课时作业(8) 等比数列的性质及应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(八) [基础达标练] 1．在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝(　　) A．6　　　　　　　　 B．2 C．2或6 D．－2 解析：选B　由题知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，所以a10＝－＝－2，因此a4·a16＋a10＝a＋a10＝2，故选B． 2．在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选D　原式＝log2(a1a2a3…a8)＝log2(a2a7)4＝4log24＝8． 3．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 解析：选A　根据题意得a＝a2·a6， 即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)， 解得d＝0(舍去)，d＝－2， 所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24． 4．《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”假设金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列，则从粗端开始的第三尺重量是(　　) A．2斤 B．2斤 C．2斤 D．3斤 解析：选A　依题意知，金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列，在这个等比数列{an}中，首项a1＝4，则a5＝2，所以a3＝＝＝2．即从粗端开始的第三尺的重量是2斤，故选A． 5．(多选)已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．，{an·bn}一定是等比数列 解析：选CD　当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积和商一定是等比数列． 6．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝__________． 解析：∵a6a10＝a，a3a5＝a，∴a＋a＝41，又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49． ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7． 答案：7 7．已知数列{an}为等比数列． (1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q． 解：(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6， ∴a1a3＝36． 又∵a1＋a3＝21－a2＝15， ∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12． 当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1； 当a1＝12时，q＝，an＝12·． (2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72， ∴q4＝4，∴q＝±． 8．某学校复学后，为了防控新冠疫情，配置消毒液，从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问： (1)第n次操作后溶液的浓度是多少？ (2)当a＝2时至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%? 解：(1)由题意知开始时溶液的浓度为1，设第n次操作后溶液的浓度为an，则第1次操作后溶液的浓度为a1＝1－，第(n＋1)次操作后溶液的浓度为an＋1＝an， 所以{an}是首项为1－，公比为1－的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝， 即第n次操作后溶液的浓度是． (2)当a＝2时，由an＝<，解得 n≥4． 故至少应操作4次后才能使溶液的浓度低于10%． [能力提升练] 9．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　) A．230 B．210 C．220 D．215 解析：选C　∵a1·a2·a3·…·a30＝230， ∴a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230， ∴a1＝2－， ∴a3·a6·a9·…·a30＝a·(q3) ＝(2－×22)10×(23)45＝220． 10．已知等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使{an}一定为递减数列的是(　　) A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0，0<q<1或a1<0，q>1 D．q>1 解析：选C　因为{an}为递减数列，所以an－an－1＝a1qn－2·(q－1)<0(n≥2，n∈N*)，若a1>0，则0<q<1；若a1<0，则q>1．故选C． 11．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则数列的前13项之积等于________． 解析：由于{an}是等比数列， ∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a， ∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，而a7＝－2． ∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213． 答案：－213 12． 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2．过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3……，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2，A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝__________． 解析：法一：直接递推归纳： 等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2， 所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝， A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×＝． 法二：求通项： 等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2， 所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×， 故a7＝2×＝． 答案： 13．在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0．设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an． 解：(1)证明：因为bn＝log2an， 所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an ＝log2＝log2q(q>0)为常数， 所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q． (2)因为b1＋b3＋b5＝6， 所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6， 即b3＝2． 又因为a1>1，所以b1＝log2a1>0， 又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0， 即即解得 因此Sn＝4n＋×(－1)＝． 又因为d＝log2q＝－1， 所以q＝，b1＝log2a1＝4， 即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N*)． [素养拓展练] 14．设关于x的一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3． (1)试用an表示an＋1； (2)求证：数列是等比数列； (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式． 解：(1)根据根与系数的关系，有 代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得 －＝3，所以an＋1＝an＋． (2)证明：因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝， 所以数列是以为公比的等比数列． (3)当a1＝时，a1－＝， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以an＝＋(n＝1，2，3，…)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$