课时作业(18) 函数的单调性（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(十八) [基础达标练] 1．(多选)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A．y＝sin x　　　　　　 B．y＝xex C．y＝x3＋x D．y＝ln x－x 解析：选BC　对于B，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于C，y′＝3x2＋1>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝x3＋x在(0，＋∞)上为增函数．对于A、D都存在x>0，使y′<0的情况． 2．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　 ) A．在区间(－3，－2)上f(x)是减函数 B．在区间(1，3)上f(x)是减函数 C．在区间(4，5)上f(x)是增函数 D．在区间(3，5)上f(x)是增函数 解析：选AC　由导函数f′(x)的图象知在区间(－3，－2)上，f′(x)＜0，在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(4，5)上单调递增．故选A、C． 3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　 ) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 解析：选A　因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A． 4．已知函数f(x)＝x3－mx2＋4x－3在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为(　　) A．[4，5] B．[2，4] C．(－∞，2] D．(－∞，4] 解析：选D　由题得f′(x)＝x2－mx＋4，要使函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，则f′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即x2－mx＋4≥0在[1，2]上恒成立，即m≤＝x＋在[1，2]上恒成立，又x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立，所以m≤4． 5．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________． 解析：y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；令y′<0，得x<2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)． 答案：(2，＋∞)　(－∞，2) 6．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调减区间为________． 解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，令f′(x)<0，解得－2<x<－1， 所以函数f(x)的单调减区间为(－2，－1)． 答案：(－2，－1) 7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0． (1)求a和b； (2)试确定函数f(x)的单调区间． 解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx， 所以f′(x)＝x2＋2ax＋b， 由得 解得a＝1，b＝－3． (2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x． f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)． 由f′(x)>0得x>1或x<－3； 由f′(x)<0得－3<x<1． 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3，1)． 8．已知函数f(x)＝－x2＋ax－ln x，若f(x)为单调递减函数，求实数a的取值范围． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－2x＋a－＝． 因为f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以f′(x)≤0对∀x∈(0，＋∞)恒成立，所以－2x2＋ax－1≤0，即a≤2x＋对∀x∈(0，＋∞)恒成立． 又因为2x＋≥2＝2(当且仅当2x＝，即x＝时等号成立)，所以a≤2． 故实数a的取值范围为(－∞，2 ]． [能力提升练] 9．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　 ) A．(－1，1] B．(0，1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：选B　函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1． 10．若函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　) A．a≥ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0 解析：选D　因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以y′＝3ax2－1≤0恒成立， 即3ax2≤1恒成立． 当x＝0时，0≤1恒成立，此时a∈R； 当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0． 综上可得a≤0． 11．设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________． 解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝3ax2＋1． 若a>0，则f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，此时，f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾； 若a＝0，则f(x)＝x，此时，f(x)也只有一个单调区间，亦与已知矛盾； 若a<0，则f′(x)＝3a ， 综上可知a<0时，f(x)恰有三个单调区间． 答案：(－∞，0) 12．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式x f(x)<0的解集是______． 解析：因为在(0，＋∞)上f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)为偶函数， 所以f(－1)＝f(1)＝0， 且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以x f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)． 答案：(－∞，－1)∪(0，1) 13．已知a∈R，函数f(x)＝x3－6x2＋3(4－a)x． (1)若曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x－3y＝0垂直，求a的值； (2)若函数f(x)在区间(1，4)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)因为f′(x)＝3x2－12x＋12－3a， 所以曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线斜率k＝f′(3)＝27－36＋12－3a＝3－3a． 而直线x－3y＝0的斜率为， 则3－3a＝－3，得a＝2． (2)由f(x)在(1，4)上单调递减， 得f′(x)＝3x2－12x＋12－3a≤0在(1，4)上恒成立， 即a≥x2－4x＋4在(1，4)上恒成立， 所以a≥(x2－4x＋4)max＝4， 所以a的取值范围是[4，＋∞)． [素养拓展练] 14．(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝ln x＋kx．当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数，g(x)在(0，1)上为增函数，求实数k的值； (2)已知函数f(x)＝x＋－2ln x，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝xekx－1， ∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝＋k． ∵f(x)在(1，＋∞)上为减函数， 则∀x＞1，f′(x)≤0⇔k≤－，∴k≤－1． ∵g(x)在(0，1)上为增函数， 则∀x∈(0，1)，g′(x)≥0⇔k≥－， ∴k≥－1． 综上所述，k＝－1． (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝1－－＝． ①当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时， 得x2－2x－a≥0，则f′(x)≥0． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1时， 令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0， 解得x1＝1－，x2＝1＋＞0． (ⅰ)若－1＜a≤0，则x1＝1－≥0， ∵x∈(0，＋∞)， ∴f(x)在(0，1－)，(1＋，＋∞)上单调递增，在(1－，1＋)上单调递减． (ⅱ)若a＞0，则x1＜0，当x∈(0，1＋)时，f′(x)＜0，当x∈(1＋，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴函数f(x)在区间(0，1＋)上单调递减， 在区间(1＋，＋∞)上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$