5.1.2 第2课时 导数的几何意义（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第2课时　导数的几何意义 学习目标 素养要求 1．了解割线的斜率与平均变化率的关系． 2．理解导数的几何意义． 3．会求曲线的切线方程． 1．通过割线的斜率与平均变化率的关系的学习，培养数学抽象、直观想象的核心素养． 2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　导数的几何意义 [问题1]　函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，其中点P0(x0，f(x0))，点P(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，你能说出它的几何意义吗？ 答：表示过P0(x0，f(x0))和P(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的割线P0P的斜率． [问题2]　当Δx变化时，直线如何变化？ 答：直线P0P绕点P0转动． [问题3]　当Δx→0时，直线变化到哪里？ 答：直线过点P0与曲线y＝f(x)相切位置． ►知识填空 1．切线的定义 如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))_时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0_处的切线． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线的斜率． 知识点二　导数 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数．当x变化时，f′(x) 就是x的一个函数，我们称它为y＝f(x)的导函数_(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′_，即f′(x)＝y′＝lim_． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(　　) (2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　　) (3)若f′(x)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在．(　　) (4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为(　　) A．4　　　　　　 B．16 C．8 D．2 答案：C 3．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析：选B　由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)，故选B． 4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________． 解析：由在M处的切线方程y＝x＋2， 得f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝． ∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3． 答案：3 题型一　求曲线在某点处切线的方程 [例 1]　已知曲线C：y＝x3，求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； 解：将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1，1)． ∴y′＝lim ＝lim ＝lim [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3． ∴k＝3． ∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0． 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．　　 [提醒]　若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0． 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个． 1．若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________． 解析：∵切线的斜率为k＝－1． ∴点A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0． 答案：x＋y－3＝0 2．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程． 解：由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝在点(－2，－1)处的导数． 故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0． 题型二　求切点坐标 [例 2]　已知曲线f(x)＝x2＋6在点P处的切线平行于直线4x－y－3＝0，求点P的坐标． 解：设切点P的坐标为(x0，y0)． 所以点P在(x0，y0)处的切线的斜率为2x0． 因为切线与直线4x－y－3＝0平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝x＋6＝10，即切点为(2，10)． 求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤 (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标． 　　 　直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为______，切点坐标为______． 解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)， 解得x0＝1或x0＝－． 当x0＝1时，y0＝x－x＋1＝1， 又(x0，y0)在直线y＝x＋a上， 将x0＝1，y0＝1代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去． 当x0＝－时， y0＝－＋1＝， 则切点坐标为， 将代入直线y＝x＋a中得 a＝． 答案：　 题型三　求曲线过某点的切线方程 [例 3]　已知曲线f(x)＝． (1)求曲线过点A(1，0)的切线方程； (2)求满足斜率为－的曲线的切线方程． 解： 设过点A(1，0)的切线的切点为P，① 则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－． 因为点A(1，0)，P在切线上， 所以＝－， 解得x0＝．故切线的斜率k＝－4． 故曲线过点A(1，0)的切线方程为y＝－4(x－1)， 即4x＋y－4＝0． (2)设斜率为－的切线的切点为Q， 由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±． 所以切点坐标为或． 故满足斜率为－的曲线的切线方程为 y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)， 即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0． (1)注意区分“在点A”与“过点A”，“过点A”其切点未必是点A． (2)“过点A(a，b)”时，设出切点坐标M(x0，y0)，利用切点M既在曲线上，又在切线上，联立方程组，即 求出切点M．　　 　求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程． 解：设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，所以所求切线的斜率为k＝lim (2a＋Δx)＝2a．因此，＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)． [课堂小结] 1．求曲线在点(x0，y0)处的切线方程 已知点(x0，y0)为切点，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线过点(x0，y0)的切线方程 已知点(x0，y0)不论在不在曲线上都不一定是切点，故先设出切点坐标，写出切线方程，然后利用已知点(x0，y0)在切线上，求出切点坐标，进而求出切线方程． 3．根据导数的几何意义知，f′(x0)能反应曲线在x＝x0处的升降及升降快慢程度，f′(x0)为正值，曲线在该点处上升，f′(x0)为负值，曲线在该点处下降，|f′(x0)|越大，曲线在该点升降速度越快． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$