5.2.2 导数的四则运算法则（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

5．2．2　导数的四则运算法则 学习目标 素养要求 1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数． 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数． 1．通过导数的四则运算法则的学习，培养数学运算的核心素养． 2．通过利用导数的四则运算法则求复杂函数的导数，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　导数的运算法则 已知f(x)＝x，g(x)＝． [问题1]　f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 答：f′(x)＝1，g′(x)＝－． [问题2]　试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数． 答：∵Δy＝(x＋Δx)＋－ ＝Δx＋_， ∴＝1－_， 同理H′(x)＝1＋． [问题3]　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ 答：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差． [问题4]　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？ 答：不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0，而f′(x)g′(x)＝1×＝－． ►知识填空 导数的四则运算法则 法则 语言叙述 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数 ′＝ 两个函数商的导数，等于分子的导数乘以分母积，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导． (2)对于不符合求导公式或四则运算法则求导的函数，可先对其进行恒等变形，再求导．　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝ln x，则f′(e)＝1．(　　) (2)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x．(　　) (3)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　) A．y′＝cos 2x＋sin 2x B．y′＝cos 2x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x 答案：B 3．函数y＝的导数是(　　) A．－ B．－sin x C．－ D．－ 解析：选C　y′＝′＝ ＝＝－． 4．函数y＝xln x的导数为__________． 答案：ln x＋1 题型一　导数的四则运算 [例 1]　求下列函数的导数： (1)f(x)＝x2ln x；(2)y＝； (3)y＝2x3＋log3x；(4)y＝x－sin cos ． 解：(1)f′(x)＝(x2ln x)′＝(x2)′ln x＋x2(ln x)′＝2xln x＋x． (2)法一：y′＝′＝＝． 法二：∵y＝＝1－， ∴y′＝′＝′ ＝－＝． (3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′ ＝6x2＋． (4)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x， ∴y′＝′＝1－cos x． (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要理解透彻函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律． (2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．　　 　求下列各函数的导数． (1)y＝(＋1)； (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝． 解：(1)化简得y＝·－＋－1＝ (2)∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6 ∴y′＝18x2－8x＋9． (3)y′＝ ＝． 题型二　利用导数求曲线的切线方程问题 [例 2]　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8． (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． 解析：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8． (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)． 即7x＋y－3＝0． 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．　　 　已知函数y＝f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0．求函数y＝f(x)的解析式． 解：由f(x)的图象经过P(0，2)，知d＝2， 所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c． 由在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6． 所以 即 解得b＝c＝－3． 故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2． 题型三　导数运算法则的综合应用 [例 3]　已知函数f(x)＝x3＋x－16． (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13． ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32． (2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1， ∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16． 又∵直线l过点(0，0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16． 整得，x＝－8，∴x0＝－2． ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26． k＝3×(－2)2＋1＝13． ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)， 则k＝＝， 又∵k＝f′(x0)＝3x＋1， ∴＝3x＋1． 解得x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26． k＝3×(－2)2＋1＝13． ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y＝－＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4． 设切点坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝±1． ∴或 即切点为(1，－14)或(－1，－18)． 故切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18． 即y＝4x－18或y＝4x－14． 关于函数的导数的应用及其解决方法 (1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用． (2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标，总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．　　 　已知函数f(x)＝x2＋4ln x，若存在满足1≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是(　　) A．[5，＋∞)　　　　　 B．[4，5] C． D．(－∞，4) 解析：选B　f′(x)＝x＋，当1≤x0≤3时， f′(x0)∈[4，5]， 又k＝f′(x0)＝m，所以m∈[4，5]． [课堂小结] 1．两个函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的差的导数等于两个函数的导数的差．该特点可以推广到多个函数的情形． 2．导数的加减法则，就是把每一个函数都求导然后再相加减． 3．导数的乘法法则中两个式子中间是加号，导数的除法法则中分子上的两个式子之间是减号，因此要注意两个函数的位置关系． 4．对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$