特训02 一元二次方程根与系数的关系通关专练-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训02 一元二次方程根与系数的关系通关专练 【特训过关】 知识要点 对于一元二次方程，当时，它的两根，之间的关系是，，运用时一定要注意这个前提条件． 运用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值时，常见的代数式有： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 通关练习 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B． C．1 D． 2．关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为（    ） A．8 B． C． D．2 3．二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 4．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，，则（    ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 6．已知a和b是方程的两个根，则的值为（    ） A．2023 B．2025 C．2027 D．2029 7．已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 8．对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（    ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 9．设，是方程的两个实根，实数a，b满足：，，则的值为（     ） A．2025 B．2023 C． D． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数m、n，使得； ④若c是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（    ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 11．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 12．若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是 ． 13．若一元二次方程的两个根为，，则的值是 14．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ． 15．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 16．已知，是方程的两个根，那么 ， ， ， ． 17．已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 18．已知一元二次方程的两个实数根为a、b，且，则m的值是 ． 19．若，是关于x的一元二次方程的两个根，且， 则k的值 ． 20．已知实数k，m，n，满足，．则 ． 21．若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． （1）___________，___________； （2）． 22．已知，是方程的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 23．已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． （1）； （2）． 24．已知关于x的一元二次方程的两个根是和． （1）当时，求的值； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求m的值． 25．已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值； （2）若方程有一个根是，求另一个根． 26．已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 27．已知关于x的一元二次方程．若，是方程的两实数根，且满足，求k的取值范围． 28．（1）解方程：； （2）已知关于x的一元二次方程的两个实数根异号．求k的取值范围． 29．已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． （3）已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 30．已知关于的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为“和谐方程”． （1）判断方程是否为“和谐方程”，并说明理由． （2）已知关于x的“和谐方程”的一个根是，求这个方程的另一个根． 31．阅读材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴，，∴ 根据上述材料解决以下问题： （1）已知实数m，n满足，，且，求的值； （2）已知实数s，t分别满足，，且，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 一元二次方程根与系数的关系通关专练 【特训过关】 知识要点 对于一元二次方程，当时，它的两根，之间的关系是，，运用时一定要注意这个前提条件． 运用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值时，常见的代数式有： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 通关练习 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】A． 【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故选：A． 2．关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】A． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是，， ∴，， ∴， 故选：A． 3．二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C． 【解答】解：∵二次方程的两根为1和5， ∴，， ∴，， ∴一次函数为不经过第三象限， 故选：C． 4．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B． 【解答】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 5．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，，则（    ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，，． 故选B． 6．已知a和b是方程的两个根，则的值为（    ） A．2023 B．2025 C．2027 D．2029 【答案】D． 【解答】解：∵a，b是方程的两个根， ∴， 又∵a是方程的根， ∴， ∴， 故选 D． 7．已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵是方程的解， ∴， ∴，故A错误； 由题意得，该方程有两个实数根， ∴， ∴，故B错误； ∵的两个解为，， ∴，， ∴，，故C正确，D错误． 故选：C． 8．对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（    ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】C． 【解答】解：∵， ∴， ∴，，，故乙错误； ∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确； ∴， ∴，，故丁正确，丙错误； 故选：C． 9．设，是方程的两个实根，实数a，b满足：，，则的值为（     ） A．2025 B．2023 C． D． 【答案】D． 【解答】∵，是方程的两个实根， ∴，． 由此可得，对于任意有： ， 同理，． ∴ ． ∵，， ∴代入上式得：． 故选：D． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数m、n，使得； ④若c是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（    ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】D． 