函数的性质（9大题型）讲义——2026届高三数学一轮复习

[在此处键入] 函数的性质 题型一：函数的单调性及其应用 【解题方法总结】 函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 例1．（2024秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（　　） A． B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y＝x0 【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案． 【解答过程】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y，为反比例函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意； 对于B，y＝2x+1，为一次函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意； 对于C，y＝x2，为二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，符合题意； 对于D，y＝x0＝1，（x≠0），在（﹣∞，0）上不是减函数，不符合题意； 故选：C． 例2．（2025春•天津期末）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 【答案】C 【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变， 选项A,B正确； 选项D: 为增函数，则为减函数， 为减函数，为减函数，选项D正确； 选选C:若为增函数，为减函数， 则的增减性不确定. 例如为上的增函数，当时， 在上为增函数； 当时，在上为减函数， 故不能确定的单调性. 故选:C 例3．（多选）（2025春·浙江温州·高二统考学业考试）下列函数在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，函数为在R上递增函数，故A错误； B选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； C选项，函数在，上单调递减，故C正确； D选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确. 故选：BCD 题型二：复合函数单调性的判断 【解题方法总结】 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 例4．（陕西省宝鸡市金台区2024学年高三下学期阶段性测试）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 例5．（2024·北京·高三专题练习）函数的单调递增区间为__________． 【答案】， 【解析】由题意，令，解得或， 所以函数的定义域为； 因为在上单调递减，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为，. 【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性的判定，其中解答中熟记复合函数的单调性的判定方法——同增异减是解答的关键，同时注意函数的定义域是解答的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于中基础题.解答本题时，由题意，先求得函数的定义域为，再根据复数函数的单调性“同增异减”，即可得到答案. 例6．（陕西省榆林市2024学年高三下学期阶段性测试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，，解得， 又函数 在定义域内为单调增函数， 且函数在 内为单调增函数 根据复合函数的单调性可知： 的单调增区间为 选项C正确，选项ABD错误. 故选：C. 题型三：利用函数单调性求函数最值 【解题方法总结】 利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： 1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． 2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． 4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． 5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 例7．（河南省2024届高三下学期仿真模拟考试数学试题）函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（　　） A． B．2，5 C．1，2 D． 【解题思路】先简单判断函数的单调性，进而求解结论． 【解答过程】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1， ∴在区间[1，2]上单调递减， ∴函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f（1），f（2）， 故选：A． 例8．（上海市静安区2024届高三二模数学试题）设函数在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m＝（　　） A．4 B．6 C．10 D．24 【解题思路】将函数f（x）分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解． 【解答过程】解：因为， 所以f（x）在[3，4]上是减函数． 所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6． 所以M+m＝6+4＝10． 故选：C． 例9．（河南省部分学校大联考2024学年高三下学期3月质量检测）已知，设f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}，则函数f（x）的最大值是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 【解题思路】由题意可得函数f（x）的解析式，作出图象，数形结合得答案． 【解答过程】解：由x﹣2＝﹣x2+4x﹣2，得x2﹣3x＝0，解得x＝0或x＝3． ∴当0≤x≤3时，x﹣2≤﹣x2+4x﹣2，当x＜0或x＞3时，x﹣2＞﹣x2+4x﹣2， 则f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}． 作出f（x）的图象如图所示， 由图可知，当x＝3时，函数f（x）取得最大值为1． 故选：B． 题型四：利用函数单调性求参数的范围 【解题方法总结】 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 例10．（2024秋·四川达州·高三校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______ 【答案】 【详解】二次函数的图像开口向上，单调增区间为， 又函数在区间上是增函数， 则，解之得，则实数的取值范围是 故答案为： 例11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：由题意可得，解得， ∴整数a的取值可以为. 故选：A 例12．（多选题）（2025春·广西防城港·高三统考期中）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数，都有；②当时，；③.则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．