第4章 数列 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

章末复习课 (一)数列通项公式的求法 　数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式．围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一，主要方法有： 公式法 应用等差(等比)数列的通项公式求通项 构造法 利用递推公式构造新的数列(等差或等比) 公式法 应用等差(等比)数列的通项公式求通项 续表 累加法 形如an＋1－an＝f(n)型的递推公式求通项公式 累乘法 形如＝f(n)型的递推公式求通项公式 利用an＝ 由含Sn的关系式求an适合此法 [例 1]　各项非零的数列{an}中，首项a1＝1，且2S＝2anSn－an(n≥2)，求数列的通项an． 解：∵2S＝2anSn－an，n≥2， 且an＝Sn－Sn－1， ∴2S＝2S－2SnSn－1－Sn＋Sn－1，整理，得－＝2，n≥2， ∴数列是以＝1为首项，以2为公差的等差数列． ∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1， 即Sn＝， ∴an＝Sn－Sn－1＝－ ＝－，n≥2， 又∵a1＝1，不适合上式， ∴an＝ 1．设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求{an}的通项公式． 解析：∵an＋1－an＋an＋1·an＝0， ∴－＝1．又＝1， ∴是首项为1，公差为1的等差数列， 即＝n．∴an＝． (二)等差(比)数列的基本运算 　在等差(等比)数列的通项公式和前n项和公式中，含有5个基本量，即a1，d(q)，an，n，Sn．知道其中的三个，可以求出其余的两个，称为“知三求二”型．在解决等差(等比)数列的问题中，往往是化为基本量的运算，有时也可灵活使用等差(等比)数列的性质解题． [例 2]　在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn． 解：(1)设{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3， 解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n． (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32． 设{bn}的公差为d，则有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28． 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝＝6n2－22n． 2．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________． 解析：∵a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1， ∴a4＝2，a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2×， ∴q＝． ∴a4＝a1q3＝2，∴a1＝16． ∴S5＝＝31． 答案：31 (三)等差数列、等比数列的判断 1．判断一个数列为等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列． (4)前n项和法：Sn是An2＋Bn的形式⇔{an}为等差数列． 2．判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列． [例 3]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*． (1)证明：{an－1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：∵Sn＝n－5an－85， ∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85， 两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1， 整理得：an＋1＝an＋， ∴an＋1－1＝(an－1)， 又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14， ∴a1－1＝－14－1＝－15， ∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)可知 an－1＝－15×， ∴an＝1－15×． 3．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列； (2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列． 证明：(1)因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an． 所以＝＝ ＝＝2． 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5． 所以b1＝a2－2a1＝3． 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， 所以－＝3． 所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2， 所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2． (四)数列求和 　数列的求和问题是数列中的重点问题，要掌握一些简单数列的求和方法，并应用数列求和解决一些数列问题，数列求和常用的方法有：①公式法(即直接应用等比数列、等比数列的求和公式求解)，②倒序相加法，③错位相减法，④裂项相消法，⑤分组转化法(即把数列的第一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化为等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列的求和公式求解)． [例 4]　正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0． (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，则 (an－2n)(an＋1)＝0． 由于{an}是正项数列，所以an＝2n． (2)由an＝2n，bn＝，得 bn＝＝， Tn＝ ＝＝ ． 4．设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， ∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a＝a2a14， 即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)， 解得d＝0(舍去)，或d＝2． ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1． (2)由已知＋＋…＋＝1－(n∈N*)， 当n＝1时，＝； 当n≥2时，＝1－－＝． ∴＝(n∈N*)． 由(1)知，an＝2n－1(n∈N*)， ∴bn＝(n∈N*)． 又Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 两式相减，得Tn＝＋－＝－－， ∴Tn＝3－． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$