5.1.1 变化率问题（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

　一元函数的导数及其应用 5．1 导数的概念及其意义 5．1．1 变化率问题 学习目标 素养要求 1．理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念． 2．掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法． 1．通过对平均变化率、瞬时变化率概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助求平均变化率与瞬时变化率，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　平均变化率 [问题]　在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4．9t2＋4．8t＋11． (1)在0≤t≤0．5这段时间里，运动员的平均速度是多少？ (2)在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度是多少？ (3)在t1≤t≤t2这段时间里，运动员的平均速度又是多少？ 答：(1)＝＝2．35(m/s)． (2)＝＝－9．9(m/s)． (3)＝． 知识点二　瞬时变化率 [问题]　如何求跳水运动员在t＝1时的速度？ 答：可以求在[1，1＋Δt]时的平均速度，当Δt很小时，可以近似认为平均速度就是t＝1时的速度． ►知识填空 1．瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．平均速度与瞬时速度的关系 事实上，由＝＝－4．9Δt－5可以发现，当Δt无限趋近于0时，4．9Δt也无限趋近于0，所以无限趋近于－5．这与前面得到的结论一致．数学中，我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，＝的极限”，记为 从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度．因此，运动员在t＝1 s时的瞬时速度v(1)＝－5 m/s． 知识点三　抛物线的切线的斜率 [问题]　已知抛物线f(x)＝x2，P0(1，1)在抛物线上，抛物线上有异于P0的点P(x，x2)． (1)割线P0P的斜率k是什么？ (2)当点P趋近于点P0时，割线 P0P与过点P的切线PT有什么关系？ 答：(1)割线P0P的斜率k＝． (2)当点P趋近于点P0时，割线P0P趋近于过点P的切线PT． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　　) (2)函数f(x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率为0．(　　) (3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的量．(　　) (4)在瞬时变化率中，Δt可以为零．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B　＝＝－1． 3．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则l＝(　　) A．－2f′(2)　　　　 B．2f′(2) C．－f′(2) D．f′(2) 解析：选C　 4．抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为______． 解析：＝2． 答案：2 题型一　求平均变化率 [例 1]　已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 解：自变量x从1变到2时， 函数f(x)的平均变化率为： ＝＝； 自变量x从3变到5时， 函数f(x)的平均变化率为： ＝＝． 因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x2－x1； (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； (3)求平均变化率．　　 　函数y＝x2＋5在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．2　　　　　　　 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 解析：选C　∵(1＋Δx)2＋5－(12＋5)＝2Δx＋Δx2， ∴＝2＋Δx，故选C． 题型二　求瞬时变化率 [例 2]　(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________． (2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在t＝1时的瞬时速度是________． 解析：(1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－gΔt2， ∴＝v0－gt0－gΔt， ，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0． (2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13 ＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2 ＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2 ＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt， ∴＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6， ，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6． 答案：(1)v0－gt0　(2)6 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度． (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．　　 　一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2．求此物体在t＝2时的瞬时速度． 解：取一时间段[2，2＋Δt]， Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2， ＝＝－1－Δt， 所以当t＝2时，此物体的瞬时速度为－1． 题型三　曲线的切线 [例 3]　求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程． 解：因为点(1，3)在曲线上，过点(1，3)的切线的斜率为 故所求切线方程为y－3＝2(x－1)， 即2x－y＋1＝0． 若求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且是切点，其切线方程为y－y0＝k(x－x0)．　　 　求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程． 解：由 ＝＝Δx， 可得切线的斜率为． 所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)， 即y＝2． [课堂小结] 1．求平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x2－x1． (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率． 2．求瞬时速度的一般步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度． (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于常数v，即为瞬时速度． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$