【解答】命题①：∵方程有两个不等实根， ∴根判别式． ∴原方程的判别式为， 原方程必有两个不等实根． ∴①正确． 命题②：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴． ∴②正确． 命题③：假设结论成立， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． ∴③正确． 命题④：∵c是方程的根， ∴， ∴． 当时，方程成立但不一定为0． ∴④错误． 综上，正确的命题为①②③， 故选：D． 11．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程，即的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是 ． 【答案】4． 【解答】解：设方程的另一个根为a，则：， ∴； 故答案为：4． 13．若一元二次方程的两个根为，，则的值是 【答案】7． 【解答】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， 故答案为：7． 14．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2039． 【解答】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：2039． 15．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4． 【解答】解：∵a，b是方程两个不相等的实数根， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：4． 16．已知，是方程的两个根，那么 ， ， ， ． 【答案】，，，． 【解答】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，，，． 17．已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】． 【解答】解：∵一元二次方程有两个的实数根， ∴， ∴， ∵两个实数根同正， ∴，， ∴， ∴m的取值范围是是． 18．已知一元二次方程的两个实数根为a、b，且，则m的值是 ． 【答案】． 【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根为a、b， ∴， 又∵， ∴，即，解得：， ∴方程有一个实数根是， 将代入中，得，解得：． 故答案为：． 19．若，是关于x的一元二次方程的两个根，且， 则k的值 ． 【答案】1． 【解答】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 20．已知实数k，m，n，满足，．则 ． 【答案】4． 【解答】解：∵实数k，m，n，满足，， ∴m，n为关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得：， 故答案为：4． 21．若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． （1）___________，___________； （2）． 【答案】（1）2，；（2）16． 【解答】（1）解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：2，； （2）解：． 22．已知，是方程的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）19． 【解答】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． （2）解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 23．已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】（1）解：，， 原式； （2）解：∵． ∴． 24．已知关于x的一元二次方程的两个根是和． （1）当时，求的值； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求m的值． 【答案】（1）；（2）0． 【解答】（1）解：当时，原方程为， ∵关于x的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴无论m为何值，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． ∵关于x的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∵， ∴． 25．已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值； （2）若方程有一个根是，求另一个根． 【答案】（1）；（2）5． 【解答】（1）解：∵， ∴，，， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：设方程的两个根为，，其中 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为5． 26．已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）；（2）． 【解答】（1）解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵方程两实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：（舍去）或， ∵， ∴． 27．已知关于x的一元二次方程．若，是方程的两实数根，且满足，求k的取值范围． 【答案】． 【解答】解：由题意，得， ∴． ∵，是方程的两实数根， ∴，． ∵， ∴， 解得． ∵， ∴k的取值范围是． 28．（1）解方程：； （2）已知关于x的一元二次方程的两个实数根异号．求k的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解答】解：（1）， ， 或， ∴，； （2）∵关于x的一元二次方程的两个实数根， ∵， ∴． 又∵两根异号， ∴， ∴． 综上，． 29．已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． （3）已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），，． 【解答】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴无论k为任意实数值方程，总有实数根． （2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根， ∴，， ∵b、c为直角边，斜边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴舍去， ∴， ∴的周长， （3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减， 解得：． 设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减， ∴解得：， ∴． 又方程①的两根之积等于1， ∴也是方程①的根，则． 又， 两方程相减，得． 若，则方程①无实根， ∴， ∴． ∴， ∴， 由④得：． 又， 解得：，． 30．已知关于的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为“和谐方程”． （1）判断方程是否为“和谐方程”，并说明理由． （2）已知关于x的“和谐方程”的一个根是，求这个方程的另一个根． 【答案】（1）是和谐方程，理由见解析；（2）． 【解答】（1）解：是和谐方程 理由：∵，，， ∴， 故此方程为和谐方程． （2）解：将代入方程，得① ∵方程为和谐方程， ∴②， 由①②得， ∴这个和谐方程为， 解得，， ∴这个方程的另一个根为． 31．阅读材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴，，∴ 根据上述材料解决以下问题： （1）已知实数m，n满足，，且，求的值； （2）已知实数s，t分别满足，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解答】（1）解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又∵，， ∴实数s和可看作方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$