5.1.2 第1课时 导数的概念（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

5．1．2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 学习目标 素养要求 1．了解导数概念的实际背景． 2．掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数． 1．通过导数概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx_，相应地，函数值y从f(x0)变为f(x0＋Δx)_，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 我们把比值，即＝_叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识点二　导数的定义 [问题]　已知函数y＝8－3x2． (1)试求函数在[1，1＋Δx]这段时间内的平均变化率． (2)当Δx趋近于0时，问题(1)中的平均变化率趋近于何值？如何理解这一变化率？ 答：(1)＝＝－6－3Δx． (2)当Δx趋近于0时，趋近于－6．这时的平均变化率即x＝1时的瞬时变化率． ►知识填空 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0 ，即f′(x0)＝ [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的无数条割线．(　　) (2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．(　　) (3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　) A．4　　　　　　　　 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析：选C　＝＝＝4＋2Δx． 3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是__________． 解析：∵f(x)＝x2，∴在x＝1处的瞬时变化率是 答案：2 4．函数y＝2x2＋1在x＝1处的导数为________． 答案：4 题型一　函数在某点处的导数 [例 1]　(1)函数y＝在x＝1处的导数为__________． (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 解析：(1)因为Δy＝－1， ＝＝， 答案： (2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2， ∴＝6＋3Δx， 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤 (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)取极限，得导数f′(x0)＝．　　 　利用导数的定义求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数． 解：Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx， ∵＝＝3Δx＋4， 题型二　导数概念的理解 [例 2]　已知函数y＝f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值． 解： 在导数的定义中，Δx是一个相对的量，当Δx→0时，kΔx→0，只要保证f(x＋kΔx)－f(x)与kΔx一致，即可将其作为一个整体，利用导数的概念进行求解．　　 1．(变条件)若将(1)改为“函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝1，求f′(x0)．” 解： 2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f′(x)＝a　　　　　 B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 解析：选C　因为＝＝a＋bΔx， 题型三　导数的实际意义 [例 3]　航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)h(0)，h(1)分别表示什么？ (2)求第1 s内高度的平均变化率； (3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 解：(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度． (2)＝＝80(m/s)，即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s． 它说明在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加． (1)平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt趋于0时的极限值． (2)已知运动物体在s＝s(t)解析式的前提下才可求某一时刻的瞬时速度．　　 　某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x． (1)求在第1 s内的平均速度； (2)求在第1 s末的瞬时速度； (3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s? 解：(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为 ＝ m/s． (2)＝ ＝ ＝6＋3Δx＋(Δx)2． 当Δx→0时，→6， 所以物体在第1 s末的瞬时速度为6 m/s． (3)＝＝ ＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx． 当Δx→0时，→2x2＋2x＋2， 令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2， 即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s． [课堂小结] 1．实例引出函数的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成导数的概念，体现了从特殊推向一般的思想和方法． 2．平均变化率的求法：＝． 3．在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$