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 四、因式分解法 22．方程的解为 ． 23．方程的解是 ． 24．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为 ，第n个方程的解为 ． 25．解一元二次方程： （1）； （2）． 26．解方程： （1）； （2）． 27．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 28．解方程： （1）； （2）． 五、用适当的方法解方程 29．解方程： （1）； （2）． 30．用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 31．解方程： （1）； （2）． 32．解下列方程： （1）； （2）； （3）． 33．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 34．解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 六、综合运用 35．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出x； （2）利用换元法解方程：． 36．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”________； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； （3）已知关于x的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 37．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. （1）已知实数x，y满足，求的值； （2）设a，b满足等式，求的值； （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 38．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数， 则所求方程为：_______________________． （2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 解一元二次方程分类通关专练 【特训过关】 一、直接开平方法 1．解方程： 【答案】，． 【解答】解：， 移项得：， 开方得：， 解得：，． 2．求未知数x． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解： ∴，； （2）解： ∴，． 3．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ，， ，． 4．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解：移项，得， ∴， ∴，； （2）解：移项，得， ∴， ∴ ∴，． 5．用直接开方法解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3）；（4），． 【解答】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 二、配方法 6．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A．； B． C． D． 【答案】A． 【解答】解： ， 故选：A． 7．一元二次方程配方后是（　　） A．； B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：， 移项得，， 方程两边同时加 16 得，， 即：， 故选：C． 8．一元二次方程配方，得，则是 ． 【答案】9． 【解答】解： ， ∴，，即， ∴． 故答案为：9． 9．已知方程，可以配方成的形式，那么a的值为 ． 【答案】5． 【解答】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 10．用配方法解一元二次方程时，步骤如下： ①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． 【答案】④． 【解答】解：解方程， ①； ②； ③； ④，即，． 故答案为：④． 11．解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：，． 12．用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解：， 整理，得 移项，得 配方，得，即 两边开平方，得， 解得，． （2）解：， 移项，得 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得，． 13．用配方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 14．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得： a=　 　，b=　 　； （2）利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空： ________+________； （3）若且a、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】（1），；（2）13，4，1，2；（3）14或46． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴，； 故答案为：，． （2）由（1）可得，，，； 故答案为：13，4，1，2． （3）∵， ∴， ∴，， ∵a、m、n均为正整数， ∴，，或，，； 故答案为：14或46． 15．先阅读，然后解决问题： 若，求m和n的值． 解：等式可变形为：， 即， 因为，， 所以，， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： （1）若的三边长a，b，c都是正整数，且满足，，则的周长是______； （2）求代数式的最小值，并指出此时a，b满足的数量关系； （3）试比较多项式与的大小． 【答案】（1）9；（2）最小值3，；（3）见解析． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，a，b，c都是正整数， ∴， ∴， ∴的周长是9， 故答案为：9； （2）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为3， ∴此时， 即； （3）解：， 当时，即或时， 当时，或时，， 当时，时，， 综上，当或时，， 当或时，， 当时，． 三、公式法 16．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3），． 【解答】（1）解：, ∵，，， ∴ ∴， ∴原方程的解为，． （2）解：， ∵，，， ∴ ∴， ∴原方程的解为，． （3）解：， 整理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴原方程的解为，． 17．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3），． 【解答】（1）解：； ∵，，， ∴ ∴， ∴，； （2）解：； 将原方程化为一般形式，得， ∵， ∴， ∴，； （3）解：． 将方程整理为一般形式，得， ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 18．用公式法解关于x的方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴或； （2）∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴或． 19．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解： ，，， ∴， ∴， 解得，，； （2）解： ，，， ∴， ∴， 解得，，． 20．关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程只有一个根小于0，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程， ∴，，， ∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）∵ ∵ ∴ 解得：，， ∵方程只有一个根小于0， ∴， 解得：． 21．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：用配方法解方程： 解：移项，得，……第一步； 配方，得，……第二步； ∴，……第三步； 由此可得，……第四步； ∴，．……第五步； 习题2：用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，……第一步； ，，，……第二步； ∵，……第三步； ∴，……第四步； 即，．……第五步． （1）分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的，并指出错误原因； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解答】（1）解：习题1和习题2都是从第一步开始出现错误，原因是移项时，没有变号； （2）习题1：解：， 移项，得， 配方，得， ∴， 由此可得， ∴，. 习题2：解：将原方程化为一般形式，得； ，，， ∵， ∴， 即，. 四、因式分解法 22．方程的解为 ． 【答案】或． 【解答】解：， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 23．方程的解是 ． 【答案】，． 【解答】解：， ， ， ， ， ∴或， 解得：，． 故答案为：，． 24．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为 ，第n个方程的解为 ． 【答案】；，． 【解答】由题意得，第n个方程为， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：；，． 25．解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）． 【解答】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ． 26．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解：， ∴， 则 ∴或， 解得：，； （2）解： ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 27．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1） 解：移项，得， 分解因式，得， 或， 所以，． （2） 解：移项，得， 分解因式，得， 即， 所以或． 所以，． 28．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解：， 或， ∴，； （2）解：， 或， ∴，． 五、用适当的方法解方程 29．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解： ， 即或， ∴或； （2）解： ， ， 即或， ∴或． 30．用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解：； ∴ 则 或 ∴，． （2）解： 或 ，． 31．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解答】（1）解： ， ， ∴或， ∴，； （2）原方程可化为：， ， ∴， ∴， ∴， ∴，． 32．解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3），． 【解答】（1）解： ∴ ∴ ∴或 解得：， （2）解： ∴ ∴或 解得：， （3）解： ∴ ∴ ∴ ∴或 解得：， 33．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），； （4），． 【解答】（1）解： ， ，， ∴，． （2）， ，，， ， ∴， ∴，； （3）， ， 或， ∴，． （4）， ， ， 或， ，． 34．解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），； （4），． 【解答】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，； （3）解： ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （4）解： 或 ∴，． 六、综合运用 35．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出x； （2）利用换元法解方程：． 【答案】（1），，；（3），，，． 【解答】（1）解：， 设， ∴原方程变为：， 解得，， 当时，， 解得，； 当时，， 可知，无解. 所以原方程的解是，； （2）， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得，， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，，，. 36．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”________； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； （3）已知关于x的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】（1）；（2），，互为倒数；（3），． 【解答】（1）解：∵一元二次方程与称为一对“友好方程”， ∴一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为，，互为倒数； （3）解：已知关于x的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 37．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. （1）已知实数x，y满足，求的值； （2）设a，b满足等式，求的值； （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】（1）3；（2）；（3）这四个连续正整数为1，2，3，4． 【解答】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 38．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数， 则所求方程为：_______________________． （2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解答】（1）设所求方程的根为y ，则 ， 所以． 把代入已知方程，得， ， 化简，得 ， 故所求方程为； （2）设所求方程的根为y，则，于是 ， 把代入方程，得 ， 去分母，得 ， 若，有， 于是方程有一个根为0，不符合题意， ∴ ， 故所求方程为 ； （3）设所求方程的根为y，则， 所以 ， ①当时，把代入已知方程，得 ，即； ②当时，把代入已知方程，得 ，即 ∴所求方程为或. 29 学科网（北京）股份有限公司 $$