课时作业(15) 基本初等函数的导数（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(十五) [基础达标练] 1．函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　) A．9　　　　　　 B．6 C．9ln 3 D．6ln 3 解析：选C　y′＝(3x)′＝3xln 3，故所求导数为9ln 3． 2．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为(　　 ) A．(1，1) B．(－1，－1) C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1) 解析：选D　切线的斜率k＝tan π＝－1， 设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1， 又f′(x)＝－，∴－＝－1， ∴x0＝1或－1， ∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1)．故选D． 3．(多选)下列结论中，正确的是(　　) A．若y＝，则y′＝－ B．若y＝，则y′＝ C．若y＝，则y′＝－2x－3 D．若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析：选ACD　由(xn)′＝nxn－1知， 选项A，y＝＝x－3， 则y′＝－3x－4＝－； 选项C，y＝＝x－2，则y′＝－2x－3； 选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3， ∴f′(1)＝3． ∴选项A、C、D正确． 4．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A．∪ B． [0，π) C． D．∪ 解析：选A　∵(sin x)′＝cos x， ∴kl＝cos x，∴－1≤tan α≤1， 又∵α∈[0，π)， ∴α∈∪． 5．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________． 解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x， 所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0， f′(x)－g′(x)＝2x－＝1， 即2x2－x－1＝0， 解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1． 答案：1 6．若函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝______． 解析：设切点为(x0，y0)，∵y′＝， ∴k＝， ∴y＝·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上， ∴y0＝ln x0，∴ln x0＝，∴x0＝e， ∴k＝． 答案： 7．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝－2sin ；(3)y＝log2x2－log2x． 解： (2)∵y＝－2sin ＝2sin ＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x． (3)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝． 8．若质点P的运动方程是s(t)＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度． 解： ∴质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s． [能力提升练] 9．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 022(x)＝(　　 ) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 解析：选B　f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，所以4为最小正周期， 故f2 022(x)＝f2(x)＝－sin x． 10．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　 ) A．e2 B．2e2 C．e2 D． 解析：选D　因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2， 所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1，0)， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为． 11．直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________． 解析：设切点坐标为(x0，y0)， 则y0＝ln x0． ∵y′＝(ln x)′＝， ∴f′(x0)＝，由题意知＝， ∴x0＝2，y0＝ln 2． 由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1． 答案：ln 2－1 12．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________． 解析：与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小． 设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1， ∴x0＝，y0＝， 即P到直线y＝x－1的距离最短． ∴d＝＝． 答案： 13．求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数． 证明：由xy＝1，得y＝， 所以y′＝－． 在曲线xy＝1上任取一点P，则过点P的切线的斜率k＝－， 切线方程为y－＝－(x－x0)， 即y＝－x＋． 设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则A(2x0，0)，B， 故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2， 所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数． [素养拓展练] 14．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解：不存在．由于y1＝sin x，y2＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝．若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$