课时作业(19) 函数的极值（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(十九) [基础达标练] 1．(多选)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是(　　) A．－3是f(x)的一个极小值点 B．－2和－1都是f(x)的极大值点 C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞) D．f(x)的单调递减区间是(－∞，－3) 解析：选ACD　当x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)时f′(x)≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3)．故选A、C、D． 2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　 ) A．－9　　　　　　 B．－2 C．4 D．2 解析：选D　因为f(x)＝x3－12x， 所以f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)， 所以当x<－2或x>2时，f′(x)>0， f(x)单调递增； 当－2<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以当x＝2时，f(x)有极小值，即函数的极小值点为2，所以a＝2． 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为(　　 ) A．－e B．－1 C．1－e D．0 解析：选B　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1．令f′(x)＝0，得x＝1．当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1． 4．若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：选B　由题意知f′(x)＝ex－a． 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意． 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a， ∴当x∈(－∞，ln a)时， f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0． 可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0， ∴a∈(0，1)．故选B． 5．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝__________． 解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ∴即 解得a＝2，b＝－4，∴a＋b＝2－4＝－2． 答案：－2 6．函数y＝的极大值为________，极小值为________． 解析：y′＝， 令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1， ∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1． 答案：1　－1 7．求下列函数的极值： (1)f(x)＝x2－2ln x； (2)y＝． 解：(1)∵f′(x)＝2x－，且函数定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)， 当x∈(0，1)时，f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1． (2)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2， ∴当x变化时，y′，y的变化情况如表： x (－∞，－1) －1 (－1，1) (1，2) 2 (2，＋∞) y′ ＋ 0 － ＋ 0 ＋ y 单调递增 － 单调递减 单调递增 3 单调递增 故当x＝－1时，y有极大值－． 8．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)． (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值． 解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x， 故f′(x)＝2a(x－5)＋． 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)． 由点(0，6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝． (2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)， f′(x)＝x－5＋＝． 令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3． 当0<x<2或x>3时，f′(x)>0， 故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2，3)上为减函数． 由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2， 在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3． [能力提升练] 9． 如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C　函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝． 10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　 ) A．－1<a<2 B．－3<a<6 C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2 解析：选C　由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ>0，解得a>6或a<－3．故选C． 11．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________． 解析：因为f′(x)＝＋2bx＋1， 由题意得所以a＝－． 答案：－ 12．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是________． 解析：设f(x)＝x3－3x－k， 则f′(x)＝3x2－3． 令f′(x)＝0，得x＝±1， 且f(1)＝－2－k， f(－1)＝2－k， 又f(x)的图象与x轴有3个交点， 故∴－2<k<2． 答案：(－2，2) 13．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a和b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0， f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3． (2)由(1)知f(x)＝x3－3x． 所以g′(x)＝f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)， 所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2， 于是函数g(x)的极值点可能是1或－2． 当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点． 当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点． 所以g(x)的极值点为－2． [素养拓展练] 14．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R)． (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 解：(1)f(x)＝(x2＋x＋1)ex， f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex， 当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1， 当f′(x)<0时，解得－2<x<－1， 所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；单调减区间为(－2，－1)． (2)令f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝[x2＋(2＋a)x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，得x＝－a或x＝－2，因为a≤2，所以－a≥－2． 列表如下： x (－∞， －2) －2 (－2， －a) －a (－a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  由表可知，f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3， 解得a＝4－3e2≤2，所以存在实数a≤2，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e2． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$