若关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】因为对正数，都有， 所以， 所以，A错误； 由已知，，， 所以，又， 所以， 所以，B正确， 任取两个实数，且，则 ， 因为，所以， 又当时，，所以， 所以，故， 所以函数在上单调递增， 又不等式可化为 ，， 所以，，（此时已经可以判断C错误） 所以，， 解得，且， 故，C错误； 不等式可化为 ，， 所以，， 当时，，没有意义，不满足要求，（此时已经可以判断D错误）， 当时，，， 由已知，，， 当时，， 所以， 若，则且， 由已知，， 当时，，又， 所以不存在满足条件， 所以的取值范围是，D错误， 故选：ACD. 题型五：函数的奇偶性的判断与证明 【解题方法总结】 函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性. 例13．（2024秋•海安市校级月考）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（　　） A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1 【解题思路】化简函数f（x）＝1，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断． 【解答过程】解：由题意得，f（x）＝1． 对A，f（x﹣2）﹣1是奇函数； 对B，f（x﹣2）+1＝2，关于（0，2）对称，不是奇函数； 对C，f（x+2）﹣1，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数； 对D，f（x+2）+1＝2，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数； 故选：A． 例14．（2025春•祁东县期末）设函数，则下列函数中为偶函数的是（　　） A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1 【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，， 由此分析选项： 对于A，，是偶函数，符合题意； 对于B，f（x）+11，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意； 对于C，f（x﹣1），既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意； 对于D，f（x）﹣11，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意； 故选：A． 例15．（多选题）（2025春·四川广安·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③．则下列选项成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 【答案】BD 【详解】由，得：函数是上的偶函数， 由，，得：在上单调递增， 对于A，根据函数在上单调递增，可得，故A错误； 对于B，根据函数是上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减， 则，又函数的图象是连续不断的， 则有，解得，故B正确； 对于C，由，则或， 又， 解得或，即，故C错误； 对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增， 因此，，，取实数，使得，则，，故D正确. 故选：BD. 题型六：已知函数的奇偶性求参数 【解题方法总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 例16．（2025·湖南·校联考模拟预测）已知是偶函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】方法一：因为， 所以， 由，得， 解得； 方法二：， 因为是偶函数， 所以图像关于直线对称， 所以，解得， 故选：D． 例17．（江西省部分学校2024届高三下学期一轮复习验收考试）若函数是偶函数，则__________． 【答案】1 【解析】∵为偶函数，定义域为， ∴对任意的实数都有， 即， ∴， 由题意得上式对任意的实数恒成立， ∴，解得,所以 故答案为：1 例18．（2024·全国·高三专题练习）设是定义在上的偶函数，则 A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由于在上的偶函数，故定义域关于原点对称，即：，得. 又由于为偶函数，即：，化简得：=0. 则. 故选：C. 题型七：已知函数的奇偶性求表达式、求值 【解题方法总结】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 例19．（2025春•北京期末）f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若，则（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由f（1+x）﹣f（x）＝0可得函数的周期为1，然后利用周期和奇函数的性质可求得结果． 【解答过程】解：因为f（1+x）﹣f（x）＝0，所以f（1+x）＝f（x）， 所以函数的周期为1， 因为f（x）是定义域为R的奇函数，， 所以， 故选：C． 例20．（广东省湛江市2024届高三二模数学试题）已知奇函数则__________． 【答案】 【解析】当时，，， 则． 故答案为：. 例21．（2024·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时，，，∴， 故选：C. 题型八：已知奇函数+M 【解题方法总结】 已知奇函数+M，，则 （1） （2） 例22．（宁夏银川一中、昆明一中2024届高三联合二模考试数学试题）已知函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：C. 例23．（2024秋•松山区校级月考）若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且M+N＝4，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．1 【解题思路】根据函数奇偶性求解即可． 【解答过程】解：a， 令g（x）＝f（x）﹣a， g（﹣x）g（x）， ∴g（x）为奇函数， ∴g（x）max+g（x）min＝0， ∴M+N＝g（x）max+a+g（x）min+a＝4， ∴a＝2． 故选：C． 例24．（重庆市巴蜀中学2024届高三高考适应性月考数学试题）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(    ) A．0 B．10 C． D． 【答案】C 【解析】令，则， ∴f(x)和g(x)在上单调性相同， ∴设g(x)在上有最大值，有最小值. ∵， ∴， ∴g(x)在上为奇函数，∴， ∴，∴， . 故选：C. 题型九：函数的对称性与周期性 【解题方法总结】 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 例25．（2024·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为函数是定义在R上的偶函数， 所以关于对称，则， 又， 所以，即， 函数的周期为4， 取，则， 所以，则D选项正确，B、C选项错误； 由已知条件不能确定的值，A选项错误； 故选：D. 例26．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】B 【详解】由是偶函数，，则，又， ， 所以是周期函数，周期为4， 对于，令，得，则， 所以. 故选：B 例27．（2024·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，且对任意都有，若，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 又由可得，， 所以有，则，所以， 所以是周期函数，周期. 又，所以， 又，，所以. 故选：D. 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