5.2.1 基本初等函数的导数（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

5．2　导数的运算 5．2．1　基本初等函数的导数 学习目标 素养要求 1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 1．通过常用导数的推导的学习，培养数学运算的核心素养． 2．借助基本初等函数的导数的计算，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝；(5)y＝f(x)＝． [问题1]　函数y＝f(x)＝c的导数是什么？ 答：∵＝＝＝0， [问题2]　函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？ 答：由导数的定义得(2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x， (4)′＝－，(5)()′＝_． [问题3]　函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？ 答：∵(2)(x)′＝1·x1－1， (3)(x2)′＝2·x2－1， ►知识填空 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0_ f(x)＝xα(α∈Q*且α≠0) f′(x)＝αxα－1_ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x_ f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x_ f(x)＝ax f′(x)＝axln_a_ (a>0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex_ f(x)＝logax f′(x)＝ (a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)′＝cos ．(　　) (2)因为(ln x)′＝，所以′＝ln x．(　　) (3)若y＝，则y′＝×2＝1．(　　) (4)若f(x)＝，则f′(x)＝－．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案：C 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　) A． B．10 C．10ln 10 D． 答案：C 4．已知f(x)＝cos x，则f′＝__________． 答案：－ 题型一　利用导数公式求函数的导数 [例 1]　(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x． 解：(1)y′＝(x12)′＝12x11； (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－； (4)y′＝(3x)′＝3xln 3； (5)y′＝(log5x)′＝． (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． (3)要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别．　　 1．f(x)＝ln x在x＝e处的导数值为(　　) A．0　　　　　　　　 B． C．1 D．e 解析：选B　∵f(x)＝ln x， ∴f′(x)＝．∴f′(e)＝． 2．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝x；(3)y＝logx． 解：(1)y′＝′＝ln ＝－ln2． 题型二　求函数在某点处的导数 [例 2]　质点的运动方程是s＝sin t， (1)求质点在t＝时的速度； (2)求质点运动的加速度． 解：(1)∵v(t)＝s′(t)＝cos t， ∴v＝cos ＝． 即质点在t＝时的速度为． (2)∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t． (1)速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． (2)求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：①先求函数的导函数；②把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．　　 　(1)求函数f(x)＝在(1，1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在处的导数． 解： ＝－， ∴f′(1)＝－＝－． (2)∵f′(x)＝－sin x， ∴f′＝－sin ＝－． 题型三　利用导数公式求曲线的切线方程 [例 3]　已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 解：因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 又因为直线PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于直线PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝， 所以切点为M． 所以所求的切线方程为y－＝x－， 即4x－4y－1＝0． 求曲线方程或切线方程的注意点 (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．　　 1．(变结论)在本例中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由． 解：假设存在与直线PQ垂直的切线， 因为PQ的斜率为k＝＝1， 所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1， 令2x0′＝－1，则x0′＝－，y0′＝， 切线方程为y－＝－，即4x＋4y＋1＝0． 2．函数y＝在点处的切线方程是(　　) A．y＝4x　　　　　 B．y＝－4x＋4 C．y＝4x＋4 D．y＝2x－4 解析：选B　∵y′＝－， ∴该切线方程为y－2＝－4， 即y＝－4x＋4． 3．已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值． 解：设切点为(x0，lnx0)， 由y＝ln x得y′＝． 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线为x－y＋c＝0，其斜率为1． 所以切点为(1，0)． 所以1－0＋c＝0，所以c＝－1． [课堂小结] 1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法． 2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$